Представление гамма-функции и связанных с ней функций в виде сходящихся рядов

Содержание

  1. 1. Ряды, содержащие логарифмы и простые дроби
  2. 2. Модификация ряда для LnΠ(z), содержащего логарифмы
  3. 3. Разложение модуля и аргумента гамма-функции
  4. 4. Разложения функции LnΠ(z) и связанных с ней функций в степенные ряды в окрестности точки z=0
  5. 5. Разложения функции LnΠ(z) и связанных с ней функций в степенные ряды в окрестности точки z=1/2
  6. 6. Разложения функции Ψ(z) и связанных с ней функций в степенные ряды
  7. 7. Литература

В настоящей статье представлены формулы, в которых функции Ln Π(z)=Ln Γ(z+1)\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1) и Ψ(z)=ψ(z+1)=(d/dz) Ln Γ(z+1)\Psi(z) =\psi(z+1) =(d /d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1) представляются в виде сходящихся рядов и бесконенчных произведений.

В формулах используются постоянная Эйлера-Маскерони cEc_{\scriptscriptstyle E} и дзета-функция Римана ζ(k)\zeta(k).

Ряды, содержащие логарифмы и простые дроби

При z1,2,3,...z \ne -1,-2,-3,...

a)Ln Π(z)=cE z+k=1(z/kln(1+z/k)) ;{a) } \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =-c_{\scriptscriptstyle E} \,z +\sum_{k=1}^{\infty} \bigl(z/k -\ln(1+z/k)\bigr) \;;

b)cE+Ψ(z)=z k=1k1 (z+k)1 .{b) } c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) =z \,\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1} \,(z+k)^{-1} \;.

Модификация ряда для LnΠ(z), содержащего логарифмы

Ln Π(z+α)=Ln Π(z)+αΨ(z)\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z +\alpha) =\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) +\alpha \cdot \Psi(z)

+k=1(αz+kln(1+αz+k)+i 2π mk) ,+\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{\alpha}{z+k} -\ln\Bigl(1 +\frac{\alpha}{z+k}\Bigr) +i \,2\pi \,m_k\right) \;,

где mkm_k – целые числа, определяемые условиями

ln(1+αz+k)=ln(1+(z+α)/k1+z/k)=ln(1+z/k)+ln(1+z+αk)+i 2πmk .\ln\left(1+ \frac{\alpha}{z{+}k}\right) = \ln\left(\frac{ 1 +(z{+}\alpha)/k }{1+z/k}\right) =-\ln\bigl(1+z/k\bigr) + \ln\left(1 +\frac{z{+}\alpha}{k}\right) +i \,2\pi m_k \;.

Здесь считается, что ни одно из чисел zz и z+αz +\alpha не является целым отрицательным.

Разложение модуля и аргумента гамма-функции

При x1,2,3,...x \ne -1,-2,-3,...

argΠ(x+i y)=yΨ(x)+k=1(yx+karctanyx+k) ,\arg \mathbf{\Pi}(x +i \,y) =y\cdot \Psi(x) +\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{y}{x+k} -\arctan \frac{y}{x+k}\right) \;,

Π(x+i y)=Π(x)k=1(1+y2(x+k)2)1/2 ,\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big| =\big|\mathbf{\Pi}(x)\big| \cdot \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 +\frac{y^2}{(x+k)^2}\right)^{-1/2} \;,

Π(x+i y)2=Π(x)2π ysinh(π y)q(x,y) ,\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big|^2 =\big|\mathbf{\Pi}(x)\big|^2 \cdot \frac{\pi \,y}{\sinh(\pi \,y)}\cdot q(x,y) \;,

где

q(x,y)=k=11+y2/k21+y2/(x+k)2 .q(x,y) =\prod_{k=1}^{\infty} \frac{1 +y^2 /k^2}{1 +y^2 /(x+k)^2} \;.

Из данных формул следует:

  • функция Π(x+i y)/Π(x)\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big| /\big|\mathbf{\Pi}(x)\big|
    является возрастающей по отношению к xx при x>1x > -1 и фиксированном значении yy; то же самое можно сказать и о функции q(x,y)q(x,y);
  • функция Π(x+i y)/Π(x)\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big| /\big|\mathbf{\Pi}(x)\big| является убывающей по отношению к yy при фиксированном значении xx;
  • функция q(x,y)q(x,y) является возрастающей по отношению к yy при фиксированном значении x>0x>0.

Функция q(x,y)q(x,y) для целых и полуцелых значений xx может быть определена формулами:
при m=0,1,2,...m =0,1,2,...

q(m,y)=k=1m(1+y2/k2) ,q(m,y) =\prod_{k=1}^{m} (1 +y^2 /k^2) \;,

q(m1/2, y)=tanh(π y)π y k=1m(1+y2(k1/2)2) ,q(m -1/2,\, y) =\frac{\tanh(\pi \,y)}{\pi \,y} \,\prod_{k=1}^{m} \left(1 +\frac{y^2}{(k -1/2)^2}\right) \;,

q(m1/2, y)=tanh(π y)π y k=1m(1+y2(k1/2)2)1 .q(-m -1/2,\, y) =\frac{\tanh(\pi \,y)}{\pi \,y} \,\prod_{k=1}^{m} \left(1 +\frac{y^2}{(k -1/2)^2}\right)^{-1} \;.

Из приведенных здесь формул и утверждений также следуют соотношения

Π(x+i y)Π(x) ,\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big| \le |\mathbf{\Pi}(x)| \;,

Π(x+i y)2Π(x)2π ysinh(π y)(x0) .\big|\mathbf{\Pi}(x +i \,y)\big|^2 \ge \big|\mathbf{\Pi}(x)\big|^2 \cdot \frac{\pi \,y}{\sinh(\pi \,y)} \qquad (x\ge 0) \;.

Разложения функции LnΠ(z) и связанных с ней функций в степенные ряды в окрестности точки z=0

a)Ln Π(z)=cEz+k=2(1)kk1ζ(k)zka) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =-c_{\scriptscriptstyle E} z +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \cdot k^{-1}\cdot \zeta(k)\cdot z^k

(z<1) ;(|z|<1) \;;

b)Ln Π(z)=ln(1+z)+z(1cE)+k=2(1)kk1(ζ(k)1)zkb) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =-\ln(1+z) +z\cdot (1-c_{\scriptscriptstyle E}) +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \cdot k^{-1}\cdot \bigl(\zeta(k)-1\bigr)\cdot z^k

(z<2) ;(|z|<2) \;;

c)Ln Π(z)=12 ln(π zsin(π z))cEzk=1ζ(2k+1)z2k+12k+1c) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\frac{1}{2} \,\ln\left(\frac{\pi \,z}{ \sin(\pi \,z) }\right) -c_{\scriptscriptstyle E} z -\sum_{k=1}^{\infty} \zeta(2 k +1)\cdot \frac{ z^{2 k +1} }{2 k +1}

(z<1) ;(|z|<1) \;;

d)Ln Π(z)=12 ln(π zsin(π z))arctanh z+z(1cE)d) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\frac{1}{2} \,\ln\left(\frac{\pi \,z}{\sin(\pi \,z)}\right) -\mathrm{arctanh}\, z +z\cdot (1-c_{\scriptscriptstyle E})

k=1(ζ(2k+1)1)z2k+12k+1(z<2) .-\sum_{k=1}^{\infty} \bigl(\zeta(2 k +1) -1\bigr)\cdot \frac{ z^{2 k +1} }{2 k +1} \qquad (|z|<2) \;.

<<<<

Формула a) может быть получена из формулы п. 1-a) с учетом формулы представления дзета-функции в виде ряда (см. п. 1 статьи «Дзета-функция Римана и связанные с ней функции»).

>>>>

Разложения функции LnΠ(z) и связанных с ней функций в степенные ряды в окрестности точки z=1/2

Следующие соотношения можно получить используя формулы предыдущего пункта, а также формулу удвоения:

a)Ln Π(z1/2)=(1/2)lnπ(cE+2 ln2)za) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z-1/2) =(1/2)\cdot \ln \pi -(c_{\scriptscriptstyle E} +2 \,\ln 2)\cdot z

+k=2(1)k k1ζ(k)(2k1)zk(z<1) ;+\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \,k^{-1}\cdot \zeta(k)\cdot \bigl(2^k -1\bigr)\cdot z^k \qquad (|z|<1) \;;

b)Ln Π(z1/2)=12 ln(πcos(π z))(cE+2 ln2)zb) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z-1/2) =\frac{1}{2} \,\ln \left(\frac{\pi}{ \cos(\pi \,z) }\right) -(c_{\scriptscriptstyle E} +2 \,\ln 2)\cdot z

k=1(2 k+1)1ζ(2 k+1)(22k+11)z2k+1(z<1) .-\sum_{k=1}^{\infty} (2 \,k +1)^{-1}\cdot \zeta(2 \,k +1)\cdot \bigl(2^{2 k +1} -1\bigr)\cdot z^{2 k +1} \qquad (|z|<1) \;.

Формулы данного и предыдущего пунктов позволяют определить значения функций (d/dz)mLn Π(z)(d /d z)^m \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) при z=0z=0 и z=1/2z=1/2
(m=1,2,3...)(m=1,2,3...).

Разложения функции Ψ(z) и связанных с ней функций в степенные ряды

a)cE+Ψ(z)=k=2(1)kζ(k)zk1(z<1);a) c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) = \sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \cdot \zeta(k)\cdot z^{k-1} (|z|<1);

b)cE+Ψ(z)=z(1+z)1+k=2(1)k(ζ(k)1)zk1(z<2);b) c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) = z\cdot (1+z)^{-1} +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \cdot \bigl(\zeta(k)-1\bigr)\cdot z^{k-1} (|z|<2);

c)cE+Ψ(z)=2π4 tan(π z)+12 zk=1ζ(2 k+1)z2k(z<1);c) c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) = \frac{-2\pi}{ 4 \,\tan(\pi \,z) } +\frac{1}{2 \,z} -\sum_{k=1}^{\infty} \zeta(2 \,k +1)\cdot z^{2 k} (|z|<1);

d)cE+Ψ(z)=2π4 tan(π z)+12 z+z2z21d) c_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) = \frac{-2\pi}{4 \,\tan(\pi \,z)} +\frac{1}{2 \,z} +\frac{z^2}{z^2 -1}

k=1(ζ(2 k+1)1)z2k(z<2).- \sum_{k=1}^{\infty} \bigl(\zeta(2 \,k +1) -1\bigr)\cdot z^{2 k} (|z|<2).

<<<<

Формула a) может быть получена из формулы п. 1-b) с учетом формулы представления дзета-функции в виде ряда (см. п. 1 статьи «Дзета-функция Римана и связанные с ней функци»).

>>>>

Литература

  1. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского:
    Edited by M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

  2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
    Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – Москва, «Наука», 1973; 297с. Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

  3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

  4. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

  5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.

  6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.

  7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

  8. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E. Janke, F. Emde, F. Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир