Асимптомические разложения гамма-функции

В настоящей статье представлены формулы асимптотических разложений при $z\to \infty$ функций $\mathbf{\Pi}(z) =\Gamma(z +1)$, $\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1)$, а также отношения двух гамма-функций.

В формулах используются числа Бернулли $B_{2 k}$ и полиномы Бернулли $B_k (\alpha)$.

Асимптотическое разложение функции LnΠ(z)

a) Асимптотические формулы:

$\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\ln \sqrt{2\pi} +(z+1/2)\cdot \ln z -z +Q(z) \;,$

$\mathbf{\Pi}(z) =\sqrt{2\pi}\cdot \exp\bigl((z+1/2)\cdot \ln z -z +Q(z)\bigr) \;,$

где $Q(z)$ – функция, которая при $|\arg z|< \pi$ может быть представлена в виде асимптотического ряда по обратным степеням $z$.

Вот различные формы записи этого ряда:

$Q(z) \sim 1/(12\cdot z) -1/(360\cdot z^3) +1/(1260\cdot z^5) -1/(1680\cdot z^7)$

$+1/(1188\cdot z^9) -691/(360360\cdot z^{11}) + ... \qquad (z\to \infty);$

$Q(z) \sim \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{k+1} }{2 k \,(2 k -1)}\cdot |B_{2 k}|\cdot z^{-2 k+1} \qquad (z\to \infty);$

$Q(z) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{ (-1)^{k+1} \,|B_{2 k}| }{ 2 k \,(2 k -1)\cdot z^{2 k -1} } +\frac{ (-1)^{m+1} \,|B_{2 m}|\cdot \varrho_m(z) } { 2 m \,(2 m -1)\cdot z^{2 m -1} } \;.$

Здесь $\varrho_m(z)$ – некоторая функция, ограниченная при $|\arg z|< \pi$; данная функция представляет собой отношение $m$-го остатка асимптотического разложения функции $Q(z)$ к $m$-му слагаемому этого разложения.

b) Оценка остатка асимптотического разложения:
при $\mathrm{Re}\, z \ge |\mathrm{Im}\, z|$ имеет место $|\varrho_m(z)| \le 1$.

Последнее условие, в частности, выполняется, если $z$ действительно и положительно; при этом $\varrho_m(z)\ge 0$. В данном случае $m$-й остаток асимптотического разложения функции $Q(z)$ по абсолютной величине меньше $m$-го слагаемого этого разложения и имеет тот же знак.

$<<$

Приведенные здесь формулы асимптотического разложения и оценка остатка разложения следуют из соответствующих формул п. 1 статьи «Асимптомические разложения пси-функции»; при этом можно показать, что верхняя граница функции $|\varrho_m(z)|$ не превышает верхней границы функции $|\varrho'_m(z)|$, где $\varrho'_m(z)$ – отношение $m$-го остатка асимптотического разложения функции $\Psi(z)$ к $m$-у слагаемому этого разложения.

$>>$

Модификация формулы асимптотического разложения функции LnΠ(z)

$\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\ln \sqrt{2\pi} +\ln T(z) +(z+1/2)\cdot \ln z -z +\widetilde{Q}(z) \;,$

$\mathbf{\Pi}(z) =\sqrt{2\pi}\cdot T(z)\cdot\exp\bigl((z+1/2)\cdot \ln z -z +\widetilde{Q}(z)\bigr) \;,$

где

$T(z) = \begin{cases} 1 & \ {при } \mathrm{Re}\, z>0 \;,\\ \bigl(1-\exp(i\nu \,2\pi z)\bigr)^{-1} & \ {при }\mathrm{Re}\, z<0 \;; \end{cases}$

$\widetilde{Q}(z)$ – нечетная функция, которая для любых значений $|\arg z|$ может быть представлена в виде такого же асимптотического ряда по обратным степеням $z$, как и функция $Q(z)$, введенная в п. 1;

$\nu$ – параметр, определяемый условием
$\ln(-z) =\ln z -i \,\nu \,\pi$;
при $\mathrm{Im}\, z\ne 0$ \ $\nu =\mathrm{sign}\,(\mathrm{Im}\, z)$.

Асимптотическое разложение функции Π(z). Формула Стирлинга

Из асимптотической формулы п. 1 следует

$\mathbf{\Pi}(z) \sim z^z \cdot e^{-z}\cdot \sqrt{2\pi z}\cdot \bigl(1+ 1/(12\cdot z) +1/(288\cdot z^2)$

$-139/(51840\cdot z^3) -571/(2488320\cdot z^4) + ...\bigr)$

($z\to \infty$; $|\arg z|< \pi$).

Обобщения формулы асимптотического разложение функции LnΠ(z)

$a) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z-\alpha) \sim \ln\sqrt{2\pi} +(z -\alpha +1/2)\cdot \ln z -z$

$+\sum_{k=2}^{\infty} k^{-1} (k-1)^{-1}\cdot B_k(\alpha)\cdot z^{-k+1} \;;$

$b) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z+\alpha-1) \sim \ln\sqrt{2\pi} +(z +\alpha -1/2)\cdot \ln z -z$

$+\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \cdot k^{-1} (k-1)^{-1}\cdot B_k(\alpha)\cdot z^{-k+1}$

($z\to \infty \;,\; |\arg z|< \pi$).

Некоторые следствия из формул асимптотического разложение функции LnΠ(z)

$a) \ln\left(z^{\alpha -\beta}\cdot \frac{\mathbf{\Pi}(z-\alpha)}{\mathbf{\Pi}(z-\beta)}\right) \sim \sum_{k=2}^{\infty} k^{-1} (k-1)^{-1} \bigl(B_k(\alpha)-B_k(\beta)\bigr)\cdot z^{-k+1} \;;$

$b) z^{\beta -\alpha}\cdot \frac{\mathbf{\Pi}(z+\alpha)}{\mathbf{\Pi}(z+\beta)} \sim 1 +\frac{1}{2 z}(\alpha -\beta)(\alpha +\beta +1)$

$+\frac{1}{ 24\cdot z^2} (\alpha -\beta)(\alpha -\beta -1) \bigl(3(\alpha +\beta +1)^2 -\alpha +\beta -1\bigr) + ... \;;$

$z\to \infty$ вдоль некоторой кривой, соединяющей точки $z=0$ и $z=\infty$;
при этом $-z-\alpha \ne 1,2,3,...$; $-z-\beta \ne 1,2,3,...$.

Литература

1. Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
   Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – Москва, «Наука», 1973; 297 с. Перевод с английского: H.Bateman, A.Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

4. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука’», 1984, 344~с.

5. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука»’, 1981, 800 с.

6. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752~с.

7. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

8. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E.Janke, F.Emde, F.Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!