В настоящей статье представлены формулы, дающие интегральные представления функций Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) \mathbf{\Pi}(z) =\Gamma(z +1) Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) , L n Π ( z ) = L n Γ ( z + 1 ) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1) L n Π ( z ) = L n Γ ( z + 1 ) , Ψ ( z ) = ψ ( z + 1 ) = ( d / d z ) L n Γ ( z + 1 ) \Psi(z) =\psi(z+1) =(d/d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1) Ψ ( z ) = ψ ( z + 1 ) = ( d / d z ) L n Γ ( z + 1 ) , а также бета-функции, которая представляется в виде произведения и отношения гамма-функций.
В формулах используется постоянная Эйлера-Маскерони c E c_{\scriptscriptstyle E} c E .
Интегральные представления для Π(z)
a ) Π ( z ) = ∫ 0 ∞ t z ⋅ e − t d t ( R e z > − 1 ) ; a)
\mathbf{\Pi}(z) = \int_0^{\infty} t^z \cdot e^{-t} \,dt
(\mathrm{Re}\, z>-1);
a ) Π ( z ) = ∫ 0 ∞ t z ⋅ e − t d t ( R e z > − 1 ) ;
b ) Π ( z ) = ∫ 0 ∞ t z ( e − t − ∑ k = 0 m ( − 1 ) k / k ! ) d t ( − m − 2 < R e z < − m − 1 ) . b)
\mathbf{\Pi}(z) = \int_0^{\infty}
t^z \left(e^{-t} -\sum_{k=0}^{m} (-1)^k/k!\right) \,dt
(-m-2 < \mathrm{Re}\, z < -m-1).
b ) Π ( z ) = ∫ 0 ∞ t z ( e − t − k = 0 ∑ m ( − 1 ) k / k ! ) d t ( − m − 2 < R e z < − m − 1 ) .
< < << < <
Вывод формулы a) см. в приложении A.1.
> > >> > >
Интегральные представления для Ψ(z)
a)
c E + Ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ 1 − e − z t e t − 1 d t = ∫ 0 1 1 − t z 1 − t d t c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) =\int_0^{\infty} \frac{ 1 -e^{-z \,t} }{ e^t -1 } \,d t
=\int_0^1 \frac{1-t^z}{1-t} \,d t
c E + Ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ e t − 1 1 − e − z t d t = ∫ 0 1 1 − t 1 − t z d t
( R e z > − 1 ) (\mathrm{Re}\, z>-1) ( R e z > − 1 ) ;
b) Интегральная формула Гаусса:
Ψ ( z ) = ln ξ + η / z \Psi(z) =\ln \xi +\eta /z
Ψ ( z ) = ln ξ + η / z
+ ∫ 0 ∞ ( t − 1 e − ξ t − e − t z ⋅ ( e t − 1 ) − 1 − η e − t z ) d t +\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} \,e^{-\xi \,t}
-e^{-t \,z}\cdot (e^t -1)^{-1} -\eta \,e^{-t \,z}\Bigr) \,d t
+ ∫ 0 ∞ ( t − 1 e − ξ t − e − t z ⋅ ( e t − 1 ) − 1 − η e − t z ) d t
(R e ξ > 0 \mathrm{Re}\, \xi >0 R e ξ > 0 ; R e z > 0 \mathrm{Re}\, z>0 R e z > 0 ).
Другая форма записи интегральной формулы Гаусса:
Ψ ( z ) = ln ξ + η / z \Psi(z) =\ln \xi +\eta /z
Ψ ( z ) = ln ξ + η / z
+ ∫ 0 ∞ ( t − 1 e − ξ t − e − t z ⋅ ( 1 − e − t ) − 1 + ( 1 − η ) ⋅ e − t z ) d t . +\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} \,e^{-\xi \,t}
-e^{-t z}\cdot \bigl(1 -e^{-t}\bigr)^{-1} +(1 -\eta)\cdot e^{-t \,z}\Bigr) \,d t \;.
+ ∫ 0 ∞ ( t − 1 e − ξ t − e − t z ⋅ ( 1 − e − t ) − 1 + ( 1 − η ) ⋅ e − t z ) d t .
c) Интегральная формула Бине:
Ψ ( z ) − ln z − 1 / ( 2 z ) = − 2 ∫ 0 ∞ t ⋅ ( z 2 + t 2 ) − 1 ( e 2 π t − 1 ) − 1 d t \Psi(z) -\ln z -1/(2 \,z) =-2 \,\int_0^{\infty}
t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi t} -1)^{-1} \,d t
Ψ ( z ) − ln z − 1 / ( 2 z ) = − 2 ∫ 0 ∞ t ⋅ ( z 2 + t 2 ) − 1 ( e 2 π t − 1 ) − 1 d t
( ∣ arg z ∣ < 2 π / 4 ) (|\arg z|< 2\pi/4) ( ∣ arg z ∣ < 2 π / 4 ) .
d) Частные случаи формулы b):
Ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t ( t − 1 − e − z t ( 1 − e − t ) − 1 ) d t ( R e z > − 1 ) , \Psi(z) =\int_0^{\infty}
e^{-t} \,\Bigl(t^{-1} -e^{-z \,t}\bigl(1-e^{-t}\bigr)^{-1}\Bigr) \,d t
\qquad (\mathrm{Re}\, z>-1) \;,
Ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t ( t − 1 − e − z t ( 1 − e − t ) − 1 ) d t ( R e z > − 1 ) ,
Ψ ( z ) = ln z + η / z + ∫ 0 ∞ ( t − 1 − ( e t − 1 ) − 1 − η ) ⋅ e − t z d t \Psi(z) =\ln z +\eta/z +\int_0^{\infty}
\Bigl(t^{-1} -(e^t -1)^{-1} -\eta\Bigr)\cdot e^{-t \,z} \,d t
Ψ ( z ) = ln z + η / z + ∫ 0 ∞ ( t − 1 − ( e t − 1 ) − 1 − η ) ⋅ e − t z d t
= ln z + η / z + ∫ 0 ∞ ( t − 1 − ( 1 − e − t ) − 1 + 1 − η ) ⋅ e − t z d t =\ln z +\eta /z +\int_0^{\infty}
\Bigl(t^{-1} -\bigl(1 -e^{-t})^{-1} +1-\eta\Bigr)\cdot e^{-t \,z} \,d t
= ln z + η / z + ∫ 0 ∞ ( t − 1 − ( 1 − e − t ) − 1 + 1 − η ) ⋅ e − t z d t
( R e z > 0 ) . (\mathrm{Re}\, z>0).
( R e z > 0 ) .
< < << < <
Вывод формул настоящего пункта см. в приложении A.2.
> > >> > >
Интегральные представления для LnΠ(z)
a ) L n Π ( z ) = z ⋅ ln ξ + ∫ 0 ∞ t − 1 e − t ⋅ ( z ⋅ e ( 1 − ξ ) t − 1 − e − z t 1 − e − t ) d t a)
\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =z\cdot \ln \xi
+\int_0^{\infty} t^{-1} \,e^{-t}\cdot \left(z\cdot e^{(1-\xi) \,t}
-\frac{ 1 -e^{-z \,t} }{ 1 -e^{-t} }\right) \,d t
a ) L n Π ( z ) = z ⋅ ln ξ + ∫ 0 ∞ t − 1 e − t ⋅ ( z ⋅ e ( 1 − ξ ) t − 1 − e − t 1 − e − z t ) d t
( R e ξ > 0 , R e z > − 1 ) ; (\mathrm{Re}\, \xi >0 \;,\; \mathrm{Re}\, z>-1) \;;
( R e ξ > 0 , R e z > − 1 ) ;
b ) L n Π ( z ) = ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln ξ − ξ + ln 2 π b)
\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(z+1/2)\cdot \ln \xi -\xi +\ln\sqrt{2\pi}
b ) L n Π ( z ) = ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln ξ − ξ + ln 2 π
+ ∫ 0 ∞ ( e − z t ( e t − 1 ) − 1 + e − ξ t ⋅ ( − t − 1 + 1 / 2 − ξ + z ) ) ⋅ t − 1 d t +\int_0^{\infty} \Bigl(e^{-z \,t} \,(e^t -1)^{-1}
+e^{-\xi \,t}\cdot (-t^{-1} +1/2 -\xi +z)\Bigr)\cdot t^{-1} \,d t
+ ∫ 0 ∞ ( e − z t ( e t − 1 ) − 1 + e − ξ t ⋅ ( − t − 1 + 1 / 2 − ξ + z ) ) ⋅ t − 1 d t
( R e ξ > 0 , R e z > 0 ) ; (\mathrm{Re}\, \xi >0 \;,\; \mathrm{Re}\, z>0) \;;
( R e ξ > 0 , R e z > 0 ) ;
c ) L n Π ( z ) = ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln z − z + ln 2 π + 2 ∫ 0 ∞ arctan ( t / z ) e 2 π t − 1 d t c)
\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(z+1/2)\cdot \ln z -z +\ln \sqrt{2\pi}
+2 \,\int_0^{\infty} \frac{\arctan(t/z)}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t
c ) L n Π ( z ) = ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln z − z + ln 2 π + 2 ∫ 0 ∞ e 2 π t − 1 arctan ( t / z ) d t
( R e z > 0 ) . (\mathrm{Re}\, z>0) \;.
( R e z > 0 ) .
< < << < <
Вывод формул настоящего пункта см. в приложении A.3.
> > >> > >
Интегральные представления бета-функции
Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) = ∫ 0 1 t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t ( R e α > 0 ; R e β > 0 ) ; \frac{\Gamma(\alpha) \,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha +\beta)}
=\int_0^1 t^{\alpha -1} \,(1-t)^{\beta -1} \,dt
\qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0;\; \mathrm{Re}\, \beta >0);
Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) = ∫ 0 1 t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t ( R e α > 0 ; R e β > 0 ) ;
Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 ( 1 + t ) − α − β d t ( R e α > 0 ; R e β > 0 ) ; \frac{\Gamma(\alpha) \,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha +\beta)}
=\int_0^{\infty} t^{\alpha -1} \,(1+t)^{-\alpha -\beta} \,dt
\qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0;\; \mathrm{Re}\, \beta >0);
Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 ( 1 + t ) − α − β d t ( R e α > 0 ; R e β > 0 ) ;
Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) = 2 ∫ 0 2 π / 4 ( cos z ) 2 α − 1 ( sin z ) 2 β − 1 d t ( R e α > 0 ; R e β > 0 ) . \frac{\Gamma(\alpha) \,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha +\beta)}
=2 \,\int_0^{2\pi/4} (\cos z)^{2\alpha -1} \,(\sin z)^{2\beta -1} \,dt
\qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0;\; \mathrm{Re}\, \beta >0).
Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) = 2 ∫ 0 2 π / 4 ( cos z ) 2 α − 1 ( sin z ) 2 β − 1 d t ( R e α > 0 ; R e β > 0 ) .
< < << < <
Вывод первых двух формул настоящего пункта см. в приложении A.4.
> > >> > >
Обобщения
Формулы, дающие интегральные представления рассматриваемых функций, могут быть обобщены с помощью соотношения
∫ 0 ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 ∞ f ( σ x ) d x \int_0^{\infty} f(x) \,dx = \int_0^{\infty} f(\sigma x) \,dx
∫ 0 ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 ∞ f ( σ x ) d x
(∣ σ ∣ = 1 |\sigma|=1 ∣ σ ∣ = 1 ; ∣ arg σ ∣ < φ 0 |\arg \sigma|<\varphi_0 ∣ arg σ ∣ < φ 0 ) справедливой для функции f ( z ) f(z) f ( z ) , аналитичной в открытой области ∣ arg z ∣ < φ 0 ) |\arg z|<\varphi_0) ∣ arg z ∣ < φ 0 ) и удовлетворяющей условию z ⋅ f ( z ) → 0 z\cdot f(z) \to 0 z ⋅ f ( z ) → 0 при z → ∞ z \to \infty z → ∞ .
Приложение. Вывод формул и доказательства теорем
Интегральное представление для Π(z)
Здесь будет выведена формула из п. 1.
Формула п. 1-a) может быть доказана следующим образом.
При R e z > − 1 \mathrm{Re}\, z >-1 R e z > − 1 , с помощью интегрирования по частям можно получить
∫ 0 N ( 1 − t / N ) N ⋅ t z d t = N ! ⋅ N z ⋅ ∏ j = 1 N ( z + j ) − 1 . \int_0^N (1-t/N)^N \cdot t^z \,d t
=N!\cdot N^z \cdot \prod_{j=1}^N (z+j)^{-1} \;.
∫ 0 N ( 1 − t / N ) N ⋅ t z d t = N ! ⋅ N z ⋅ j = 1 ∏ N ( z + j ) − 1 .
Следовательно,
∫ 0 ∞ t z ⋅ e − t d t = lim N → ∞ ∫ 0 N ( 1 − t / N ) N ⋅ t z d t \int_0^{\infty} t^z \cdot e^{-t} \,d t =\lim_{N\to \infty} \int_0^N
(1-t/N)^N \cdot t^z \,d t
∫ 0 ∞ t z ⋅ e − t d t = N → ∞ lim ∫ 0 N ( 1 − t / N ) N ⋅ t z d t
= lim N → ∞ N ! ⋅ N z ⋅ ∏ j = 1 N ( z + j ) − 1 = Π ( z ) , =\lim_{N\to \infty} N! \cdot N^z \cdot \prod_{j=1}^N (z+j)^{-1} =\mathbf{\Pi}(z) \;,
= N → ∞ lim N ! ⋅ N z ⋅ j = 1 ∏ N ( z + j ) − 1 = Π ( z ) ,
откуда следует необходимый результат.
Интегральные представления для Ψ(z)
Здесь будут выведены формулы п. 2.
При R e z > − 1 \mathrm{Re}\, z >-1 R e z > − 1 ,
∫ 0 1 1 − t z 1 − t d t = ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 1 t k ( 1 − t z ) d t = ∑ k = 0 ∞ z ( k + 1 ) ( z + k + 1 ) , \int_0^1 \frac{ 1-t^z }{1-t} \,d t = \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^1
t^k \,(1 -t^z) \,d t = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z}{ (k+1)(z+k+1) } \;,
∫ 0 1 1 − t 1 − t z d t = k = 0 ∑ ∞ ∫ 0 1 t k ( 1 − t z ) d t = k = 0 ∑ ∞ ( k + 1 ) ( z + k + 1 ) z ,
откуда следует формула a).
При выводе b) мы используем вспомогательные соотношения
γ / z = ∫ 0 ∞ γ e − t z d t ( R e z > 0 ) ; \gamma/z =\int_0^{\infty} \gamma \,e^{-t \,z} \,d t \qquad (\mathrm{Re}\, z>0);
γ / z = ∫ 0 ∞ γ e − t z d t ( R e z > 0 ) ;
ln ( ξ / η ) = ∫ 0 ∞ ( e − η t − e − ξ t ) ⋅ t − 1 d t ( R e ξ > 0 , R e η > 0 ) . \ln(\xi/\eta)
=\int_0^{\infty} \bigl(e^{-\eta \,t} -e^{-\xi \,t}\bigr)\cdot t^{-1} \,d t
\qquad (\mathrm{Re}\, \xi >0 \;,\; \mathrm{Re}\, \eta >0).
ln ( ξ / η ) = ∫ 0 ∞ ( e − η t − e − ξ t ) ⋅ t − 1 d t ( R e ξ > 0 , R e η > 0 ) .
В качестве исходной используем формулу
Ψ ( z − 1 ) = lim m → ∞ ( ln m − ∑ k = 0 m 1 z + k ) . \Psi(z-1) =\lim_{m\to \infty} \left(\ln m -\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{z+k}\right) \;.
Ψ ( z − 1 ) = m → ∞ lim ( ln m − k = 0 ∑ m z + k 1 ) .
Подставляя в ее правую часть
ln m = ln ξ + ∫ 0 ∞ ( e − ξ t − e − m t ) ⋅ t − 1 d t и 1 z + k = ∫ 0 ∞ e − t ( z + k ) d t \ln m =\ln \xi +\int_0^{\infty}
\bigl(e^{-\xi \,t} - e^{-m \,t}\bigr)\cdot t^{-1} \,d t
\quad \ {и} \quad
\frac{1}{z+k} = \int_0^{\infty} e^{-t \,(z+k)} \,d t
ln m = ln ξ + ∫ 0 ∞ ( e − ξ t − e − m t ) ⋅ t − 1 d t и z + k 1 = ∫ 0 ∞ e − t ( z + k ) d t
(R e ξ > 0 \mathrm{Re}\, \xi >0 R e ξ > 0 ; \ R e z > 0 \mathrm{Re}\, z >0 R e z > 0 ; \ k = 0 , 1 , . . . k=0,1,... k = 0 , 1 , . . . ), получим
Ψ ( z − 1 ) = ln ξ + lim m → ∞ ∫ 0 ∞ ( ( e − ξ t − e − m t ) ⋅ t − 1 − e − t z ⋅ e − m t − 1 e − t − 1 ) d t \Psi(z-1)
=\ln \xi + \lim_{m \to \infty} \int_0^{\infty}
\left(\bigl(e^{-\xi \,t} - e^{-m \,t}\bigr)\cdot t^{-1} -e^{-t \,z}\cdot
\frac{ e^{-m \,t} -1 }{ e^{-t} -1 }\right) \,d t
Ψ ( z − 1 ) = ln ξ + m → ∞ lim ∫ 0 ∞ ( ( e − ξ t − e − m t ) ⋅ t − 1 − e − t z ⋅ e − t − 1 e − m t − 1 ) d t
= ln ξ + ∫ 0 ∞ ( t − 1 e − ξ t − e − t z ( 1 − e − t ) − 1 ) d t =\ln \xi +\int_0^{\infty} \left(t^{-1} \,e^{-\xi \,t}
-e^{-t \,z} \,\bigl(1 -e^{-t}\bigr)^{-1}\right) \,d t
= ln ξ + ∫ 0 ∞ ( t − 1 e − ξ t − e − t z ( 1 − e − t ) − 1 ) d t
+ lim m → ∞ ∫ 0 ∞ e − m t ( − t − 1 + e − t z ( 1 − e − t ) − 1 ) d t . +\lim_{m \to \infty} \int_0^{\infty} e^{-m \,t} \,\left(-t^{-1}
+e^{-t \,z} \,\bigl(1 -e^{-t}\bigr)^{-1}\right) \,d t \;.
+ m → ∞ lim ∫ 0 ∞ e − m t ( − t − 1 + e − t z ( 1 − e − t ) − 1 ) d t .
Второй интеграл в правой части последнего равенства стремится к нулю при
m → ∞ m \to \infty m → ∞ .
В результате получаем частный случай формулы b) при η = 1 \eta =1 η = 1 .
При выводе c) мы используем формулу
d d z Ψ ( z − 1 ) = ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) 2 . \frac{d}{d z} \,\Psi(z-1) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^2} \;.
d z d Ψ ( z − 1 ) = k = 0 ∑ ∞ ( z + k ) 2 1 .
Применим здесь формулу суммирования Плана
∑ k = 0 ∞ f ( k ) = 1 2 f ( 0 ) + ∫ 0 ∞ f ( t ) d t + i ∫ 0 ∞ f ( i t ) − f ( − i t ) e 2 π t − 1 d t . \sum_{k=0}^{\infty} f(k) =\frac{1}{2} \,f(0) +\int_0^{\infty} f(t) \,d t
+i \,\int_0^{\infty} \frac{f(i \,t) -f(-i \,t)}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t \;.
k = 0 ∑ ∞ f ( k ) = 2 1 f ( 0 ) + ∫ 0 ∞ f ( t ) d t + i ∫ 0 ∞ e 2 π t − 1 f ( i t ) − f ( − i t ) d t .
Эта формула справедлива, если
A) функция f ( z ) f(z) f ( z ) регулярна при R e z ≥ 0 \mathrm{Re}\, z \ge 0 R e z ≥ 0 ;
B) равенство
lim y → ∞ e − 2 π ∣ y ∣ ⋅ f ( x + i y ) = 0 \lim_{y\to \infty} e^{-2\pi \,|y|}\cdot f(x +i\,y) =0
y → ∞ lim e − 2 π ∣ y ∣ ⋅ f ( x + i y ) = 0
выполняется равномерно при 0 ≤ x < + ∞ 0\le x <+\infty 0 ≤ x < + ∞ ;
C) имеет место
lim x → ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − 2 π ∣ y ∣ ⋅ ∣ f ( x + i y ) ∣ d y = 0 . \lim_{x\to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi \,|y|}\cdot |f(x +i \,y)| \,d y =0 \;.
x → ∞ lim ∫ − ∞ + ∞ e − 2 π ∣ y ∣ ⋅ ∣ f ( x + i y ) ∣ d y = 0 .
Полагая в данной формуле суммирования f ( ξ ) = ( z + ξ ) − 2 f(\xi) =(z +\xi)^{-2} f ( ξ ) = ( z + ξ ) − 2 , R e z > 0 \mathrm{Re}\, z >0 R e z > 0 , получаем
∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) 2 = d d z Ψ ( z − 1 ) = 1 2 z 2 + 1 z + ∫ 0 ∞ 4 t z ⋅ ( z 2 + t 2 ) − 2 ( e 2 π t − 1 ) − 1 d t . \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^2} =\frac{d}{d z} \,\Psi(z-1)
=\frac{1}{2 \,z^2} +\frac{1}{z} +\int_0^{\infty}
4 \,t \,z\cdot (z^2 +t^2)^{-2} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t \;.
k = 0 ∑ ∞ ( z + k ) 2 1 = d z d Ψ ( z − 1 ) = 2 z 2 1 + z 1 + ∫ 0 ∞ 4 t z ⋅ ( z 2 + t 2 ) − 2 ( e 2 π t − 1 ) − 1 d t .
Интегрируя по z z z , получаем
Ψ ( z − 1 ) = A + ln z − 1 / ( 2 z ) − ∫ 0 ∞ 2 t ⋅ ( z 2 + t 2 ) − 1 ( e 2 π t − 1 ) − 1 d t , \Psi(z-1) =A +\ln z -1/(2 z) -\int_0^{\infty}
2 \,t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t \;,
Ψ ( z − 1 ) = A + ln z − 1 / ( 2 z ) − ∫ 0 ∞ 2 t ⋅ ( z 2 + t 2 ) − 1 ( e 2 π t − 1 ) − 1 d t ,
где A = c o n s t A=\mathrm{const} A = c o n s t . Параметр A A A может быть определен следующим образом.
Пусть переменная z z z действительна и положительна. Тогда
∣ ∫ 0 ∞ 2 t ⋅ ( z 2 + t 2 ) − 1 ( e 2 π t − 1 ) − 1 d t ∣ ≤ 2 z 2 ∫ 0 ∞ t e 2 π t − 1 d t . \left|\int_0^{\infty} 2 t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t
\right| \le \frac{2}{z^2} \,\int_0^{\infty} \frac{t}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t \;.
∣ ∣ ∣ ∣ ∫ 0 ∞ 2 t ⋅ ( z 2 + t 2 ) − 1 ( e 2 π t − 1 ) − 1 d t ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ z 2 2 ∫ 0 ∞ e 2 π t − 1 t d t .
Выражение в правой части стремится к нулю при z → ∞ z\to \infty z → ∞ . Следовательно,
A = lim z → ∞ ( Ψ ( z ) − ln z − 1 / ( 2 z ) ) . A =\lim_{z\to \infty} \Bigl(\Psi(z) -\ln z -1/(2 z)\Bigr) \;.
A = z → ∞ lim ( Ψ ( z ) − ln z − 1 / ( 2 z ) ) .
Используя интегральное представление функции Ψ ( z ) \Psi(z) Ψ ( z ) , определяемое формулой п. 2-b) при ξ = z \xi =z ξ = z и η = 1 / 2 \eta =1/2 η = 1 / 2 , получим
A = lim z → ∞ ∫ 0 ∞ e − z t ( t − 1 − 1 / 2 − ( e t − 1 ) − 1 ) d t . A =\lim_{z\to \infty} \int_0^{\infty} e^{-z t} \,\Bigl(t^{-1} -1/2
-(e^t -1)^{-1}\Bigr) \,d t \;.
A = z → ∞ lim ∫ 0 ∞ e − z t ( t − 1 − 1 / 2 − ( e t − 1 ) − 1 ) d t .
Рассмотрим функцию
F ( ξ ) = ξ − 1 ( 1 / 2 − ξ − 1 + ( e ξ − 1 ) − 1 ) . F(\xi) =\xi^{-1} \,\Bigl(1/2 -\xi^{-1} +(e^{\xi} -1)^{-1}\Bigr) \;.
F ( ξ ) = ξ − 1 ( 1 / 2 − ξ − 1 + ( e ξ − 1 ) − 1 ) .
При ∣ ξ ∣ < 2 π |\xi|<2\pi ∣ ξ ∣ < 2 π функция F ( ξ ) F(\xi) F ( ξ ) представима в виде степенного ряда
F ( ξ ) = ∑ k = 0 ∞ B k + 2 ( 0 ) ( k + 2 ) ! ⋅ ξ k F(\xi) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{ B_{k+2}(0) }{(k+2)!}\cdot \xi^k
F ( ξ ) = k = 0 ∑ ∞ ( k + 2 ) ! B k + 2 ( 0 ) ⋅ ξ k
и, следовательно, данная функция ограничена в окрестности точки ξ = 0 \xi =0 ξ = 0 .
Кроме того, очевидно, F ( t ) → 0 F(t)\to 0 F ( t ) → 0 при t → + ∞ t\to +\infty t → + ∞ .
Отсюда следует, что функция F ( t ) F(t) F ( t ) ограничена при 0 ≤ t < ∞ 0\le t< \infty 0 ≤ t < ∞ , т.е. ∣ F ( t ) ∣ ≤ C |F(t)|\le C ∣ F ( t ) ∣ ≤ C .
Поэтому
∣ ∫ 0 ∞ e − z t ( t − 1 − 1 / 2 − ( e t − 1 ) − 1 ) d t ∣ ≤ ∫ 0 ∞ C t e − z t d t = C / z 2 \left|\int_0^{\infty} e^{-z \,t}
\,\Bigl(t^{-1} -1/2 -(e^t -1)^{-1}\Bigr) \,d t\right| \le
\int_0^{\infty} C \,t \,e^{-z \,t} \,d t =C/z^2
∣ ∣ ∣ ∣ ∫ 0 ∞ e − z t ( t − 1 − 1 / 2 − ( e t − 1 ) − 1 ) d t ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ ∫ 0 ∞ C t e − z t d t = C / z 2
и, таким образом, A = 0 A=0 A = 0 .
Интегральные представления для LnΠ(z)
Формулы пункта 3 могут быть получены из соответствующих формул пункта 2 с помощью соотношения
L n Π ( z ) = ∫ 0 z Ψ ( ξ ) d ξ . \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\int_0^z \Psi(\xi) \,d\xi \;.
L n Π ( z ) = ∫ 0 z Ψ ( ξ ) d ξ .
Интегрируя формулу п.~2-b) при η = 0 \eta=0 η = 0 , получим формулу п. 3-a).
Интегрируя формулу п.~2-b) при η = 1 / 2 \eta=1/2 η = 1 / 2 и ξ = z \xi=z ξ = z , получим
L n Π ( z ) = γ + ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln z − z \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\gamma +(z+1/2)\cdot \ln z -z
L n Π ( z ) = γ + ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln z − z
+ ∫ 0 ∞ ( ( e t − 1 ) − 1 − t − 1 + 1 / 2 ) ⋅ t − 1 e − t z d t +\int_0^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t -1\bigr)^{-1} - t^{-1} + 1/2\Bigr)
\cdot t^{-1} \,e^{-t \,z} \,d t
+ ∫ 0 ∞ ( ( e t − 1 ) − 1 − t − 1 + 1 / 2 ) ⋅ t − 1 e − t z d t
( R e z > 0 ; γ = c o n s t ) (\mathrm{Re}\, z>0;\; \gamma =\mathrm{const}) ( R e z > 0 ; γ = c o n s t ) . Значение константы γ \gamma γ можно определить, положив в последнем равенстве z = 1 z=1 z = 1 :
1 − γ = ∫ 0 ∞ ( ( e t − 1 ) − 1 − t − 1 + 1 / 2 ) ⋅ t − 1 e − t d t = 1 − 1 2 ln ( 2 π ) . 1-\gamma = \int_0^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t -1\bigr)^{-1} - t^{-1} + 1/2\Bigr)
\cdot t^{-1} \,e^{-t} \,d t =1 -\frac{1}{2} \ln(2\pi) \;.
1 − γ = ∫ 0 ∞ ( ( e t − 1 ) − 1 − t − 1 + 1 / 2 ) ⋅ t − 1 e − t d t = 1 − 2 1 ln ( 2 π ) .
Метод вычисления данного интеграла можно найти в книге [8].
В результате получаем частный случай формулы п.~3-b):
L n Π ( z ) = ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln z − z + ln 2 π \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(z+1/2)\cdot \ln z -z +\ln\sqrt{2\pi}
L n Π ( z ) = ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln z − z + ln 2 π
+ ∫ 0 ∞ ( ( e t − 1 ) − 1 − t − 1 + 1 / 2 ) ⋅ t − 1 e − t z d t +\int_0^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t -1\bigr)^{-1} - t^{-1} + 1/2\Bigr)\cdot
t^{-1} e^{-t \,z} \,d t
+ ∫ 0 ∞ ( ( e t − 1 ) − 1 − t − 1 + 1 / 2 ) ⋅ t − 1 e − t z d t
( R e z > 0 ) (\mathrm{Re}\, z>0) ( R e z > 0 ) . Для вывода формулы п.~3-b) в общем виде
используем соотношения
ln ( z / ξ ) = ∫ 0 ∞ ( e − ξ t − e − z t ) ⋅ t − 1 d t \ln(z/\xi) =\int_0^{\infty} \bigl(e^{-\xi \,t} -e^{-z \,t}\bigr)\cdot t^{-1} \,d t
ln ( z / ξ ) = ∫ 0 ∞ ( e − ξ t − e − z t ) ⋅ t − 1 d t
и
z ⋅ ln ( z / ξ ) − z + ξ = ∫ 0 ∞ ( ( z − ξ ) ⋅ e − ξ t + t − 1 ⋅ ( e − z t − e − ξ t ) ) ⋅ t − 1 d t ; z\cdot \ln(z/\xi) -z+\xi = \int_0^{\infty}
\Bigl((z -\xi)\cdot e^{-\xi \,t} + t^{-1}\cdot\bigl(e^{-z \,t}
-e^{-\xi \,t}\bigr)\Bigr)\cdot t^{-1} \,d t \;;
z ⋅ ln ( z / ξ ) − z + ξ = ∫ 0 ∞ ( ( z − ξ ) ⋅ e − ξ t + t − 1 ⋅ ( e − z t − e − ξ t ) ) ⋅ t − 1 d t ;
второе из данных соотношений получается из первого при интегрировании его по z z z в пределах от ξ \xi ξ до z z z .
Для вывода формулы п. 3-c) проинтегрируем по z z z формулу п. 2-c); получим
L n Π ( z ) = γ + ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln z − z + 2 ∫ 0 ∞ arctan ( t / z ) e 2 π t − 1 d t , \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\gamma +(z +1/2)\cdot \ln z -z
+2 \,\int_0^{\infty} \frac{\arctan(t/z)}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t \;,
L n Π ( z ) = γ + ( z + 1 / 2 ) ⋅ ln z − z + 2 ∫ 0 ∞ e 2 π t − 1 arctan ( t / z ) d t ,
где γ = c o n s t \gamma =\mathrm{const} γ = c o n s t .
Значение данной константы можно определить аналогично тому, как была определена соответствующая константа при выводе формулы п. 2-c).
Интегральные представления бета-функции
Здесь будет выведена формула из п. 4.
Обозначим (при R e α > 0 \mathrm{Re}\, \alpha >0 R e α > 0 ; R e β > 0 \mathrm{Re}\, \beta >0 R e β > 0 )
B ( α , β ) ≡ ∫ 0 1 t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t . B(\alpha,\beta)\equiv \int_0^1 t^{\alpha -1} \,(1-t)^{\beta -1} \,d t \;.
B ( α , β ) ≡ ∫ 0 1 t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t .
С помощью замены переменной интегрирования t = s / ( 1 + s ) t =s/(1+s) t = s / ( 1 + s ) получим
B ( α , β ) = ∫ 0 ∞ s α − 1 ( 1 + s ) − α − β d t . B(\alpha,\beta) =\int_0^{\infty} s^{\alpha -1} \,(1+s)^{-\alpha -\beta} \,d t \;.
B ( α , β ) = ∫ 0 ∞ s α − 1 ( 1 + s ) − α − β d t .
Используем формулу интегрального представления функции Π ( z ) \mathbf{\Pi}(z) Π ( z ) :
∫ 0 ∞ e − ( 1 + s ) t t α + β − 1 d t = ( 1 + s ) − α − β ⋅ Π ( α + β − 1 ) . \int_0^{\infty} e^{-(1+s) \,t} \,t^{\alpha +\beta -1} \,d t
=(1+s)^{-\alpha -\beta}\cdot \mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1) \;.
∫ 0 ∞ e − ( 1 + s ) t t α + β − 1 d t = ( 1 + s ) − α − β ⋅ Π ( α + β − 1 ) .
Умножив обе части данного равенства на s α − 1 s^{\alpha -1} s α − 1 , проинтегрировав по s s s от 0 0 0 до ∞ \infty ∞ и изменив в левой части равенства порядок интегрирования, получим
∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( 1 + s ) t t α + β − 1 s α − 1 d s d t = Π ( α + β − 1 ) ⋅ ∫ 0 ∞ s α − 1 ( 1 + s ) − α − β d s , \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-(1+s) \,t} \,t^{\alpha +\beta -1}
\,s^{\alpha -1} \,d s \,d t
=\mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1)\cdot \int_0^{\infty}
s^{\alpha -1} \,(1+s)^{-\alpha -\beta} \,d s \;,
∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( 1 + s ) t t α + β − 1 s α − 1 d s d t = Π ( α + β − 1 ) ⋅ ∫ 0 ∞ s α − 1 ( 1 + s ) − α − β d s ,
откуда
B ( α , β ) = Π ( α − 1 ) Π ( β − 1 ) Π ( α + β − 1 ) . B(\alpha,\beta)
=\frac{\mathbf{\Pi}(\alpha-1) \,\mathbf{\Pi}(\beta-1)}{\mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1)} \;.
B ( α , β ) = Π ( α + β − 1 ) Π ( α − 1 ) Π ( β − 1 ) .
Литература
Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского:
Edited by M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.
Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра . – Москва, «Наука», 1973; 297с.
Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.
http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.
А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.
А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.
Э.Т.Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. – Государственное издательство физико-математической литературы; Москва, 1963; 500 с.
Перевод с английского: E.T. Whittaker, G.N. Watson. A Course of Modern Analysis. Cambridge; At the University Press; 1927.
Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с.
Перевод с немецкого: E. Janke, F. Emde, F. Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.
Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого !
Комментарии