Дифференциальные уравнения второго и третьего порядков для гипергеометрических функций

Содержание

  1. 1. Дифференциальное уравнение для функции 0F1(…)
  2. 2. Дифференциальное уравнение для функции 2F0(…)
  3. 3. Дифференциальное уравнение для функции 1F1(…)
  4. 4. Дифференциальное уравнение для функции 2F1(…)
  5. 5. Гипергеометрические функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям третьего порядка
  6. 6. Литература

Настоящая статья является продолжением статьи «Дифференциальные уравнения для гипергеометрических функций с произвольным количеством параметров».

В ней, ввиду практической важности, специально рассматриваются дифференциальные уравнения второго и третьего порядков, которым удовлетворяют некоторые гипергеометрические функции.

Далее для производной всюду используется сокращенное обозначение:
dz\mathrm{d}_z вместо ddz\frac{d}{dz}.

Дифференциальное уравнение для функции 0F1(…)

a) Функция Φ1(z)=0F1(γ;βz)\Phi_1 (z) ={}_0 F_1 (\gamma; \beta z) является решением
дифференциального уравнения

zdz2Φ(z)+γdzΦ(z)βΦ(z)=0 .z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\gamma \cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\beta \cdot \Phi(z) =0 \;.

b) Если число γ\gamma не является целым, то другим частным решением данного уравнения, линейно независимым с Φ1(z)\Phi_1(z), является функция

Φ2(z)=(βz)1γ0F1(2γ; βz) .\Phi_2 (z) =(\beta z)^{1 -\gamma}\cdot {}_0 F_1 (2 -\gamma;\, \beta z) \;.

c) Вронскиан функций Φ1(z)\Phi_1 (z) и Φ2(z)\Phi_2 (z) равен

W(z)=β (1γ)(βz)γ .W(z) =\beta \,(1 -\gamma)\cdot (\beta z)^{-\gamma} \;.

Дифференциальное уравнение для функции 2F0(…)

a) Функция Φ1(z)=2F0(α1,α2;βz)\Phi_1(z) ={}_2 F_0(\alpha_1,\alpha_2; \beta z) является решением дифференциального уравнения

z2dz2Φ(z)+((1+α1+α2) z1/β)dzΦ(z)+α1 α2Φ(z)=0.z^2 \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\bigl((1 +\alpha_1 +\alpha_2) \,z -1/\beta\bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) +\alpha_1 \,\alpha_2 \cdot \Phi(z) =0 .

b) Частными решениями данного уравнения, кроме функции Φ1(z)\Phi_1(z), являются функции

Φ2(z)=(βz)1α1α2e1/(βz)2F0(1α1, 1α2, βz) ,\Phi_2 (z) = (\beta z)^{1 -\alpha_1 -\alpha_2}\cdot e^{-1/(\beta z)}\cdot {}_2 F_0 (1 -\alpha_1,\, 1 -\alpha_2,\, -\beta z) \;,

Φ3(z)=(βz)α11F1(α1, α1α2+1, 1/(βz)) ,\Phi_3 (z) = (\beta z)^{-\alpha_1}\cdot {}_1 F_1 \bigl(\alpha_1,\, \alpha_1 -\alpha_2 +1,\, -1/(\beta z)\bigr) \;,

Φ4(z)=(βz)α21F1(α2, α2α1+1, 1/(βz)) .\Phi_4 (z) = (\beta z)^{-\alpha_2}\cdot {}_1 F_1 \bigl(\alpha_2,\, \alpha_2 -\alpha_1 +1,\, -1/(\beta z)\bigr) \;.

c) Вронскиан функций Φ1(z)\Phi_1 (z) и Φ2(z)\Phi_2 (z) равен

W1,2(z)=β (β z)α1α21e1/(βz) .W_{1,2}(z) =\beta \,(\beta \,z)^{-\alpha_1 -\alpha_2 -1}\cdot e^{-1/(\beta z)} \;.

Дифференциальное уравнение для функции 1F1(…)

a) Функция Φ1(z)=1F1(α;γ;βz)\Phi_1 (z) ={}_1 F_1 (\alpha; \gamma; \beta z) является решением дифференциального уравнения

zdz2Φ(z)+(γβz)dzΦ(z)β αΦ(z)=0;,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +(\gamma -\beta z)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\beta \,\alpha \cdot \Phi(z) =0 ;,

или иначе

((zdz)2+(γ1βz)(zdz)α β z) Φ(z)=0 .\Bigl((z\mathrm{d}_z)^2 +(\gamma -1 -\beta z)\cdot (z\mathrm{d}_z) -\alpha \,\beta \,z\Bigr) \,\Phi(z) =0 \;.

b) Частными решениями данного уравнения, кроме функции Φ1(z)\Phi_1 (z), являются функции

Φ2(z)=(βz)1γ1F1(1+αγ; 2γ; βz) ,\Phi_2 (z) = (\beta z)^{1 -\gamma}\cdot {}_1 F_1 (1 +\alpha -\gamma;\, 2 -\gamma;\, \beta z) \;,

Φ3(z)=(βz)α2F0(α, 1+αγ; 1/(βz))\Phi_3 (z) = (\beta z)^{-\alpha}\cdot {}_2 F_0 \bigl(\alpha,\, 1 +\alpha -\gamma;\, -1/(\beta z)\bigr)

=Γ(1γ)Γ(αγ+1) Φ1(z)+Γ(γ1)Γ(α) Φ2(z) , = \frac{ \Gamma(1 -\gamma) }{ \Gamma(\alpha -\gamma +1) } \,\Phi_1 (z) +\frac{ \Gamma(\gamma -1) }{ \Gamma(\alpha) } \,\Phi_2 (z) \;,

Φ4(z)=(βz)αγ eβz2F0(γα, 1α; 1/(βz))\Phi_4 (z) = (-\beta z)^{\alpha -\gamma} \,e^{\beta z}\cdot {}_2 F_0 \bigl(\gamma -\alpha,\, 1 -\alpha;\, 1/(\beta z)\bigr)

=Γ(1γ)Γ(1α) Φ1(z)+Γ(γ1)Γ(γα) (βz)1γ (βz)γ1 Φ2(z) . = \frac{ \Gamma(1 -\gamma) }{ \Gamma(1 -\alpha) } \,\Phi_1 (z) +\frac{ \Gamma(\gamma -1) }{ \Gamma(\gamma -\alpha) } \,(-\beta z)^{1-\gamma} \,(\beta z)^{\gamma -1} \,\Phi_2 (z) \;.

c) Вронскиан функций Φ1(z)\Phi_1 (z) и Φ2(z)\Phi_2 (z) равен

W12(z)=β (1γ)(β z)γ eβz .W_{12}(z) =\beta \,(1-\gamma)\cdot (\beta \,z)^{-\gamma} \,e^{\beta z} \;.

Дифференциальное уравнение для функции 2F1(…)

a) Функция Φ1(z)=2F1(α1,α2; γ; βz)\Phi_1 (z) ={}_2 F_1 (\alpha_1,\alpha_2;\,\gamma;\,\beta z) является решением lифференциального уравнения

z (1βz)dz2Φ(z)+(γ(1+α1+α2)βz)dzΦ(z)β α1 α2Φ(z)=0 ,z \,(1 -\beta z)\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\bigl(\gamma -(1 +\alpha_1 +\alpha_2) \cdot \beta z\bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\beta \,\alpha_1 \,\alpha_2 \cdot \Phi(z) =0 \;,

или иначе

((βz1)(zdz)2+(βz (α1+α2)+1γ)(zdz)+α1 α2 βz) Φ(z)=0 .\Bigl((\beta z -1)\cdot (z\mathrm{d}_z)^2 +\bigl(\beta z \,(\alpha_1 +\alpha_2) +1 -\gamma\bigr)\cdot (z\mathrm{d}_z) +\alpha_1 \,\alpha_2 \,\beta z\Bigr) \,\Phi(z) =0 \;.

b) Частными решениями данного уравнения, кроме функции Φ1(z)\Phi_1 (z), являются функции

Φ2(z)=(βz)1γ2F1(α1γ+1, α2γ+1; 2γ; βz) ,\Phi_2 (z) = (-\beta z)^{1 -\gamma}\cdot {}_2 F_1 (\alpha_1 -\gamma +1,\, \alpha_2 -\gamma +1;\, 2-\gamma;\, \beta z) \;,

Φ3(z)=(βz)α12F1(α1, α1γ+1; α1α2+1; 1/(βz))\Phi_3 (z) = (-\beta z)^{-\alpha_1}\cdot {}_2 F_1 \bigl(\alpha_1,\, \alpha_1 -\gamma +1;\, \alpha_1 -\alpha_2 +1;\, 1/(\beta z)\bigr)

=Γ(α1α2+1)Γ(1γ)Γ(α1γ+1)Γ(1α2) Φ1(z)+Γ(α1α2+1)Γ(γ1)Γ(α1)Γ(γα2) Φ2(z) ,=\frac{ \Gamma(\alpha_1 -\alpha_2 +1)\cdot \Gamma(1 -\gamma) } { \Gamma(\alpha_1 -\gamma +1)\cdot \Gamma(1 -\alpha_2) } \,\Phi_1 (z) +\frac{ \Gamma(\alpha_1 -\alpha_2 +1)\cdot \Gamma(\gamma -1) } { \Gamma(\alpha_1)\cdot \Gamma(\gamma -\alpha_2) } \,\Phi_2 (z) \;,

Φ4(z)=(βz)α22F1(α2, α2γ+1; α2α1+1; 1/(βz))\Phi_4 (z) = (-\beta z)^{-\alpha_2}\cdot {}_2 F_1 \bigl(\alpha_2,\, \alpha_2 -\gamma +1;\, \alpha_2 -\alpha_1 +1;\, 1/(\beta z)\bigr)

=Γ(α2α1+1)Γ(1γ)Γ(α2γ+1)Γ(1α1) Φ1(z)+Γ(α2α1+1)Γ(γ1)Γ(α2)Γ(γα1) Φ2(z) ,=\frac{ \Gamma(\alpha_2 -\alpha_1 +1)\cdot \Gamma(1 -\gamma) } { \Gamma(\alpha_2 -\gamma +1)\cdot \Gamma(1 -\alpha_1) } \,\Phi_1 (z) +\frac{ \Gamma(\alpha_2 -\alpha_1 +1)\cdot \Gamma(\gamma -1) } { \Gamma(\alpha_2)\cdot \Gamma(\gamma -\alpha_1) } \,\Phi_2 (z) \;,

а также различные произведения некоторых степенных функций и гипергеометрических функций Гаусса, аргументами которых являются выражения
1βz1 -\beta z, 1/(1βz)1/(1 -\beta z), 11/(βz)1 -1/(\beta z) и βz/(βz1)\beta z /(\beta z -1)
(см. [1]).

c) Вронскиан функций Φ1(z)\Phi_1 (z) и Φ2(z)\Phi_2 (z) равен

W12(z)=β (1γ)(βz)γ (1βz)γα1α21 .W_{12}(z) =\beta \,(1 -\gamma)\cdot (\beta z)^{-\gamma} \,(1-\beta z)^{\gamma-\alpha_1 -\alpha_2 -1} \;.

Гипергеометрические функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям третьего порядка

a) Функция Φ(z)=0F2(γ1,γ2; βz)\Phi(z)={}_0 F_2 (\gamma_1,\gamma_2;\,\beta z) является решением дифференциального уравнения

z2dz3Φ(z)+(1+γ1+γ2) zdz2Φ(z)+γ1γ2dzΦ(z)βΦ(z)=0 .z^2 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\bigl(1 +\gamma_1 +\gamma_2\bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\gamma_1 \gamma_2 \cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\beta \cdot \Phi(z) =0 \;.

b) Функция Φ(z)=3F0(α1,α2,α3; βz)\Phi(z)={}_3 F_0 (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3;\,\beta z) является решением дифференциального уравнения

z3dz3Φ(z)+(3+α1+α2+α3) z2dz2Φ(z)z^3 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\bigl(3 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3\bigr) \,z^2 \cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z)

+((1+α1+α2+α3+α1 α2+α2 α3+α3 α1)z1/β)dzΦ(z)+\Bigl((1 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3 +\alpha_1 \,\alpha_2 +\alpha_2 \,\alpha_3 +\alpha_3 \,\alpha_1\bigr)\cdot z -1/\beta\Bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z)

+α1 α2 α3Φ(z)=0 .+\alpha_1 \,\alpha_2 \,\alpha_3 \cdot \Phi(z) =0 \;.

c) Функция Φ(z)=1F2(α; γ1,γ2; βz)\Phi(z)={}_1 F_2 (\alpha;\, \gamma_1,\gamma_2;\,\beta z) является решением дифференциального уравнения

z2dz3Φ(z)+(1+γ1+γ2) zdz2Φ(z)+(γ1γ2βz)dzΦ(z)αβΦ(z)=0 .z^2 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\bigl(1+\gamma_1 +\gamma_2\bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\bigl(\gamma_1 \gamma_2 -\beta z\bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\alpha \beta \cdot \Phi(z) =0 \;.

d) Функция Φ(z)=2F2(α1,α2; γ1,γ2; βz)\Phi(z)={}_2 F_2 (\alpha_1,\alpha_2;\, \gamma_1,\gamma_2;\,\beta z) является решением дифференциального уравнения

z2dz3Φ(z)+(1+γ1+γ2βz) zdz2Φ(z)z^2 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\bigl(1 +\gamma_1 +\gamma_2 -\beta z\bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z)

+(γ1 γ2(1+α1+α2) βz)dzΦ(z)α1 α2 βΦ(z)=0 .+\Bigl(\gamma_1 \,\gamma_2 -\bigl(1 +\alpha_1 +\alpha_2\bigr) \,\beta z\Bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\alpha_1 \,\alpha_2 \,\beta \cdot \Phi(z) =0 \;.

e) Функция Φ(z)=3F1(α1,α2,α3; γ; βz)\Phi(z)={}_3 F_1 (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3;\, \gamma;\,\beta z) является решением дифференциального уравнения

z3dz3Φ(z)+((3+α1+α2+α3)z1/β) zdz2Φ(z)z^3 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\Bigl(\bigl(3 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3\bigr) \cdot z -1/\beta\Bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z)

+((1+α1+α2+α3+α1 α2+α2 α3+α3 α1)zγ/β)dzΦ(z)+\Bigl(\bigl(1 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3 +\alpha_1 \,\alpha_2 +\alpha_2 \,\alpha_3 +\alpha_3 \,\alpha_1\bigr)\cdot z -\gamma/\beta \Bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z)

+α1 α2 α3Φ(z)=0 .+\alpha_1 \,\alpha_2 \,\alpha_3 \cdot \Phi(z) =0 \;.

f) Функция Φ(z)=3F2(α1,α2,α3; γ1,γ2; βz)\Phi(z)={}_3 F_2 (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3;\, \gamma_1, \gamma_2;\,\beta z) является решением дифференциального уравнения

z2 (βz1)dz3Φ(z)+((3+α1+α2+α3) βz(1+γ1+γ2)) zdz2Φ(z)z^2 \,(\beta z -1)\cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\Bigl(\bigl(3 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3\bigr) \,\beta z -\bigl(1 +\gamma_1 +\gamma_2\bigr)\Bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z)

+((1+α1+α2+α3+α1 α2+α2 α3+α3 α1)βzγ1 γ2)dzΦ(z)+\Bigl(\bigl(1 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3 +\alpha_1 \,\alpha_2 +\alpha_2 \,\alpha_3 +\alpha_3 \,\alpha_1\bigr) \cdot \beta z -\gamma_1 \,\gamma_2\Bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z)

+α1 α2 α3 βΦ(z)=0 .+\alpha_1 \,\alpha_2 \,\alpha_3 \,\beta \cdot \Phi(z) =0 \;.

Литература

  1. Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

  2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. – Москва, `«Наука», 1973; 297 с. Перевод с английского: H.Bateman, A.Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

  3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

  4. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

  5. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

  6. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E.Janke, F.Emde, F.Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир