Интегральные представления гамма-функции и связанных с ней функций

В настоящей статье представлены формулы, дающие интегральные представления функций $\mathbf{\Pi}(z) =\Gamma(z +1)$, $\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1)$, $\Psi(z) =\psi(z+1) =(d/d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1)$, а также бета-функции, которая представляется в виде произведения и отношения гамма-функций.

В формулах используется постоянная Эйлера-Маскерони $c_{\scriptscriptstyle E}$.

Интегральные представления для Π(z)

$a) \mathbf{\Pi}(z) = \int_0^{\infty} t^z \cdot e^{-t} \,dt (\mathrm{Re}\, z>-1);$

$b) \mathbf{\Pi}(z) = \int_0^{\infty} t^z \left(e^{-t} -\sum_{k=0}^{m} (-1)^k/k!\right) \,dt (-m-2 < \mathrm{Re}\, z < -m-1).$

$<<$

Вывод формулы a) см. в приложении A.1.

$>>$

Интегральные представления для Ψ(z)

a)

$c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) =\int_0^{\infty} \frac{ 1 -e^{-z \,t} }{ e^t -1 } \,d t =\int_0^1 \frac{1-t^z}{1-t} \,d t$

$(\mathrm{Re}\, z>-1)$;

b) Интегральная формула Гаусса:

$\Psi(z) =\ln \xi +\eta /z$

$+\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} \,e^{-\xi \,t} -e^{-t \,z}\cdot (e^t -1)^{-1} -\eta \,e^{-t \,z}\Bigr) \,d t$

($\mathrm{Re}\, \xi >0$; $\mathrm{Re}\, z>0$).

Другая форма записи интегральной формулы Гаусса:

$\Psi(z) =\ln \xi +\eta /z$

$+\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} \,e^{-\xi \,t} -e^{-t z}\cdot \bigl(1 -e^{-t}\bigr)^{-1} +(1 -\eta)\cdot e^{-t \,z}\Bigr) \,d t \;.$

c) Интегральная формула Бине:

$\Psi(z) -\ln z -1/(2 \,z) =-2 \,\int_0^{\infty} t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi t} -1)^{-1} \,d t$

$(|\arg z|< 2\pi/4)$.

d) Частные случаи формулы b):

$\Psi(z) =\int_0^{\infty} e^{-t} \,\Bigl(t^{-1} -e^{-z \,t}\bigl(1-e^{-t}\bigr)^{-1}\Bigr) \,d t \qquad (\mathrm{Re}\, z>-1) \;,$

$\Psi(z) =\ln z +\eta/z +\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} -(e^t -1)^{-1} -\eta\Bigr)\cdot e^{-t \,z} \,d t$

$=\ln z +\eta /z +\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} -\bigl(1 -e^{-t})^{-1} +1-\eta\Bigr)\cdot e^{-t \,z} \,d t$

$(\mathrm{Re}\, z>0).$

$<<$

Вывод формул настоящего пункта см. в приложении A.2.

$>>$

Интегральные представления для LnΠ(z)

$a) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =z\cdot \ln \xi +\int_0^{\infty} t^{-1} \,e^{-t}\cdot \left(z\cdot e^{(1-\xi) \,t} -\frac{ 1 -e^{-z \,t} }{ 1 -e^{-t} }\right) \,d t$

$(\mathrm{Re}\, \xi >0 \;,\; \mathrm{Re}\, z>-1) \;;$

$b) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(z+1/2)\cdot \ln \xi -\xi +\ln\sqrt{2\pi}$

$+\int_0^{\infty} \Bigl(e^{-z \,t} \,(e^t -1)^{-1} +e^{-\xi \,t}\cdot (-t^{-1} +1/2 -\xi +z)\Bigr)\cdot t^{-1} \,d t$

$(\mathrm{Re}\, \xi >0 \;,\; \mathrm{Re}\, z>0) \;;$

$c) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(z+1/2)\cdot \ln z -z +\ln \sqrt{2\pi} +2 \,\int_0^{\infty} \frac{\arctan(t/z)}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t$

$(\mathrm{Re}\, z>0) \;.$

$<<$

Вывод формул настоящего пункта см. в приложении A.3.

