Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют гипергеометрические функции, – гипергеометрические уравнения – играют очень важную роль при изучении этих функций.
В настоящей статье рассматривается гипергеометрическое уравнение в общем виде, т.е. дифференциальное уравнение для гипергеометрических функций с произвольным количеством верхних и нихних параметров, а также одна из модификаций этого уравнения.
Для производной всюду используется сокращенное обозначение: dz вместо dzd.
Далее рассматривается функция Φ(z)=mFn(α1,...,αm;γ1,...,γn;βz).
Дифференциальное уравнение для гипергеометрической функции
Функция Φ(z) удовлетворяет дифференцииальному уравнению, которое можно представить в виде
βz(zdz+α1)(zdz+α2)...(zdz+αm)Φ(z)
=zdz(zdz+γ1−1)(zdz+γ2−1)...(zdz+γn−1)Φ(z)
или
β(zdz+α1)(zdz+α2)...(zdz+αm)Φ(z)
=(zdz+γ1)(zdz+γ2)...(zdz+γn).dzΦ(z)
<<
При доказательстве тождественности данных уравнений могут быть использованы соотношения, приведенные в приложении A.1.
Доказательство идентичности определений гипергеометрических функций с помощью приведенного в данном пункте дифференциального уравнения и с помощью степенного ряда, приведенного в статье «Определения и простейшие свойства гипергеометрических функций» см. в приложении A. 2.
>>
Частные случаи
При m=0 уравнение для Φ(z) имеет вид
(zdz+γ1)(zdz+γ2)...(zdz+γn)dzΦ(z)=βΦ(z),
а при n=0 –
β(zdz+α1)(zdz+α2)...(zdz+αm)Φ(z)=dzΦ(z).
Дифференциальное уравнение для произведения степенной и гипергеометрческой функций
Вронскианы для решений гипергеометрических уравнений
Здесь предлагается метод определения вронскианов для функций, являющихся решениями гипергеометрических дифференциальных уравнений.
Пусть w1, w2, ..., wn – n решений линейного однородного дифференциального уравнения, в котором коэффициент при n-ой производной равен единице, а коэффициент при (n−1)-й производной равен σ/z+τ \ (σ, τ=const).
Обозначим вронскиан для данных функций через G(z).
Применяя формулу Лиуввиля, получим
G(z)=G(z0)⋅(z/z0)−σe−τ(z−z0);
следовательно,
G(z)=η⋅z−σe−τz,
где η=const.
Константа η может быть определена следующим образом:
η=z→0limzσeτz⋅G(z),
если данный предел существует.
Аналогично, если в рассматриваемом уравнении коэффициент при (n−1)-й производной равен
z−z1σ1+z−z2σ2
(z1, z2, σ1, σ2=const), то
G(z)=G(z0)⋅(z0−z1z−z1)−σ1(z0−z2z−z2)−σ2,
т.е.
G(z)=η⋅(z−z1)−σ1(z−z2)−σ2,
где η=const.
Константа η может быть определена так:
η=z→0lim(z−z1)σ1(z−z2)σ2⋅G(z).
если данный предел существует.
Приложение. Вывод формул и доказательства теорем
Свойства оператора zdz
При выводе различных формул для гипергеометрических функций часто оказываются полезными следующие соотношения:
(zdz+A)m⋅(zλI^)=(zλI^)⋅(zdz+A+λ)m,
(zdz+A)m⋅dzn=dzn⋅(zdz+A−n)m,
zmdzm=Fm(zdz),dzmzm=Fm(zdz+1),
если ξ=(βz)ϰ, то zdz=ϰ⋅ξdξ.
Здесь I^ – единичный оператор.
Дифференциальное уравнение для гипергеометрической функции
Если коэффициенты разложения удовлетворяют рекуррентному соотношению
wk+1=wk⋅(γ1+k)...(γn+k)(α1+k)...(αm+k),
то выражения в правых частях последних двух уравнений совпадут.
Данное условие будет выполнено, если мы положим
wk=Fk(γ1)⋅...⋅Fk(γn)Fk(α1)⋅...⋅Fk(αm),
где Fk(z) – функция Похгамера.
Литература
Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.
Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. – Москва, `«Наука», 1973; 297 с.
Перевод с английского: H.Bateman, A.Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.
А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.
А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.
Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E.Janke, F.Emde, F.Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.
Комментарии