Асимптомические разложения пси-функции

Настоящая статья является продолжением статьи «Асимптомические разложения гамма-функции». В ней представлены формулы асимптотических разложений при $z\to \infty$ функции $\Psi(z) =\psi(z+1) =(d /d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1)$

В формулах используются числа Бернулли $B_{2 k}$ и полиномы Бернулли $B_k (\alpha)$.

Асимптотическое разложение функции $\Psi(z)$

a) Используются различные формы записи формулы асимптотического разложения функции $\Psi(z)$:

$\Psi(z) -\ln z \sim 1/(2 z) -1/(12\cdot z^2) +1/(120\cdot z^4)$

$-1/(252\cdot z^6) +1/(240\cdot z^8) -1/(132\cdot z^{10}) +691/(32760\cdot z^{12}) + ...$

$(z\to \infty, \quad |\arg z|< \pi) \;,$

$\Psi(z) -\ln z \sim 1/(2 z) +\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot (2 k)^{-1}\cdot |B_{2 k}|\cdot z^{-2 k}$

$(z\to \infty, \quad |\arg z|< \pi) \;,$

$\Psi(z) -\ln z =1/(2 z) +\sum_{k=1}^{m-1} (-1)^k \cdot (2 k)^{-1}\cdot |B_{2 k}|\cdot z^{-2 k}$

$+(-1)^m \cdot (2 m)^{-1}\cdot |B_{2 m}|\cdot z^{-2 m}\cdot \varrho'_m (z) \;,$

Здесь $\varrho'_m(z)$ – некоторая функция, ограниченная при $|\arg z|< \pi$; данная Функция представляет собой отношение $m$-го остатка асимптотического разложения функции $\Psi(z)$ к $m$-му слагаемому этого разложения.

b) Оценка остатка асимптотического разложения
при $\mathrm{Re}\, z \ge |\mathrm{Im}\, z|$ имеет место $|\varrho'_m(z)| \le 1$.

Последнее условие, в частности, выполняется, если $z$ действительно и положительно; при этом $\varrho'_m(z)\ge 0$. В данном случае $m$-й остаток асимптотического разложения функции $\Psi(z) -\ln z$ по абсолютной величине меньше $m$-го слагаемого этого разложения и имеет тот же знак.

$<<$

Вывод данной формулы асимптотического разложения и оценку остатка разложения см. в приложении A.1.

$>>$

Модификация формулы асимптотического разложения функции $\Psi(z)$

Для любых значений $|\arg z|$

$\Psi(z) -\ln z -T'(z) \sim 1/(2 \,z) +\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot (2 \,k)^{-1}\cdot |B_{2 k}|\cdot z^{-2 \,k}$

($z\to \infty$),
где

$T'(z) = \begin{cases} 0 & \ {при } \mathrm{Re}\, z>0 \;,\\ -\pi /\tan(\pi \,z) -i \,\nu \,\pi & \ {при }\mathrm{Re}\, z<0 \;, \end{cases}$

где $\nu$ – параметр, определяемый условием

$\ln(-z) =\ln z -i \,\nu \,\pi$;
при $\mathrm{Im}\, z\ne 0$ \ $\nu =\mathrm{sign}\,(\mathrm{Im}\, z)$.

Обобщения формулы асимптотического разложения функции $\Psi(z)$

$\ {a) } \Psi(z -\alpha) -\ln z \sim -\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1}\cdot B_k (\alpha)\cdot z^{-k} \;;$

\mbox{b) } \Psi(z +\alpha -1) -\ln z \sim -\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot k^{-1}\cdot B_k (\alpha)\cdot z^{-k}

($z\to \infty \;,\; |\arg z|< \pi$).

Приложение A. Вывод формул и доказательства теорем

A.1. Асимптотическое разложение функции $\Psi(z)$

Здесь будут выведены формулы из п. 1.

Мы используем вспомогательные соотношения:

$\int_0^{\infty} \frac{ t^{2 m -1} }{e^t -1} \,d t =\frac{ (2\pi)^{2 \,m} \,|B_{2 m}| }{4 \,m} \;,$

откуда следует

$\ {(A) } \int_0^{\infty} \frac{ t^{2 m -1} }{e^{2\pi \,t} -1} \,d t =\frac{ |B_{2 m}| }{4 \,m} \;,$

а также

$(1 +\xi)^{-1} =\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k \,\xi^k +\frac{(-\xi)^m}{1 +\xi} \;,$

откуда следует

$\ {(B) } (z^2 +t^2)^{-1} =\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k \,t^{2 k} \,z^{-2 k -2} +\frac{ (-1)^m \,t^{2 m} \,z^{-2 m} }{z^2 +t^2} \;.$

Для решения нашей исходной задачи мы используем формулу

$\Psi(z) -\ln z -1/(2 \,z) =-2 \,\int_0^{\infty} t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t$

$(|\arg z|< 2\pi/4)$.
Учитывая вспомогаельные соотношения (A) и (B), получаем

$\Psi(z) -\ln z -1/(2 \,z) =\sum_{k=1}^{m-1} (-1)^k \cdot (2 k)^{-1}\cdot |B_{2 k}|\cdot z^{-2 k}$

$+(-1)^m \cdot (2 \,m)^{-1}\cdot |B_{2 m}|\cdot z^{-2 m}\cdot \varrho'_m (z) \;,$

где

$\varrho'_m (z) =\frac{4m}{ |B_{2 m}| } \,\int_0^{\infty} \frac{ t^{2 m -1} }{ e^{2\pi \,t} -1 } \cdot \frac{z^2}{z^2 +t^2} \,d t \;.$

Если

$\left|\frac{z^2}{z^2 +t^2}\right| \le A \;,$

то $|\varrho'_m (z)|\le A$.

Таким образом, $|\varrho'_m (z)|$ не превышает верхней границы функции $\varphi(t) =\bigl|z^2 /(z^2 +t^2)\bigr|$.
Пусть $x=\mathrm{Re}\, z$ и $y=\mathrm{Im}\, z$.
Тогда

a) при $|x|\le |y|$ имеет место $|\varrho'_m(z)| \le \varphi(t) \le (x^2 +y^2)/|2 \,x \,y|$;

b) при $|x|\ge |y|$ имеет место $|\varrho'_m(z)| \le \varphi(t) \le 1$.

Здесь мы обосновали формулу асимптотического разложения и дали оценку остатка разложения для слишком ограниченной области значений $z$:
$|\arg z|< 2\pi/4 -h$, $h>0$.

Обобщение данного результата на более широкую область – $|\arg z|< \pi -h$, $h>0$, можно найти в книге: Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. – Государственное издательство физико-математической литературы; Москва, 1963; 500 с.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!