Дифференциальные уравнения для гипергеометрических функций с произвольным количеством параметров

Содержание

  1. 1. Дифференциальное уравнение для гипергеометрической функции
  2. 2. Частные случаи
  3. 3. Дифференциальное уравнение для произведения степенной и гипергеометрческой функций
  4. 4. Вронскианы для решений гипергеометрических уравнений
  5. 5. Приложение. Вывод формул и доказательства теорем
    1. 5.1. Свойства оператора zdz
    2. 5.2. Дифференциальное уравнение для гипергеометрической функции
  6. 6. Литература

Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют гипергеометрические функции, – гипергеометрические уравнения – играют очень важную роль при изучении этих функций.

В настоящей статье рассматривается гипергеометрическое уравнение в общем виде, т.е. дифференциальное уравнение для гипергеометрических функций с произвольным количеством верхних и нихних параметров, а также одна из модификаций этого уравнения.

Для производной всюду используется сокращенное обозначение:
dz\mathrm{d}_z вместо ddz\frac{d}{dz}.

Далее рассматривается функция
Φ(z)=mFn(α1,...,αm; γ1,...,γn; βz)\Phi(z) ={}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, \beta z).

Дифференциальное уравнение для гипергеометрической функции

Функция Φ(z)\Phi(z) удовлетворяет дифференцииальному уравнению, которое можно представить в виде

βz (zdz+α1)(zdz+α2)...(zdz+αm) Φ(z)\beta z \,(z\mathrm{d}_z +\alpha_1)(z\mathrm{d}_z +\alpha_2)...(z\mathrm{d}_z +\alpha_m) \,\Phi(z)

=zdz (zdz+γ11)(zdz+γ21)...(zdz+γn1) Φ(z) \qquad \qquad =z\mathrm{d}_z \,(z\mathrm{d}_z +\gamma_1 -1)(z\mathrm{d}_z +\gamma_2 -1)... (z\mathrm{d}_z +\gamma_n -1) \,\Phi(z)

или

β (zdz+α1)(zdz+α2)...(zdz+αm) Φ(z)\beta \,(z\mathrm{d}_z +\alpha_1)(z\mathrm{d}_z +\alpha_2)...(z\mathrm{d}_z +\alpha_m) \,\Phi(z)

=(zdz+γ1)(zdz+γ2)...(zdz+γn) . dzΦ(z) \qquad \qquad =(z\mathrm{d}_z +\gamma_1)(z\mathrm{d}_z +\gamma_2)...(z\mathrm{d}_z +\gamma_n) \;. \,\mathrm{d}_z \Phi(z)

<<<<

При доказательстве тождественности данных уравнений могут быть использованы соотношения, приведенные в приложении A.1.

Доказательство идентичности определений гипергеометрических функций с помощью приведенного в данном пункте дифференциального уравнения и с помощью степенного ряда, приведенного в статье «Определения и простейшие свойства гипергеометрических функций» см. в приложении A. 2.

>>>>

Частные случаи

При m=0m=0 уравнение для Φ(z)\Phi(z) имеет вид

(zdz+γ1)(zdz+γ2)...(zdz+γn) dzΦ(z)=β Φ(z) ,(z\mathrm{d}_z +\gamma_1)(z\mathrm{d}_z +\gamma_2)...(z\mathrm{d}_z+\gamma_n) \,\mathrm{d}_z \Phi(z) =\beta \,\Phi(z) \;,

а при n=0n=0

β (zdz+α1)(zdz+α2)...(zdz+αm) Φ(z)=dzΦ(z) .\beta \,(z\mathrm{d}_z +\alpha_1)(z\mathrm{d}_z +\alpha_2)...(z\mathrm{d}_z +\alpha_m) \,\Phi(z) =\mathrm{d}_z \Phi(z) \;.

