Гипергеометрический рядВ настоящем разделе рассматривается функция
$$
\Phi(z)={}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;, \gamma_1,...,\gamma_n;, z)
$$
и связанный с ней гипергеометрический ряд (см. статью «Определения и простейшие свойства
Простейшие свойства факториала и гамма-функцииподраздел, в котором рассматриваются функции $\mathbf{\Pi}(z)$, $\Gamma(z)=\mathbf{\Pi}(z-1)$ и связанные с ними функции $\Psi(z)$ и $\psi(z)=\Psi(z-1)$, а также функции, определяемые как суммы обратных степеней
Степенная функция, экспонента и логарифмСтепенная функция, экспонента и логарифм -- это простейшие элементарные трансцендентные функции, через которые выражаются другие функции данной
категории -- гиперболические и тригонометрический функции, обратные
Комбинаторика сложного уровня: в урне N шаров, k из которых белые, случайно выбираются m без возвращения; найдите…случайно выбираются m без возвращения; найдите функции распределения числа белых шаров в выборке для разных N, k, m и обсудите приближения гипергеометрического распределения при больших N
Ответ на вопрос
Ответ:
1) Точная функция распределения (гипергеометрическое распределение). Число белых шаров в выборке обозначим \(X\). Тогда
\[
P(X=x)=\frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{\,m-x\,}}{\binom{N}{m}},
\]
где допустимые \(x\) задаются интервалом
\[
x_{\min}=\max(0,\;m-(N-k)),\qquad x_{\max}=\min(m,k).
\]
Функция распределения (CDF):
\[
F_X(t)=P(X\le t)=\sum_{x=x_{\min}}^{\lfloor t\rfloor}\frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{\,m-x\,}}{\binom{N}{m}}.
\]
2) Математическое ожидание и дисперсия:
\[
\mathbb{E}[X]=m\frac{k}{N},
\qquad
\operatorname{Var}(X)=m\frac{k}{N}\Big(1-\frac{k}{N}\Big)\frac{N-m}{N-1}.
\]
Замечание: множитель \(\dfrac{N-m}{N-1}\) — коррекция за выбор без возвращения (finite population correction).
3) Приближения при больших \(N\)
- Биномиальное приближение. Если \(N\) велико и доля выборки мала (\(m\ll N\), точнее \(m/N\to0\)), или если рассматривается фиксированное \(m\) при \(N\to\infty\) и \(k/N\to p\), то
\[
X\ \overset{d}{\approx}\ \mathrm{Bin}\big(m,p\big),\qquad p=\frac{k}{N},
\]
поскольку выборы практически независимы. В этом случае дисперсия гипергеометрического отличается от биномиальной на множитель \(\dfrac{N-m}{N-1}\to1\).
- Пуассоновское приближение. Если \(p=\dfrac{k}{N}\) мало и одновременно \(m\) таково, что \(\lambda=mp\) фиксировано (обычно \(m\) может быть большим), то биномиальное (а значит и гипергеометрическое при \(m/N\) малом) приближается к пуассоновскому:
\[
X\ \overset{d}{\approx}\ \mathrm{Pois}(\lambda),\qquad \lambda=mp.
\]
- Нормальное приближение (ЦПТ). Если и математическое ожидание, и дисперсия велики, т.е. \(m p\) и \(\operatorname{Var}(X)\) большие, то
\[
\frac{X-\mathbb{E}[X]}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}\ \overset{d}{\approx}\ \mathcal{N}(0,1),
\]
и для приближённых вероятностей удобно использовать нормальное распределение с учётом непрерывностной поправки.
4) Критерии применимости (кратко)
- Биноминальное приближение: достаточно \(m/N\) мало (например \(m/N5–10).
Это основные формулы и асимптотики для гипергеометрического распределения.
Еще