$>>$

Интегральные представления бета-функции

$\frac{\Gamma(\alpha) \,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha +\beta)} =\int_0^1 t^{\alpha -1} \,(1-t)^{\beta -1} \,dt \qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0;\; \mathrm{Re}\, \beta >0);$

$\frac{\Gamma(\alpha) \,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha +\beta)} =\int_0^{\infty} t^{\alpha -1} \,(1+t)^{-\alpha -\beta} \,dt \qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0;\; \mathrm{Re}\, \beta >0);$

$\frac{\Gamma(\alpha) \,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha +\beta)} =2 \,\int_0^{2\pi/4} (\cos z)^{2\alpha -1} \,(\sin z)^{2\beta -1} \,dt \qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0;\; \mathrm{Re}\, \beta >0).$

$<<$

Вывод первых двух формул настоящего пункта см. в приложении A.4.

$>>$

Обобщения

Формулы, дающие интегральные представления рассматриваемых функций, могут быть обобщены с помощью соотношения

$\int_0^{\infty} f(x) \,dx = \int_0^{\infty} f(\sigma x) \,dx$

($|\sigma|=1$; $|\arg \sigma|<\varphi_0$) справедливой для функции $f(z)$, аналитичной в открытой области $|\arg z|<\varphi_0)$ и удовлетворяющей условию $z\cdot f(z) \to 0$ при $z \to \infty$.

Приложение. Вывод формул и доказательства теорем

Интегральное представление для Π(z)

Здесь будет выведена формула из п. 1.

Формула п. 1-a) может быть доказана следующим образом.
При $\mathrm{Re}\, z >-1$, с помощью интегрирования по частям можно получить

$\int_0^N (1-t/N)^N \cdot t^z \,d t =N!\cdot N^z \cdot \prod_{j=1}^N (z+j)^{-1} \;.$

Следовательно,

$\int_0^{\infty} t^z \cdot e^{-t} \,d t =\lim_{N\to \infty} \int_0^N (1-t/N)^N \cdot t^z \,d t$

$=\lim_{N\to \infty} N! \cdot N^z \cdot \prod_{j=1}^N (z+j)^{-1} =\mathbf{\Pi}(z) \;,$

откуда следует необходимый результат.

Интегральные представления для Ψ(z)

Здесь будут выведены формулы п. 2.

При $\mathrm{Re}\, z >-1$,

$\int_0^1 \frac{ 1-t^z }{1-t} \,d t = \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^1 t^k \,(1 -t^z) \,d t = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z}{ (k+1)(z+k+1) } \;,$

откуда следует формула a).

При выводе b) мы используем вспомогательные соотношения

$\gamma/z =\int_0^{\infty} \gamma \,e^{-t \,z} \,d t \qquad (\mathrm{Re}\, z>0);$

$\ln(\xi/\eta) =\int_0^{\infty} \bigl(e^{-\eta \,t} -e^{-\xi \,t}\bigr)\cdot t^{-1} \,d t \qquad (\mathrm{Re}\, \xi >0 \;,\; \mathrm{Re}\, \eta >0).$

В качестве исходной используем формулу

$\Psi(z-1) =\lim_{m\to \infty} \left(\ln m -\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{z+k}\right) \;.$

Подставляя в ее правую часть

$\ln m =\ln \xi +\int_0^{\infty} \bigl(e^{-\xi \,t} - e^{-m \,t}\bigr)\cdot t^{-1} \,d t \quad \ {и} \quad \frac{1}{z+k} = \int_0^{\infty} e^{-t \,(z+k)} \,d t$

($\mathrm{Re}\, \xi >0$; \ $\mathrm{Re}\, z >0$; \ $k=0,1,...$), получим

$\Psi(z-1) =\ln \xi + \lim_{m \to \infty} \int_0^{\infty} \left(\bigl(e^{-\xi \,t} - e^{-m \,t}\bigr)\cdot t^{-1} -e^{-t \,z}\cdot \frac{ e^{-m \,t} -1 }{ e^{-t} -1 }\right) \,d t$

$=\ln \xi +\int_0^{\infty} \left(t^{-1} \,e^{-\xi \,t} -e^{-t \,z} \,\bigl(1 -e^{-t}\bigr)^{-1}\right) \,d t$

$+\lim_{m \to \infty} \int_0^{\infty} e^{-m \,t} \,\left(-t^{-1} +e^{-t \,z} \,\bigl(1 -e^{-t}\bigr)^{-1}\right) \,d t \;.$

Второй интеграл в правой части последнего равенства стремится к нулю при
$m \to \infty$.

В результате получаем частный случай формулы b) при $\eta =1$.

При выводе c) мы используем формулу

$\frac{d}{d z} \,\Psi(z-1) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^2} \;.$

Применим здесь формулу суммирования Плана

$\sum_{k=0}^{\infty} f(k) =\frac{1}{2} \,f(0) +\int_0^{\infty} f(t) \,d t +i \,\int_0^{\infty} \frac{f(i \,t) -f(-i \,t)}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t \;.$

Эта формула справедлива, если

A) функция $f(z)$ регулярна при $\mathrm{Re}\, z \ge 0$;

B) равенство

$\lim_{y\to \infty} e^{-2\pi \,|y|}\cdot f(x +i\,y) =0$

выполняется равномерно при $0\le x <+\infty$;

C) имеет место

$\lim_{x\to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi \,|y|}\cdot |f(x +i \,y)| \,d y =0 \;.$

Полагая в данной формуле суммирования $f(\xi) =(z +\xi)^{-2}$, $\mathrm{Re}\, z >0$, получаем

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^2} =\frac{d}{d z} \,\Psi(z-1) =\frac{1}{2 \,z^2} +\frac{1}{z} +\int_0^{\infty} 4 \,t \,z\cdot (z^2 +t^2)^{-2} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t \;.$

Интегрируя по $z$, получаем

$\Psi(z-1) =A +\ln z -1/(2 z) -\int_0^{\infty} 2 \,t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t \;,$

где $A=\mathrm{const}$. Параметр $A$ может быть определен следующим образом.

Пусть переменная $z$ действительна и положительна. Тогда

$\left|\int_0^{\infty} 2 t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t \right| \le \frac{2}{z^2} \,\int_0^{\infty} \frac{t}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t \;.$

Выражение в правой части стремится к нулю при $z\to \infty$. Следовательно,

$A =\lim_{z\to \infty} \Bigl(\Psi(z) -\ln z -1/(2 z)\Bigr) \;.$

Используя интегральное представление функции $\Psi(z)$, определяемое формулой п. 2-b) при $\xi =z$ и $\eta =1/2$, получим

$A =\lim_{z\to \infty} \int_0^{\infty} e^{-z t} \,\Bigl(t^{-1} -1/2 -(e^t -1)^{-1}\Bigr) \,d t \;.$

Рассмотрим функцию

$F(\xi) =\xi^{-1} \,\Bigl(1/2 -\xi^{-1} +(e^{\xi} -1)^{-1}\Bigr) \;.$

При $|\xi|<2\pi$ функция $F(\xi)$ представима в виде степенного ряда

$F(\xi) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{ B_{k+2}(0) }{(k+2)!}\cdot \xi^k$

и, следовательно, данная функция ограничена в окрестности точки $\xi =0$.
Кроме того, очевидно, $F(t)\to 0$ при $t\to +\infty$.

Отсюда следует, что функция $F(t)$ ограничена при $0\le t< \infty$, т.е. $|F(t)|\le C$.

Поэтому

$\left|\int_0^{\infty} e^{-z \,t} \,\Bigl(t^{-1} -1/2 -(e^t -1)^{-1}\Bigr) \,d t\right| \le \int_0^{\infty} C \,t \,e^{-z \,t} \,d t =C/z^2$

и, таким образом, $A=0$.

Интегральные представления для LnΠ(z)

Формулы пункта 3 могут быть получены из соответствующих формул пункта 2 с помощью соотношения

$\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\int_0^z \Psi(\xi) \,d\xi \;.$

Интегрируя формулу п.~2-b) при $\eta=0$, получим формулу п. 3-a).

Интегрируя формулу п.~2-b) при $\eta=1/2$ и $\xi=z$, получим

$\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\gamma +(z+1/2)\cdot \ln z -z$

$+\int_0^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t -1\bigr)^{-1} - t^{-1} + 1/2\Bigr) \cdot t^{-1} \,e^{-t \,z} \,d t$

$(\mathrm{Re}\, z>0;\; \gamma =\mathrm{const})$. Значение константы $\gamma$ можно определить, положив в последнем равенстве $z=1$:

$1-\gamma = \int_0^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t -1\bigr)^{-1} - t^{-1} + 1/2\Bigr) \cdot t^{-1} \,e^{-t} \,d t =1 -\frac{1}{2} \ln(2\pi) \;.$

Метод вычисления данного интеграла можно найти в книге [8].

В результате получаем частный случай формулы п.~3-b):

$\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(z+1/2)\cdot \ln z -z +\ln\sqrt{2\pi}$

$+\int_0^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t -1\bigr)^{-1} - t^{-1} + 1/2\Bigr)\cdot t^{-1} e^{-t \,z} \,d t$

$(\mathrm{Re}\, z>0)$. Для вывода формулы п.~3-b) в общем виде
используем соотношения

$\ln(z/\xi) =\int_0^{\infty} \bigl(e^{-\xi \,t} -e^{-z \,t}\bigr)\cdot t^{-1} \,d t$

и

$z\cdot \ln(z/\xi) -z+\xi = \int_0^{\infty} \Bigl((z -\xi)\cdot e^{-\xi \,t} + t^{-1}\cdot\bigl(e^{-z \,t} -e^{-\xi \,t}\bigr)\Bigr)\cdot t^{-1} \,d t \;;$

второе из данных соотношений получается из первого при интегрировании его по $z$ в пределах от $\xi$ до $z$.

Для вывода формулы п. 3-c) проинтегрируем по $z$ формулу п. 2-c); получим

$\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\gamma +(z +1/2)\cdot \ln z -z +2 \,\int_0^{\infty} \frac{\arctan(t/z)}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t \;,$

где $\gamma =\mathrm{const}$.

Значение данной константы можно определить аналогично тому, как была определена соответствующая константа при выводе формулы п. 2-c).

Интегральные представления бета-функции

Здесь будет выведена формула из п. 4.

Обозначим (при $\mathrm{Re}\, \alpha >0$; $\mathrm{Re}\, \beta >0$)

$B(\alpha,\beta)\equiv \int_0^1 t^{\alpha -1} \,(1-t)^{\beta -1} \,d t \;.$

С помощью замены переменной интегрирования $t =s/(1+s)$ получим

$B(\alpha,\beta) =\int_0^{\infty} s^{\alpha -1} \,(1+s)^{-\alpha -\beta} \,d t \;.$

Используем формулу интегрального представления функции $\mathbf{\Pi}(z)$:

$\int_0^{\infty} e^{-(1+s) \,t} \,t^{\alpha +\beta -1} \,d t =(1+s)^{-\alpha -\beta}\cdot \mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1) \;.$

Умножив обе части данного равенства на $s^{\alpha -1}$, проинтегрировав по $s$ от $0$ до $\infty$ и изменив в левой части равенства порядок интегрирования, получим

$\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-(1+s) \,t} \,t^{\alpha +\beta -1} \,s^{\alpha -1} \,d s \,d t =\mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1)\cdot \int_0^{\infty} s^{\alpha -1} \,(1+s)^{-\alpha -\beta} \,d s \;,$

откуда

$B(\alpha,\beta) =\frac{\mathbf{\Pi}(\alpha-1) \,\mathbf{\Pi}(\beta-1)}{\mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1)} \;.$

Литература

1. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского:
   Edited by M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
   Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – Москва, «Наука», 1973; 297с.
   Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

4. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.

6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.

7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

8. Э.Т.Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. – Государственное издательство физико-математической литературы; Москва, 1963; 500 с.
   Перевод с английского: E.T. Whittaker, G.N. Watson. A Course of Modern Analysis. Cambridge; At the University Press; 1927.

9. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с.
   Перевод с немецкого: E. Janke, F. Emde, F. Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!