Настоящая статья является продолжением статьи «Дифференциальные уравнения для гипергеометрических функций с произвольным количеством параметров».
В ней, ввиду практической важности, специально рассматриваются дифференциальные уравнения второго и третьего порядков, которым удовлетворяют некоторые гипергеометрические функции.
Далее для производной всюду используется сокращенное обозначение:
dz вместо dzd .
Дифференциальное уравнение для функции 0F1(…)
a) Функция Φ1 (z)=0 F1 (γ;βz) является решением
дифференциального уравнения
z⋅dz2 Φ(z)+γ⋅dz Φ(z)−β⋅Φ(z)=0.
b) Если число γ не является целым, то другим частным решением данного уравнения, линейно независимым с Φ1 (z), является функция
Φ2 (z)=(βz)1−γ⋅0 F1 (2−γ;βz).
c) Вронскиан функций Φ1 (z) и Φ2 (z) равен
W(z)=β(1−γ)⋅(βz)−γ.
Дифференциальное уравнение для функции 2F0(…)
a) Функция Φ1 (z)=2 F0 (α1 ,α2 ;βz) является решением дифференциального уравнения
z2dz2 Φ(z)+((1+α1 +α2 )z−1/β)⋅dz Φ(z)+α1 α2 ⋅Φ(z)=0.
b) Частными решениями данного уравнения, кроме функции Φ1 (z), являются функции
Φ2 (z)=(βz)1−α1 −α2 ⋅e−1/(βz)⋅2 F0 (1−α1 ,1−α2 ,−βz),
Φ3 (z)=(βz)−α1 ⋅1 F1 (α1 ,α1 −α2 +1,−1/(βz)),
Φ4 (z)=(βz)−α2 ⋅1 F1 (α2 ,α2 −α1 +1,−1/(βz)).
c) Вронскиан функций Φ1 (z) и Φ2 (z) равен
W1,2 (z)=β(βz)−α1 −α2 −1⋅e−1/(βz).
Дифференциальное уравнение для функции 1F1(…)
a) Функция Φ1 (z)=1 F1 (α;γ;βz) является решением дифференциального уравнения
z⋅dz2 Φ(z)+(γ−βz)⋅dz Φ(z)−βα⋅Φ(z)=0;,
или иначе
((zdz )2+(γ−1−βz)⋅(zdz )−αβz)Φ(z)=0.
b) Частными решениями данного уравнения, кроме функции Φ1 (z), являются функции
Φ2 (z)=(βz)1−γ⋅1 F1 (1+α−γ;2−γ;βz),
Φ3 (z)=(βz)−α⋅2 F0 (α,1+α−γ;−1/(βz))
=Γ(α−γ+1)Γ(1−γ) Φ1 (z)+Γ(α)Γ(γ−1) Φ2 (z),
Φ4 (z)=(−βz)α−γeβz⋅2 F0 (γ−α,1−α;1/(βz))
=Γ(1−α)Γ(1−γ) Φ1 (z)+Γ(γ−α)Γ(γ−1) (−βz)1−γ(βz)γ−1Φ2 (z).
c) Вронскиан функций Φ1 (z) и Φ2 (z) равен
W12 (z)=β(1−γ)⋅(βz)−γeβz.
Дифференциальное уравнение для функции 2F1(…)
a) Функция Φ1 (z)=2 F1 (α1 ,α2 ;γ;βz) является решением lифференциального уравнения
z(1−βz)⋅dz2 Φ(z)+(γ−(1+α1 +α2 )⋅βz)⋅dz Φ(z)−βα1 α2 ⋅Φ(z)=0,
или иначе
((βz−1)⋅(zdz )2+(βz(α1 +α2 )+1−γ)⋅(zdz )+α1 α2 βz)Φ(z)=0.
b) Частными решениями данного уравнения, кроме функции Φ1 (z), являются функции
Φ2 (z)=(−βz)1−γ⋅2 F1 (α1 −γ+1,α2 −γ+1;2−γ;βz),
Φ3 (z)=(−βz)−α1 ⋅2 F1 (α1 ,α1 −γ+1;α1 −α2 +1;1/(βz))
=Γ(α1 −γ+1)⋅Γ(1−α2 )Γ(α1 −α2 +1)⋅Γ(1−γ) Φ1 (z)+Γ(α1 )⋅Γ(γ−α2 )Γ(α1 −α2 +1)⋅Γ(γ−1) Φ2 (z),
Φ4 (z)=(−βz)−α2 ⋅2 F1 (α2 ,α2 −γ+1;α2 −α1 +1;1/(βz))
=Γ(α2 −γ+1)⋅Γ(1−α1 )Γ(α2 −α1 +1)⋅Γ(1−γ) Φ1 (z)+Γ(α2 )⋅Γ(γ−α1 )Γ(α2 −α1 +1)⋅Γ(γ−1) Φ2 (z),
а также различные произведения некоторых степенных функций и гипергеометрических функций Гаусса, аргументами которых являются выражения
1−βz, 1/(1−βz), 1−1/(βz) и βz/(βz−1)
(см. [1]).
c) Вронскиан функций Φ1 (z) и Φ2 (z) равен
W12 (z)=β(1−γ)⋅(βz)−γ(1−βz)γ−α1 −α2 −1.
Гипергеометрические функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям третьего порядка
a) Функция Φ(z)=0 F2 (γ1 ,γ2 ;βz) является решением дифференциального уравнения
z2⋅dz3 Φ(z)+(1+γ1 +γ2 )z⋅dz2 Φ(z)+γ1 γ2 ⋅dz Φ(z)−β⋅Φ(z)=0.
b) Функция Φ(z)=3 F0 (α1 ,α2 ,α3 ;βz) является решением дифференциального уравнения
z3⋅dz3 Φ(z)+(3+α1 +α2 +α3 )z2⋅dz2 Φ(z)
+((1+α1 +α2 +α3 +α1 α2 +α2 α3 +α3 α1 )⋅z−1/β)⋅dz Φ(z)
+α1 α2 α3 ⋅Φ(z)=0.
c) Функция Φ(z)=1 F2 (α;γ1 ,γ2 ;βz) является решением дифференциального уравнения
z2⋅dz3 Φ(z)+(1+γ1 +γ2 )z⋅dz2 Φ(z)+(γ1 γ2 −βz)⋅dz Φ(z)−αβ⋅Φ(z)=0.
d) Функция Φ(z)=2 F2 (α1 ,α2 ;γ1 ,γ2 ;βz) является решением дифференциального уравнения
z2⋅dz3 Φ(z)+(1+γ1 +γ2 −βz)z⋅dz2 Φ(z)
+(γ1 γ2 −(1+α1 +α2 )βz)⋅dz Φ(z)−α1 α2 β⋅Φ(z)=0.
e) Функция Φ(z)=3 F1 (α1 ,α2 ,α3 ;γ;βz) является решением дифференциального уравнения
z3⋅dz3 Φ(z)+((3+α1 +α2 +α3 )⋅z−1/β)z⋅dz2 Φ(z)
+((1+α1 +α2 +α3 +α1 α2 +α2 α3 +α3 α1 )⋅z−γ/β)⋅dz Φ(z)
+α1 α2 α3 ⋅Φ(z)=0.
f) Функция Φ(z)=3 F2 (α1 ,α2 ,α3 ;γ1 ,γ2 ;βz) является решением дифференциального уравнения
z2(βz−1)⋅dz3 Φ(z)+((3+α1 +α2 +α3 )βz−(1+γ1 +γ2 ))z⋅dz2 Φ(z)
+((1+α1 +α2 +α3 +α1 α2 +α2 α3 +α3 α1 )⋅βz−γ1 γ2 )⋅dz Φ(z)
+α1 α2 α3 β⋅Φ(z)=0.
Литература
-
Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.
-
Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. – Москва, `«Наука», 1973; 297 с. Перевод с английского: H.Bateman, A.Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.
-
http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.
-
А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.
-
А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.
-
Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E.Janke, F.Emde, F.Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.
Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!
Комментарии