Дифференциальное уравнение для произведения степенной и гипергеометрческой функций

Функция

W(z)=zλ mFn(α1,...,αm; γ1,...,γn; βzϰ)W(z) =z^{\lambda}\, {}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, \beta z^{\varkappa})

удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

ϰnm+1 βzϰ(zdz+ϰα1λ)(zdz+ϰα2λ)...(zdz+ϰαmλ) W(z)\varkappa^{n-m+1} \,\beta z^{\varkappa}\cdot (z\mathrm{d}_z +\varkappa \alpha_1 -\lambda) (z\mathrm{d}_z +\varkappa \alpha_2 -\lambda)... (z\mathrm{d}_z +\varkappa \alpha_m -\lambda) \,W(z)

=(zdzλ)(zdz+ϰγ1ϰλ)(zdz+ϰγ2ϰλ)...(zdz+ϰγnϰλ) W(z) .=(z\mathrm{d}_z {-}\lambda)(z\mathrm{d}_z +\varkappa \gamma_1 {-}\varkappa {-}\lambda) (z\mathrm{d}_z +\varkappa \gamma_2 {-}\varkappa {-}\lambda)... (z\mathrm{d}_z +\varkappa \gamma_n {-}\varkappa {-}\lambda) \,W(z) \;.

Иначе говоря, частным решением уранения

ϰnm+1βzϰ(zdzξ1)(zdzξ2)...(zdzξm) W(z)\varkappa^{n-m+1}\beta z^{\varkappa}\cdot(z\mathrm{d}_z -\xi_1)(z\mathrm{d}_z -\xi_2) ...(z\mathrm{d}_z -\xi_m) \,W(z)

=(zdzη1)(zdzη2)...(zdzηn+1) W(z)=(z\mathrm{d}_z -\eta_1)(z\mathrm{d}_z -\eta_2)...(z\mathrm{d}_z -\eta_{n+1}) \,W(z)

(относительно W(z)W(z))
является функция

Wr(z)=zηr mFn(α1,...,αm; γ1,...,γn; β zϰ)W_r(z) =z^{\eta_r} \,{}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, \beta \,z^{\varkappa})

(r=1,...,m)(r=1,...,m), где

αk=(ηrξk)/ϰ ,\alpha_k =(\eta_r -\xi_k)/\varkappa \;,

γk={1+(ηrηk)/ϰ приk<r ,1+(ηrηk+1)/ϰ приkr .\gamma_k = \begin{cases} 1 +(\eta_r -\eta_k)/\varkappa & \ {при } k<r \;,\\ 1 +(\eta_r -\eta_{k+1})/\varkappa & \ {при } k\ge r \;. \end{cases}

Вронскианы для решений гипергеометрических уравнений

Здесь предлагается метод определения вронскианов для функций, являющихся решениями гипергеометрических дифференциальных уравнений.

Пусть w1w_1, w2w_2, ......, wnw_nnn решений линейного однородного дифференциального уравнения, в котором коэффициент при nn-ой производной равен единице, а коэффициент при (n1)(n-1)-й производной равен σ/z+τ\sigma /z +\tau \ (σ\sigma, τ=const\tau =\mathrm{const}).

Обозначим вронскиан для данных функций через G(z)G(z).

Применяя формулу Лиуввиля, получим

G(z)=G(z0)(z/z0)σ eτ (zz0) ;G(z) =G(z_0)\cdot (z/z_0)^{-\sigma} \,e^{-\tau \,(z -z_0)} \;;

следовательно,

G(z)=ηzσ eτ z ,G(z) =\eta \cdot z^{-\sigma} \,e^{-\tau \,z} \;,

где η=const\eta =\mathrm{const}.

Константа η\eta может быть определена следующим образом:

η=limz0zσ eτ zG(z) ,\eta =\lim_{z\to 0} z^{\sigma} \,e^{\tau \,z}\cdot G(z) \;,

если данный предел существует.

Аналогично, если в рассматриваемом уравнении коэффициент при (n1)(n-1)-й производной равен

σ1zz1+σ2zz2\frac{\sigma_1}{z -z_1} +\frac{\sigma_2}{z -z_2}

(z1z_1, z2z_2, σ1\sigma_1, σ2=const\sigma_2 =\mathrm{const}), то

G(z)=G(z0)(zz1z0z1)σ1(zz2z0z2)σ2 ,G(z) =G(z_0)\cdot \left(\frac{z -z_1}{z_0 -z_1}\right)^{-\sigma_1} \left(\frac{z -z_2}{z_0 -z_2}\right)^{-\sigma_2} \;,

т.е.

G(z)=η(zz1)σ1 (zz2)σ2 ,G(z) =\eta \cdot (z -z_1)^{-\sigma_1} \,(z -z_2)^{-\sigma_2} \;,

где η=const\eta =\mathrm{const}.

Константа η\eta может быть определена так:

η=limz0(zz1)σ1 (zz2)σ2G(z) .\eta =\lim_{z\to 0} (z -z_1)^{\sigma_1} \,(z -z_2)^{\sigma_2}\cdot G(z) \;.

если данный предел существует.

Приложение. Вывод формул и доказательства теорем

Свойства оператора zdz

При выводе различных формул для гипергеометрических функций часто оказываются полезными следующие соотношения:

(zdz+A)m(zλ I^)=(zλ I^)(zdz+A+λ)m ,(z\mathrm{d}_z +A)^m \cdot (z^{\lambda} \,\hat{I}) =(z^{\lambda} \,\hat{I})\cdot (z\mathrm{d}_z +A+\lambda)^m \;,

(zdz+A)mdzn=dzn(zdz+An)m ,(z\mathrm{d}_z +A)^m \cdot \mathrm{d}_z^n =\mathrm{d}_z^n \cdot (z\mathrm{d}_z +A-n)^m \;,

zmdzm=F~m(zdz) ,dzmzm=Fm(zdz+1) ,z^m \mathrm{d}_z^m =\widetilde{\mathcal{F}}_m (z\mathrm{d}_z) \;, \qquad \mathrm{d}_z^m z^m =\mathcal{F}_m (z\mathrm{d}_z +1) \;,

если ξ=(βz)ϰ\xi =(\beta z)^{\varkappa}, то
zdz=ϰξdξz\mathrm{d}_z =\varkappa \cdot \xi \mathrm{d}_{\xi}.

Здесь I^\hat{I} – единичный оператор.

Дифференциальное уравнение для гипергеометрической функции

Здесь будет показано, что степенной ряд, выражение для которого приведено в в статье Определения и простейшие свойства гипергеометрических функций, удовлетворяет дифференциальному уравнению, приведенному в п. 1.

Для произвольного степенного ряда с коэффициентами wk/k!w_k/k! выполняются следующие соотношения

dzk=0wk zk/k!=k=0wk+1 zk/k! ,\mathrm{d}_z \sum_{k=0}^{\infty} w_k \,z^k/k! =\sum_{k=0}^{\infty} w_{k+1} \,z^k/k! \;,

(zdz+α)k=0wk zk/k!=k=0(α+k)wk zk/k! ,(z\mathrm{d}_z +\alpha)\cdot \sum_{k=0}^{\infty} w_k \,z^k/k! =\sum_{k=0}^{\infty} (\alpha +k)\cdot w_k \,z^k/k! \;,

(zdz+α1)...(zdz+αm)k=0wk zk/k!=k=0(α1+k)...(αm+k)wk zk/k! ,(z\mathrm{d}_z +\alpha_1)...(z\mathrm{d}_z +\alpha_m)\cdot \sum_{k=0}^{\infty} w_k \,z^k/k! =\sum_{k=0}^{\infty} (\alpha_1 +k)...(\alpha_m +k)\cdot w_k \,z^k/k! \;,

(zdz+γ1)...(zdz+γn)dzk=0wk zk/k!=k=0(γ1+k)...(γn+k)wk+1 zk/k! .(z\mathrm{d}_z +\gamma_1)...(z\mathrm{d}_z +\gamma_n)\cdot \mathrm{d}_z \sum_{k=0}^{\infty} w_k \,z^k/k! =\sum_{k=0}^{\infty} (\gamma_1 +k)...(\gamma_n +k)\cdot w_{k+1} \,z^k/k! \;.

Если коэффициенты разложения удовлетворяют рекуррентному соотношению

wk+1=wk(α1+k)...(αm+k)(γ1+k)...(γn+k) ,w_{k+1} =w_k \cdot \frac{(\alpha_1 +k)...(\alpha_m +k)}{(\gamma_1 +k)...(\gamma_n +k)} \;,

то выражения в правых частях последних двух уравнений совпадут.

Данное условие будет выполнено, если мы положим

wk=Fk(α1)...Fk(αm)Fk(γ1)...Fk(γn) ,w_k =\frac{ \mathcal{F}_{k}(\alpha_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_{k}(\alpha_m) } { \mathcal{F}_{k}(\gamma_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_{k}(\gamma_n) } \;,

где Fk(z)\mathcal{F}_{k}(z) – функция Похгамера.

Литература

  1. Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

  2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. – Москва, `«Наука», 1973; 297 с.
    Перевод с английского: H.Bateman, A.Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

  3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

  4. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

  5. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

  6. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E.Janke, F.Emde, F.Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир