Настоящая статья начинает подраздел, в котором рассматриваются функции , и связанные с ними функции и , а также функции, определяемые как суммы обратных степеней – (дзета-функция Римана) и .
Из высших трансцендентных функций (т.е. трансцендентных функций, не являющихся элементарными) функции и являются одними из наиболее простых.
Данные функции используются для представления и вычисления некоторых определенных интегралов и сумм.
Функция является обобщением факториала ,
который в элементарной математике определяется для целых неотрицательных чисел простой формулой
Кроме того, функция используется во многих уравнениях для гипергеометрических функций (см. подраздел «Гипергеометрические функции»); поэтому, можно сказать, изучение гипергеометрических функций невозможно без предварительного изучения гамма-функции.
В настоящей статье даны определения функций, которые рассматриваются далее, и качественно описан характер их поведения.
Определения основных функций
Функции (факториал или пи-функция) и (гамма-функция) удобнее всего определить с помощью формулы
Другие формы записи данного соотношения
Здесь – функция, которая для комплексных значений аргумента рассматривается наряду с функцией , и значение которой для каждого значения равно , где – некоторое целое число, определяемое таким образом, чтобы функция непрерывно зависела от . Аналогично, для комплексных значений аргумента наряду с функцией рассматривается функция .
Функции и (\emph{дигамма-функция} или \emph{пси-функция}) определяются как логарифмические производные, соответственно, функций и :
Из определения сразу следует следующее представление функции :
В качестве альтернативных определений функций и иногда используются представления данных функций в виде некоторых сходящихся рядов или определенных интегралов (см. статьи «Представление гамма-функции и связанных с ней функций в виде сходящихся рядов» и «Интегральные представления гамма-функции и связанных с ней функций»).
Особые точки
a) Особыми точками функции в открытой комплексной плоскости являются числа \ . Каждая из точек является простым полюсом с вычетом
b) Особыми точками функции
\ () в комплексной плоскости являются числа \ ().
Для функции каждая из точек является простым полюсом с вычетом
Для функции при каждая из точек является полюсом порядка с вычетом
Фазовые соотношения
Факториал действительного аргумента
Множеством значений функции является множество отличных от нуля действительных чисел. В точках \ функция терпит разрыв. Нулей не имеет.
На рисунке 1 представлены графики функций (сплошная кривая) и (пунктирная кривая).
Рис. 1. Графики функций (сплошная кривая) и (кривая из точек).
Рис.2. График функции .
Дигамма-функция действительного аргумента
Множеством значений функции является множество действительных чисел. В точках \ функция терпит разрыв. В интервалах и \ ,
ограниченных точками разрыва, функция возрастает; в каждом из данных интервалов она имеет единственный нуль.
На рисунке 2 представлен график функций .
В следующей таблице представлены нули функции и соответствующие экстремальные значения функции :
Литература
-
Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.
-
Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – Москва, «Наука», 1973; 297с.
Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953. -
http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.
-
А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.
-
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.
-
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.
-
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.
-
Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E. Janke, F. Emde, F. Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.
Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!
Комментарии