Функциональные уравнения для гамма-функции и пси-функции

Содержание

  1. 1. Рекуррентные формулы и их обобщения для функций Γ(z) и Π(z)
  2. 2. Рекуррентные формулы и их обобщения для функций ψ(z) и Ψ(z)
  3. 3. Формулы симметрии
  4. 4. Формула умножения Гаусса–Лежандра
  5. 5. Соотношения специального вида
  6. 6. Приложение. Вывод формул и доказательства теорем
    1. 6.1. Вывод основных функциональных уравнений для Π(z)
    2. 6.2. Формула умножения Гаусса для Π(z)$
    3. 6.3. Соотношения специального вида для Π(z)
  7. 7. Литература

В настоящей статье приведены важнейшие функциональные уравнения для функций Γ(z)\Gamma(z) и ψ(z)=(d/dz) Ln Γ(z)\psi(z) =(d /d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z), которые могут быть в другой форме записаны для функций Π(z)=Γ(z+1)\mathbf{\Pi}(z) =\Gamma(z +1) и Ψ(z)=ψ(z+1)=(d/dz) Ln Γ(z+1)\Psi(z) =\psi(z+1) =(d /d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1).

В формулах используются функция Похгамера и модифицированная функция Похгамера

Fm(z)j=0m1(z+j) ,F~m(z)(1)mFm(z)=j=0m1(zj) .\mathcal{F}_m (z)\equiv \prod_{j=0}^{m-1}(z+j) \;,\qquad \widetilde{\mathcal{F}}_m (z)\equiv (-1)^m \cdot \mathcal{F}_m (-z) =\prod_{j=0}^{m-1}(z-j) \;.

Рекуррентные формулы и их обобщения для функций Γ(z) и Π(z)

Π(z+1)=(z+1)Π(z) ,Π(z1)=Π(z)/z ,\mathbf{\Pi}(z+1) =(z+1)\cdot \mathbf{\Pi}(z) \;,\qquad \mathbf{\Pi}(z-1) =\mathbf{\Pi}(z)/z \;,

Π(z+m)=Π(z)Fm(z+1)=Π(z)k=1m(z+k) ,\mathbf{\Pi}(z+m) =\mathbf{\Pi}(z)\cdot \mathcal{F}_m (z+1) =\mathbf{\Pi}(z)\cdot \prod_{k=1}^{m} (z+k) \;,

Π(zm)=Π(z)/F~m(z)=Π(z)k=0m1(zk)1\mathbf{\Pi}(z-m) =\mathbf{\Pi}(z)/\widetilde{\mathcal{F}}_m (z) =\mathbf{\Pi}(z)\cdot \prod_{k=0}^{m-1} (z-k)^{-1}

(m=1,2,...)(m=1,2,...).

Данные формулы могут быть иначе записаны в виде

Γ(z+1)=zΓ(z) ,Γ(z1)=Γ(z)/(z1) ,\Gamma(z+1) =z\cdot \Gamma(z) \;,\qquad \Gamma(z-1) =\Gamma(z)/(z-1) \;,

Γ(z+m)=Γ(z)Fm(z)=Γ(z)k=0m1(z+k) ,\Gamma(z+m) =\Gamma(z)\cdot \mathcal{F}_m (z) =\Gamma(z)\cdot \prod_{k=0}^{m-1} (z+k) \;,

Γ(zm)=Γ(z)/F~m(z1)=Γ(z)k=1m(zk)1\Gamma(z-m) =\Gamma(z)/\widetilde{\mathcal{F}}_m (z-1) =\Gamma(z)\cdot \prod_{k=1}^{m} (z-k)^{-1}

(m=1,2,...)(m=1,2,...).

<<<<

Вывод формулы для Π(z+1)\mathbf{\Pi}(z+1) см. в приложении A.1.

>>>>

Рекуррентные формулы и их обобщения для функций ψ(z) и Ψ(z)

Ψ(z+1)=Ψ(z)+(z+1)1 ,Ψ(z1)=Ψ(z)z1 ,\Psi(z+1) = \Psi(z) +(z+1)^{-1} \;, \Psi(z-1) = \Psi(z) -z^{-1} \;,

Ψ(z+m)=Ψ(z)+k=1m(z+k)1 ,Ψ(zm)=Ψ(z)k=0m1(zk)1\Psi(z+m) = \Psi(z) +\sum_{k=1}^{m} (z+k)^{-1} \;, \Psi(z-m) = \Psi(z) -\sum_{k=0}^{m-1} (z-k)^{-1}

(m=1,2,...)(m=1,2,...).

Данные формулы могут быть иначе записаны в виде

ψ(z+1)=ψ(z)+1/z ,ψ(z1)=ψ(z)1/(z1) ,\psi(z+1) = \psi(z) +1/z \;, \psi(z-1) = \psi(z) -1/(z-1) \;,

ψ(z+m)=ψ(z)+k=0m1(z+k)1 ,ψ(zm)=ψ(z)k=1m(zk)1\psi(z+m) = \psi(z) +\sum_{k=0}^{m-1} (z+k)^{-1} \;, \psi(z-m) = \psi(z) -\sum_{k=1}^{m} (z-k)^{-1}

(m=1,2,...)(m=1,2,...).

Формулы симметрии

Π(z)Π(z)=Γ(1+z)Γ(1z)=π zsin(π z) ,\mathbf{\Pi}(z)\cdot \mathbf{\Pi}(-z) =\Gamma(1 +z)\cdot \Gamma(1 -z) =\frac{\pi \,z}{\sin(\pi \,z)} \;,

Ψ(z)Ψ(z1)=ψ(1z)ψ(z)=πtan(π z) .\Psi(-z) -\Psi(z-1) =\psi(1 -z) -\psi(z) =\frac{\pi}{\tan(\pi \,z)} \;.

С помощью данных формул можно также получить

Π(1/2+z)Π(1/2z)=Γ(1/2+z)Γ(1/2z)=πcos(π z) ,\mathbf{\Pi}(-1/2 +z)\cdot \mathbf{\Pi}(-1/2 -z) =\Gamma(1/2 +z)\cdot \Gamma(1/2 -z) =\frac{\pi}{\cos(\pi \,z)} \;,

Ψ(1/2+z)Ψ(1/2z)=ψ(1/2+z)ψ(1/2z)=π tan(πz) ;\Psi(-1/2 +z) -\Psi(-1/2 -z) =\psi(1/2 +z) -\psi(1/2 -z) =\pi \,\tan(\pi z) \;;

Π(i z)Π(i z)=Γ(1+i z)Γ(1i z)=π zsinh(π z) ,\mathbf{\Pi}(i \,z)\cdot \mathbf{\Pi}(-i \,z) =\Gamma(1 +i \,z)\cdot \Gamma(1 -i \,z) =\frac{\pi \,z}{\sinh(\pi \,z)} \;,

Π(i y)2=π ysinh(π y) ,Π(1/2+i y)2=πcosh(π y) ,\bigl|\mathbf{\Pi}(i \,y)\bigl|^2 =\frac{\pi \,y}{ \sinh(\pi \,y)} \;,\qquad \bigl|\mathbf{\Pi}(-1/2 +i \,y)\bigl|^2 =\frac{\pi}{\cosh(\pi \,y)} \;,

Im (Ψ(i y))=12 y+2π/4tanh(π y) ,Im (Ψ(1/2+i y))=2π4 tanh(π y)\mathrm{Im}\,\bigl(\Psi(i \,y)\bigr) =-\frac{1}{2 \,y} +\frac{2\pi/4}{\tanh(\pi \,y)} \;,\qquad \mathrm{Im}\,\bigl(\Psi(-1/2 +i \,y)\bigr) =\frac{2\pi}{4} \,\tanh(\pi \,y)

(yy – действительное).

<<<<

Вывод формулы симметрии для Π(z)\mathbf{\Pi}(z) см. в приложении A.1.

>>>>

Формула умножения Гаусса–Лежандра

Формулы умножения для функций Γ(z)\Gamma(z) и Π(z)=Γ(z+1)\mathbf{\Pi}(z) =\Gamma(z+1):

Γ(m z)=(2π)(1m)/2mm z1/2k=0m1Γ(z+k/m) ,\Gamma(m \,z) =(2\pi)^{(1-m)/2}\cdot m^{m \,z -1/2}\cdot \prod_{k=0}^{m-1} \Gamma(z +k/m) \;,

Π(m z)=(2π)(1m)/2m1/2+m zk=0m1Π(zk/m) .\mathbf{\Pi}(m \,z) =(2\pi)^{(1-m)/2} \cdot m^{1/2 +m \,z}\cdot \prod_{k=0}^{m-1} \mathbf{\Pi}(z -k/m) \;.

Формулы умножения для функций ψ(z)\psi(z) и Ψ(z)=ψ(z+1)\Psi(z) =\psi(z+1):

ψ(m z)=lnm+1m k=0m1ψ(z+k/m) ,\psi(m \,z) =\ln m +\frac{1}{m} \,\sum_{k=0}^{m-1} \psi(z +k/m) \;,

Ψ(m z)=lnm+1m k=0m1Ψ(zk/m) .\Psi(m \,z) =\ln m +\frac{1}{m} \,\sum_{k=0}^{m-1} \Psi(z -k/m) \;.

Формулы удвоения для функций Γ(z)\Gamma(z) и Π(z)\mathbf{\Pi}(z):

Γ(2 z)=(2π)1/222 z1/2Γ(z)Γ(z+1/2) ,\Gamma(2 \,z) =(2\pi)^{-1/2}\cdot 2^{2 \,z -1/2}\cdot \Gamma(z)\cdot \Gamma(z +1/2) \;,

Π(2 z)=(2π)1/221/2+2 zΠ(z)Π(z1/2) .\mathbf{\Pi}(2 \,z) =(2\pi)^{-1/2}\cdot 2^{1/2 +2 \,z}\cdot \mathbf{\Pi}(z)\cdot \mathbf{\Pi}(z -1/2) \;.

Формулы удвоения для функций ψ(z)\psi(z) и Ψ(z)\Psi(z):

ψ(2 z)=ln2+12 ψ(z)+12 ψ(z+1/2) ,\psi(2 \,z) =\ln 2 +\frac{1}{2} \,\psi(z) +\frac{1}{2} \,\psi(z +1/2) \;,

Ψ(2 z)=ln2+12 Ψ(z)+12 Ψ(z1/2) .\Psi(2 \,z) =\ln 2 +\frac{1}{2} \,\Psi(z) +\frac{1}{2} \,\Psi(z -1/2) \;.

<<<<

Вывод формулы a) см. в приложении A.2.

>>>>

Соотношения специального вида

zα(z)αΠ(β)Π(β1)zβ(z)βΠ(α)Π(α1)=1Π(αβ)Π(βα1) ,\frac{ z^{\alpha}\cdot (-z)^{-\alpha} }{ \mathbf{\Pi}(-\beta)\cdot \mathbf{\Pi}(\beta -1) } -\frac{ z^{\beta}\cdot (-z)^{-\beta} }{ \mathbf{\Pi}(-\alpha)\cdot \mathbf{\Pi}(\alpha -1) } =\frac{1}{ \mathbf{\Pi}(\alpha -\beta)\cdot \mathbf{\Pi}(\beta -\alpha -1) } \;,

zα(z)αΠ(β)Π(β1)+zβ(z)βΠ(α)Π(α1)=1Π(αβ)Π(α+β1) .\frac{ z^{\alpha}\cdot (-z)^{-\alpha} }{ \mathbf{\Pi}(-\beta)\cdot \mathbf{\Pi}(\beta -1) } +\frac{ z^{-\beta}\cdot (-z)^{\beta} }{ \mathbf{\Pi}(-\alpha)\cdot \mathbf{\Pi}(\alpha -1) } =\frac{1}{ \mathbf{\Pi}(-\alpha -\beta)\cdot \mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1) } \;.

<<<<

Вывод первой из данных формул см. в приложении A.3.; вторая формула выводится аналогично.

>>>>

Приложение. Вывод формул и доказательства теорем

Вывод основных функциональных уравнений для Π(z)

Здесь будут выведены формулы из пп. 1 и 3.

  1. Первая формула п. 1 может быть доказана следующим образом:
    используя формулы

1Π(z)=limM(M+1)z(M+1)!k=1M+1(z+k)\frac{1}{\mathbf{\Pi}(z)} = \lim_{M\to \infty} \frac{ (M+1)^{-z} }{(M+1)!}\cdot \prod_{k=1}^{M+1} (z+k)

=(z+1)limM(M+1)z(M+1)!k=1M(z+k+1) ,=(z+1)\cdot \lim_{M\to \infty} \frac{ (M+1)^{-z} }{(M+1)!}\cdot \prod_{k=1}^{M} (z+k+1) \;,

1Π(z+1)=limMMz1M!k=1M(z+k+1) ,\frac{1}{\mathbf{\Pi}(z+1)} = \lim_{M\to \infty} \frac{ M^{-z-1} }{M!}\cdot \prod_{k=1}^{M} (z+k+1) \;,

легко получаем

Π(z+1)/Π(z)=z+1 .\mathbf{\Pi}(z+1)/\mathbf{\Pi}(z) =z+1 \;.

  1. Первая формула п. 3 может быть доказана следующим образом:

1/(Π(z)Π(z))=limmk=1m(1(z/k)2)=sin(πz)π z .1/\bigl(\mathbf{\Pi}(z)\cdot \mathbf{\Pi}(-z)\bigr) =\lim_{m\to \infty} \prod_{k=1}^{m} \bigl(1 -(z/k)^2\bigr) =\frac{\sin(\pi z)}{\pi \,z} \;.

Здесь использовано представление синуса в виде бесконечного произведения.

Формула умножения Гаусса для Π(z)$

Здесь будет выведена формула из п. 4.

Используя формулу, определяющую функцию Π(z)\mathbf{\Pi}(z) (см. п. 1 статьи «Простейшие свойства факториала и гамма-функции»),

Π(z)=limNN!Nzj=1N(z+j)1(z<)\mathbf{\Pi}(z) =\lim_{N\to \infty} N! \cdot N^z \cdot\prod_{j=1}^{N} (z+j)^{-1} \qquad (|z|<\infty)

получим

Π(mz)=limN(m N)!(m N)m zj=1m N(m z+j)1\mathbf{\Pi}(mz) =\lim_{N\to \infty} (m \,N)! \cdot (m \,N)^{m \,z}\cdot \prod_{j=1}^{m \,N} (m \,z +j)^{-1}

и

Π(zk/m)=limNN!mNNzk/mj=1N(m z+m jk)1 ,\mathbf{\Pi}(z -k/m) = \lim_{N\to \infty} N! \cdot m^N \cdot N^{z-k/m} \cdot \prod_{j=1}^{N} (m \,z +m \,j -k)^{-1} \;,

k=0m1Π(zk/m)=limN(N!)mmm NNm zm/2+1/2k=0m1j=1N(m z+m jk)1\prod_{k=0}^{m-1} \mathbf{\Pi}(z-k/m) = \lim_{N\to \infty} (N!)^m \cdot m^{m \,N} \cdot N^{m \,z -m/2 +1/2} \cdot \prod_{k=0}^{m-1} \prod_{j=1}^{N} (m \,z +m \,j -k)^{-1}

=limN(N!)mmm NNm zm/2+1/2j=1m N(m z+j)1 .=\lim_{N\to \infty} (N!)^m \cdot m^{m \,N} \cdot N^{m \,z -m/2 +1/2} \cdot \prod_{j=1}^{m \,N} (m \,z +j)^{-1} \;.

Обозначим

Amk=0m1Π(zk/m)mm zΠ(m z)=limN(N!)mmm NNm/2+1/2(m N)! .A_m \equiv \frac{ \prod\limits_{k=0}^{m-1} \mathbf{\Pi}(z -k/m)\cdot m^{m \,z} }{ \mathbf{\Pi}(m \,z) } =\lim_{N\to \infty} \frac{ (N!)^m \cdot m^{m \,N} \cdot N^{-m/2 +1/2} }{(m \,N)!} \;.

Очевидно, что AmA_m – действительный положительный параметр, не зависящий от zz. Поэтому его можно определить, положив, например, в последнем равенстве z=0z=0:

Am=k=1m1Π(k/m)=k=1m1Π(k/m1) ,A_m =\prod_{k=1}^{m-1} \mathbf{\Pi}(-k/m) =\prod_{k=1}^{m-1} \mathbf{\Pi}(k/m -1) \;,

Am2=k=1m1(Π(k/m)Π(k/m1))=k=1m12π(2sin(π k/m))1 .A_m^2 =\prod_{k=1}^{m-1} \bigl(\mathbf{\Pi}(-k/m)\cdot\mathbf{\Pi}(k/m -1)\bigr) =\prod_{k=1}^{m-1} 2\pi \cdot \bigl(2\cdot \sin(\pi \,k/m)\bigr)^{-1} \;.

Воспользовавшись приведенной ниже вспомогательной формулой, получим

Am=m1/2(2π)(m1)/2 ,A_m =m^{-1/2}\cdot (2\pi)^{(m-1)/2} \;,

откуда следует необходимый результат. Выражение для AmA_m можно также получить, воспользовавшись формулой Стирлинга для факториала.

Вспомогательная формула:

k=1m1sin(π k/m)=21m m .\prod_{k=1}^{m-1} \sin(\pi \,k/m) =2^{1-m} \,m \;.

Данная формула выводится следующим образом:

Обозначим левую часть равенства через UU. Тогда

U=k=1m112 i (ei π k/mei π k/m)=U1U2 ,U =\prod_{k=1}^{m-1} \frac{1}{2 \,i} \,\bigl(e^{i \,\pi \,k/m} -e^{-i \,\pi \,k/m}\bigr) =U_1 \cdot U_2 \;,

где

U1=2(m1)im1exp(k=1m1i π k/m)=2(m1)im1exp(i 2π4 (m1))U_1 =2^{-(m-1)}\cdot i^{m-1}\cdot \exp\left(-\sum_{k=1}^{m-1} i \,\pi \,k /m\right) =2^{-(m-1)}\cdot i^{m-1}\cdot \exp\Bigl(-i \,\frac{2\pi}{4} \,(m-1)\Bigr)

=2(m1)im1(i)m1=2(m1) ,=2^{-(m-1)}\cdot i^{m-1}\cdot (-i)^{m-1} =2^{-(m-1)} \;,

и

U2=k=1m1(1ei 2π k/m) .U_2 =\prod_{k=1}^{m-1} \bigl(1 -e^{i \,2\pi \,k/m}\bigr) \;.

Числа

zk=ei 2π k/m(k=0,...,m1)z_k =e^{i \,2\pi \,k/m} \qquad (k =0,...,m-1)

являются нулями полинома zm1z^m -1. Следовательно,

k=0m1(zzk)=zm1 ,\prod_{k=0}^{m-1} (z -z_k) =z^m -1 \;,

а поскольку z0=1z_0 =1,

k=1m1(zzk)=zm1z1(z1) .\prod_{k=1}^{m-1} (z -z_k) =\frac{z^m -1}{z-1} \qquad (z\ne 1) \;.

Переходя в последнем равенстве к пределу при z1z\to 1, получаем

U2=k=1m1(1zk)=m ,U_2 =\prod_{k=1}^{m-1} (1 -z_k) =m \;,

откуда следует необходимый результат.

Соотношения специального вида для Π(z)

Здесь будет выведена формула п. 5-a).

Легко проверить, что

zα(z)α=ei α (argzarg(z))=ei 2π αm/2 ,z^{\alpha}\cdot (-z)^{-\alpha} =e^{i \,\alpha \,\bigl(\arg z -\arg(-z)\bigr)} =e^{i \,2\pi \,\alpha m/2} \;,

где

m={1 приargz>0 ,1 приargz0 .m = \begin{cases} 1 & \ {при } \arg z >0 \;,\\ -1 & \ {при } \arg z \le 0 \;. \end{cases}

Левую часть равенства п.~5-a) можно представить в виде

2 (2π)1(ei π α msin(π β)ei π β msin(π α))2 \,(2\pi)^{-1}\cdot \bigl(e^{i \,\pi \,\alpha \,m} \cdot \sin(\pi \,\beta) -e^{i \,\pi \,\beta \,m} \cdot \sin(\pi \,\alpha)\bigr)

=(2π i)1(ei π(α m+β)ei π (α mβ)=(2\pi \,i)^{-1}\cdot \bigl(e^{i \,\pi(\alpha \,m +\beta)} -e^{i \,\pi \,(\alpha \,m -\beta)}

ei π (β m+α)+ei π (β mα)) .-e^{i \,\pi \,(\beta \,m +\alpha)} + e^{i \,\pi \,(\beta \,m -\alpha)}\bigr) \;.

Рассмотрев отдельно случаи m=1m=1 и m=1m=-1, получим необходимый результат.

Литература

  1. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского:
    Edited by M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

  2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
    Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – Москва, «Наука», 1973; 297с. Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

  3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

  4. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

  5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.

  6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.

  7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

  8. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с.
    Перевод с немецкого: E. Janke, F. Emde, F. Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир