Определения и простейшие свойства гипергеометрических функций

В громадном списке специальных математических функций гипергеометрические функции отличаются особой практической важностью. Во-первых, через них могут быть выражены многие другие специальные функции, в частности, ортогональные полиномы, многие интегральные функции и функции статистических распределений. Во-вторых, в настоящее время известно огромное количество формул преобразования для гипергеометрических функций, что делает эти функции мощным инструментом для теоретического анализа. В третьих, довольно широкий класс линейных дифференциальных уравнений допускает решения с использованием гипергеометрических функций, что делает эти функции незаменимыми во многих приложениях.

Настоящая статья начинает подраздел, в котором рассматриваются гипергеометрические функции. В ней даны определения гипергеометрических функций и связанных ними понятий, указаны области на комплексной плоскости, в которых эти функции аналитичны, и приведены некоторые простые формулы для этих функций.

Определения

Гипергеометрический ряд (иначе – обобщенный гипергеометрический ряд)

Это следующий степенной ряд:

$\Phi(z) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\mathcal{F}_k (\alpha_1)\cdot \mathcal{F}_k (\alpha_2)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_k (\alpha_m) } { \mathcal{F}_k (\gamma_1)\cdot \mathcal{F}_k (\gamma_2)\cdot... \mathcal{F}_k (\gamma_n) } \cdot \frac{z^k}{k!} \;.$

Здесь

$\mathcal{F}_k (z)\equiv \prod_{j=0}^{k-1}(z+j)$

– функция Похгамера.

Гипергеометрическая функция (иначе – \emph{обобщенная гипергеометрическая функция})

$\Phi(z) \equiv {}_m F_n (\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, z)$

определяется как функция аргумента $z$ и $m+n$ дополнительных параметров, удовлетворяющая следующим требованиям:

a) Рядом Тейлора данной функции в окрестности точки $z=0$ является вышеприведенный гипергеометрический ряд.

b) Если радиус сходимости данного степенного ряда равен $C$, то данная функция аналитична в комплексной плоскости с разрезом по лучу
$[C,+\infty)$, т.е. при $|\arg(C-z)| < \pi$).

В частности, если $C=\infty$, то данная функция аналитична во всей комплексной плоскости.

Здесь $\alpha_1$, $\alpha_2$, $...$, $\alpha_m$ (верхние параметры или параметры числителя функции) и $\gamma_1$, $\gamma_2$, $...$, $\gamma_n$ (нижние параметры или параметры знаменателя функции) – комплексные числа, причем каждое из чисел $\gamma_k$ – не нуль и не целое отрицательное число.

В частности, формулы разложения гипергеометрических функций наинизших порядков, не являющихся элементарными функциями, таковы:

${}_0 F_1 (\gamma,z) =\sum_{k=0}^{\infty} \bigl(\mathcal{F}_k(\gamma)\bigr)^{-1}\cdot (z^k /k!) =1 +\frac{z}{\gamma} +\frac{z^2 /2!}{\gamma \,(\gamma+1)} + ... \;,$

${}_1 F_1 (\alpha,\gamma,z) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\mathcal{F}_k(\alpha)}{\mathcal{F}_k(\gamma)}\cdot \frac{z^k}{k!} =1 +\frac{\alpha}{\gamma}\cdot z +\frac{ \alpha \,(\alpha+1) }{ \gamma \,(\gamma+1) }\cdot \frac{z^2}{2!} +... \;.$

Возможно также следующее альтернативное определение гипергеометрической функции:

$\Phi(z)$ – это решение линейного дифференциального уравнения, приведенного в статье «Дифференциальные уравнения для гипергеометрических функций с произвольным количеством параметров»,
с соответствующими начальными значениями при $z=0$.

Иногда также может быть использовано другое альтернативное определение данной функции:

$\Phi(z)$ – это функция, определяемая одним из интегральных представлений (см. статью «Интегральные представления гипергеометрических функций»).

Однако очевидным недостатком такого определения является то, что оно может быть использовано не для всех значений параметров или не для всех значений аргумента.

Функция ${}_1 F_1 (\alpha; \gamma; z)$ называется гипергеометрической функцией Куммера.

Функция ${}_2 F_1 (\alpha_1, \alpha_2;\, \gamma;\, z)$ называется гипергеометрической функцией Гаусса.

Простейшие свойства гипергеометрических функций

Далее рассматривается функция

$\Phi(z) \equiv {}_m F_n (\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, z) \;.$

Аналитичность

Функция $\Phi(z)$ аналитична:

a) во всей комплексной плоскости, если $m\le n$;

b) в комплексной плоскости с разрезом по лучу $[1,\infty]$
$(|\arg(1-z)| < \pi)$, если $m=n+1$;

c) в комплексной плоскости с разрезом по лучу $[0,\infty]$
$(|\arg(-z)| < \pi)$, если $m>n+1$.

Частные значения

$\Phi(0)=1 \;.$

Если для некоторого $k$ $(k=1,...,m)$ имеет место $\alpha_k=0$, то $\Phi(z)=1$.

Свойства симметрии

a) Функция $\Phi(z)$ абсолютно симметрична относительно параметров
$\alpha_1$, $\alpha_2$,…, $\alpha_m$.

b) Функция $\Phi(z)$ абсолютно симметрична относительно параметров
$\gamma_1$, $\gamma_2$,…, $\gamma_n$.

Понижение порядка гипергеометрической функции

Если $\alpha_1=\gamma_1$, то
$\Phi(z)={}_{m-1}F_{n-1}(\alpha_2,...,\alpha_m;\, \gamma_2,...,\gamma_n;\, z)$.

Выражение некоторых элементарных функций через гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции наинизших порядков:

${}_0 F_0 (z) =\exp z \;,\qquad {}_1 F_0 (\alpha,z) =(1-z)^{-\alpha} \;.$

Выражение гиперболических и тригонометрических функций через гипергеометрические функции:

$\cosh z = {}_0 F_1(1/2,\, z^2 /4) \;, \cos z = {}_0 F_1(1/2,\, -z^2 /4) \;,$

$\sinh z = z\cdot {}_0 F_1(3/2,\, z^2 /4) \;, \sin z = z\cdot {}_0 F_1(3/2,\, -z^2 /4) \;.$

(см. статью «Гиперболические и тригонометричские функции комплексных переменных»).

Выражение логарифма, обратных гиперболических и обратных тригонометрических функций через гипергеометрическую функцию:

$\ln(1-z) = -z\cdot{}_2 F_1(1,\, 1;\, 2;\, z) \;,$

$\mathrm{arctanh}\, z = z\cdot {}_2 F_1(1/2,\, 1;\, 3/2;\, z^2) \;,$

$\arctan z = z\cdot {}_2 F_1(1/2,\, 1;\, 3/2;\, -z^2) \;,$

$\mathrm{arsinh}\, z = z\cdot {}_2 F_1(1/2,\, 1/2;\, 3/2;\, -z^2) \;,$

$\arcsin z = z\cdot {}_2 F_1(1/2,\, 1/2;\, 3/2;\, z^2) \;.$

(см. статьи «Степенная функция, экспонента и логарифм» и «Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции»).

Литература

1. Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. – Москва, `«Наука», 1973; 297 с.
   Перевод с английского: H.Bateman, A.Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

4. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

5. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

6. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E.Janke, F.Emde, F.Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!