Простейшие свойства факториала и гамма-функции

Содержание

  1. 1. Определения основных функций
  2. 2. Особые точки
  3. 3. Фазовые соотношения
  4. 4. Факториал действительного аргумента
  5. 5. Дигамма-функция действительного аргумента
  6. 6. Литература

Настоящая статья начинает подраздел, в котором рассматриваются функции Π(z)\mathbf{\Pi}(z), Γ(z)=Π(z1)\Gamma(z)=\mathbf{\Pi}(z-1) и связанные с ними функции Ψ(z)\Psi(z) и ψ(z)=Ψ(z1)\psi(z)=\Psi(z-1), а также функции, определяемые как суммы обратных степеней – ζ(z)\zeta(z) (дзета-функция Римана) и β(z)\beta(z).

Из высших трансцендентных функций (т.е. трансцендентных функций, не являющихся элементарными) функции Γ(z)\Gamma(z) и ψ(z)\psi(z) являются одними из наиболее простых.

Данные функции используются для представления и вычисления некоторых определенных интегралов и сумм.

Функция Π(z)=Γ(z+1)\mathbf{\Pi}(z)=\Gamma(z+1) является обобщением факториала Π(n)=n!\mathbf{\Pi}(n)=n!,
который в элементарной математике определяется для целых неотрицательных чисел простой формулой

n!=k=1nk .n! =\prod_{k=1}^{n} k \;.

Кроме того, функция Γ(z)\Gamma(z) используется во многих уравнениях для гипергеометрических функций (см. подраздел «Гипергеометрические функции»); поэтому, можно сказать, изучение гипергеометрических функций невозможно без предварительного изучения гамма-функции.

В настоящей статье даны определения функций, которые рассматриваются далее, и качественно описан характер их поведения.

Определения основных функций

Функции Π(z)\mathbf{\Pi}(z) (факториал или пи-функция) и Γ(z)=Π(z1)\Gamma(z)=\mathbf{\Pi}(z-1) (гамма-функция) удобнее всего определить с помощью формулы

Ln Π(z)=limM(zlnMk=1Mln(1+z/k)) .\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\lim_{M\to \infty} \Bigl(z\cdot \ln M -\sum_{k=1}^{M} \ln(1+z/k)\Bigr) \;.

Другие формы записи данного соотношения

1/Π(z)=limMMzk=1M(1+z/k)(z<) ,1/\mathbf{\Pi}(z) = \lim_{M\to \infty} M^{-z}\cdot \prod_{k=1}^{M} (1+z/k) \qquad (|z|<\infty) \;,

1/Π(z)=limMMzM!k=1M(z+k)(z<) .1/\mathbf{\Pi}(z) = \lim_{M\to \infty} \frac{ M^{-z} }{M!}\cdot \prod_{k=1}^{M} (z+k) \qquad (|z|<\infty) \;.

Здесь Ln Π(z)\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) – функция, которая для комплексных значений аргумента рассматривается наряду с функцией Π(z)\mathbf{\Pi}(z), и значение которой для каждого значения zz равно Ln Π(z)=lnΠ(z)+2 π k\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\ln\mathbf{\Pi}(z) +2 \,\pi \,k, где kk – некоторое целое число, определяемое таким образом, чтобы функция Ln Π(z)\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) непрерывно зависела от Im z\mathrm{Im}\, z. Аналогично, для комплексных значений аргумента наряду с функцией Γ(z)\Gamma(z) рассматривается функция Ln Γ(z)\mathrm{Ln}\,\Gamma(z).

Функции Ψ(z)\Psi(z) и ψ(z)=Ψ(z1)\psi(z)=\Psi(z-1) (\emph{дигамма-функция} или \emph{пси-функция}) определяются как логарифмические производные, соответственно, функций Π(z)\mathbf{\Pi}(z) и Γ(z)\Gamma(z):

Ψ(z)=ddz Ln Π(z) ,ψ(z)=ddz Ln Γ(z) .\Psi(z) =\frac{d}{d z} \,\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) \;,\qquad \psi(z) =\frac{d}{d z} \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z) \;.

Из определения сразу следует следующее представление функции Ψ(z)\Psi(z):

Ψ(z)=limM(lnMk=1M(z+k)1) .\Psi(z) =\lim_{M\to \infty} \Bigl(\ln M -\sum_{k=1}^{M} (z+k)^{-1}\Bigr) \;.

В качестве альтернативных определений функций Π(z)\mathbf{\Pi}(z) и Ψ(z)\Psi(z) иногда используются представления данных функций в виде некоторых сходящихся рядов или определенных интегралов (см. статьи «Представление гамма-функции и связанных с ней функций в виде сходящихся рядов» и «Интегральные представления гамма-функции и связанных с ней функций»).

Особые точки

a) Особыми точками функции Π(z)=Γ(z+1)\mathbf{\Pi}(z) =\Gamma(z+1) в открытой комплексной плоскости являются числа zk=kz_k=-k \ (k=1,2,3,...)(k=1,2,3,...). Каждая из точек zkz_k является простым полюсом с вычетом

reszkΠ(z)=limzk(z+k)Π(z)=(1)k1(k1)! .\mathrm{res}_{z_k} \mathbf{\Pi}(z) =\lim_{z\to -k} (z+k)\cdot \mathbf{\Pi}(z) =\frac{ (-1)^{k-1} }{(k-1)!} \;.

b) Особыми точками функции Ψ(m)(z)=(d/dz)m+1 Ln Π(z)=(d/dz)m+1 Ln Γ(z+1)\Psi^{(m)}(z) =(d /d z)^{m+1} \,\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(d /d z)^{m+1} \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z+1)
\ (m=0,1,2,...m =0,1,2,...) в комплексной плоскости являются числа zk=kz_k =-k \ (k=1,2,3,...k=1,2,3,...).

Для функции Ψ(0)(z)=Ψ(z)\Psi^{(0)}(z) =\Psi(z) каждая из точек zkz_k является простым полюсом с вычетом

reszkΨ(z)=1 .\mathrm{res}_{z_k} \Psi(z) =-1 \;.

Для функции Ψ(m)(z)\Psi^{(m)}(z) при m>0m>0 каждая из точек zkz_k является полюсом порядка m+1m+1 с вычетом

reszkΨ(m)(z)=limzk(z+k)Ψ(m)(z)=0 .\mathrm{res}_{z_k} \Psi^{(m)}(z) =\lim_{z \to -k} (z+k)\cdot \Psi^{(m)}(z) =0 \;.

Фазовые соотношения

Π(x)(z)=(Π(x)(z)) ,Ψ(z)=(Ψ(z)) .\mathbf{\Pi}(x)(z^*) =\bigl(\mathbf{\Pi}(x)(z)\bigr)^* \;,\qquad \Psi(z^*) =\bigl(\Psi(z)\bigr)^* \;.

Факториал действительного аргумента

Множеством значений функции y=Π(x)y=\mathbf{\Pi}(x) является множество отличных от нуля действительных чисел. В точках xk=kx_k=-k \ (k=1,2,...)(k=1,2,...) функция терпит разрыв. Нулей не имеет.

На рисунке 1 представлены графики функций y=Π(x)y=\mathbf{\Pi}(x) (сплошная кривая) и y=1/Π(x)y=1/\mathbf{\Pi}(x) (пунктирная кривая).

__fgamma_psi.png

Рис. 1. Графики функций Π(x)\mathbf{\Pi}(x) (сплошная кривая) и 1/Π(x)1/\mathbf{\Pi}(x) (кривая из точек).

Рис.2. График функции Ψ(x)\Psi(x).

Дигамма-функция действительного аргумента

Множеством значений функции y=Ψ(x)y=\Psi(x) является множество действительных чисел. В точках xk=kx_k=-k \ (k=1,2,...)(k=1,2,...) функция терпит разрыв. В интервалах [1,+][-1,+\infty] и [k1,k][-k-1,-k] \ (k=1,2,...)(k=1,2,...),
ограниченных точками разрыва, функция возрастает; в каждом из данных интервалов она имеет единственный нуль.

На рисунке 2 представлен график функций y=Ψ(x)y=\Psi(x).

В следующей таблице представлены нули функции Ψ(x)\Psi(x) и соответствующие экстремальные значения функции Π(x)\mathbf{\Pi}(x):

значения_функции_п.jpg

Литература

  1. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

  2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
    Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – Москва, «Наука», 1973; 297с.
    Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

  3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

  4. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

  5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.

  6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.

  7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

  8. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E. Janke, F. Emde, F. Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир