Дифференцирование степенной функции
Дифференцирование экспоненты и логарифма
Дифференцирование некоторых функций, содержащих в виде множителя степенную функцию
Интегрирование некоторых функций, содержащих в виде множителя логарифм
Интегрирование некоторых функций, содержащих в виде множителя полином
Выражение интегралов через гипергеометрические функции
Случаи вырождения
Значения некоторых определенных интегралов
В настоящей статье рассматриваются степенная функция, экспонента, логарифм, а также некоторые комбинаций данных функций.
Для таких функций приведены формулы дифференцирования, выражения для неопределенных и определенных интегралов, описаны методы определения интегралов. Производные и интегралы представляются с помощью элементарных функций, а также гамма-функции, гипергеометрических и цилиндрических функций.
В статье используются следующие обозначения:j j j k k k r r r l l l m m m n n n M M M N N N x x x y y y t t t a a a b b b c c c d d d h h h p p p q q q s s s A A A B B B C C C D D D H H H ω \omega ω φ \varphi φ ψ \psi ψ z z z ξ \xi ξ w w w α \alpha α β \beta β γ \gamma γ ϰ \varkappa ϰ λ \lambda λ μ \mu μ ν \nu ν ϱ \varrho ϱ σ \sigma σ τ \tau τ ζ \zeta ζ C j k ≡ ( k j ) C_j^k \equiv \bigl({}_k^j\bigr) C j k ≡ ( k j )
F k ( z ) ≡ ∏ j = 0 k − 1 ( z + j ) , F ~ k ( z ) ≡ ( − 1 ) k ⋅ F k ( − z ) = ∏ j = 0 k − 1 ( z − j ) \mathcal{F}_k (z)\equiv \prod_{j=0}^{k-1}(z+j) \;,\qquad
\widetilde{\mathcal{F}}_k (z)\equiv (-1)^k \cdot \mathcal{F}_k(-z) =\prod_{j=0}^{k-1}(z-j)
F k ( z ) ≡ j = 0 ∏ k − 1 ( z + j ) , F k ( z ) ≡ ( − 1 ) k ⋅ F k ( − z ) = j = 0 ∏ k − 1 ( z − j )
– функция Похгамера степени k k k k k k
Для функции Похгамера в математической литературе обычно используется очень неудобное обозначение – ( z ) k (z)_k ( z ) k
Для производной всюду используется сокращенное обозначение:
d z \mathrm{d}_z d z d d z \frac{d}{dz} d z d
d z z α = α z α − 1 ( α ≠ 0 ) , \mathrm{d}_z \,z^{\alpha} = \alpha \,z^{\alpha -1}
\qquad (\alpha \ne 0) \;,
d z z α = α z α − 1 ( α = 0 ) ,
d z r z α = F ~ r ( α ) ⋅ z α − r ( α ≠ 0 , 1 , . . . , r − 1 ) . \mathrm{d}_z^r \,z^{\alpha} = \widetilde{\mathcal{F}}_r (\alpha)\cdot z^{\alpha -r}
\qquad (\alpha \ne 0,1,...,r-1).
d z r z α = F r ( α ) ⋅ z α − r ( α = 0 , 1 , . . . , r − 1 ) .
Здесь r = 0 , 1 , 2 , . . . r =0,1,2,... r = 0 , 1 , 2 , . . .
d z e z = e z , d z r e z = e z ; \mathrm{d}_z \,e^z = e^z \;,
\qquad
\mathrm{d}_z^r \,e^z = e^z \;;
d z e z = e z , d z r e z = e z ;
d z ln z = 1 / z , d z r ln z = ( − 1 ) r − 1 ⋅ ( r − 1 ) ! ⋅ z − r \mathrm{d}_z \,\ln z =1/z \;,
\qquad
\mathrm{d}_z^r \,\ln z = (-1)^{r-1}\cdot (r-1)!\cdot z^{-r}
d z ln z = 1 / z , d z r ln z = ( − 1 ) r − 1 ⋅ ( r − 1 ) ! ⋅ z − r
(r = 0 , 1 , 2 , . . . r =0,1,2,... r = 0 , 1 , 2 , . . .
Производные таких функций выражаются через гипергеометрические функции:
d z r ( z λ e − β z ) = F ~ r ( λ ) ⋅ z λ − r e − β z ⋅ 1 F 1 ( − r ; λ − r + 1 ; β z ) \mathrm{d}_z^r \,\bigl(z^{\lambda} \,e^{-\beta z}\bigr)
= \widetilde{\mathcal{F}}_r (\lambda)\cdot z^{\lambda -r} \,e^{-\beta z}\cdot {}_1 F_1(-r;\, \lambda -r+1;\, \beta z)
d z r ( z λ e − β z ) = F r ( λ ) ⋅ z λ − r e − β z ⋅ 1 F 1 ( − r ; λ − r + 1 ; β z )
d z r ( z λ e − β z ) = ( − β ) r z λ e − β z ⋅ 2 F 0 ( − r , − λ ; − 1 / ( β z ) ) ( β ≠ 0 ) ; \mathrm{d}_z^r \,\bigl(z^{\lambda} \,e^{-\beta z}\bigr)
= (-\beta)^r \,z^{\lambda} \,e^{-\beta z}\cdot {}_2 F_0\bigl(-r,\, -\lambda;\, -1/(\beta z)\bigr)
\qquad (\beta \ne 0) \;;
d z r ( z λ e − β z ) = ( − β ) r z λ e − β z ⋅ 2 F 0 ( − r , − λ ; − 1 / ( β z ) ) ( β = 0 ) ;
d z r ( z λ ( 1 − β z ) μ ) = F ~ r ( λ ) ⋅ z λ − r ( 1 − β z ) μ − r ⋅ 2 F 1 ( − r , λ + μ − r + 1 ; λ − r + 1 ; β z ) . \mathrm{d}_z^r \,\bigl(z^{\lambda} \,(1 {-}\beta z)^{\mu}\bigr)
= \widetilde{\mathcal{F}}_r (\lambda)\cdot z^{\lambda -r} \,(1 {-}\beta z)^{\mu -r}
\cdot {}_2 F_1(-r,\, \lambda {+}\mu {-}r {+}1;\, \lambda {-}r {+}1;\, \beta z) \;.
d z r ( z λ ( 1 − β z ) μ ) = F r ( λ ) ⋅ z λ − r ( 1 − β z ) μ − r ⋅ 2 F 1 ( − r , λ + μ − r + 1 ; λ − r + 1 ; β z ) .
Здесь r = 0 , 1 , 2 , . . . r =0,1,2,... r = 0 , 1 , 2 , . . .
При определении интеграла от функции
f ( z ) = d z ϱ 1 ( z ) ⋅ ln ϱ 2 ( z ) , f(z) =\mathrm{d}_z \varrho_1 (z)\cdot \ln \varrho_2 (z) \;,
f ( z ) = d z ϱ 1 ( z ) ⋅ ln ϱ 2 ( z ) ,
где ϱ 1 ( z ) \varrho_1(z) ϱ 1 ( z ) ϱ 2 ( z ) \varrho_2(z) ϱ 2 ( z )
f ( z ) = d z ( ϱ 1 ( z ) ⋅ ln ϱ 2 ( z ) ) − ϱ 1 ( z ) ⋅ d z ln ϱ 2 ( z ) . f(z) =\mathrm{d}_z \bigl(\varrho_1 (z)\cdot \ln \varrho_2 (z)\bigr) -\varrho_1 (z)\cdot \mathrm{d}_z \ln \varrho_2 (z) \;. f ( z ) = d z ( ϱ 1 ( z ) ⋅ ln ϱ 2 ( z ) ) − ϱ 1 ( z ) ⋅ d z ln ϱ 2 ( z ) .
Задача сводится к интегрированию дробно-рациональной функции.
Здесь вместо функции ln \ln ln a r c t a n h \mathrm{arctanh} a r c t a n h arctan \arctan arctan
Если p ( z ) p(z) p ( z ) n n n
a ) ∫ p ( z ) ⋅ e − β z d z = − ∑ k = 0 n β − k − 1 ⋅ d z k p ( z ) ⋅ e − β z ( β ≠ 0 ) ; {a) }
\int p(z)\cdot e^{-\beta z} \,d z
= -\sum_{k=0}^{n} \beta^{-k-1}\cdot \mathrm{d}_z^k \,p(z)\cdot e^{-\beta z}
\qquad (\beta \ne 0) \;;
a ) ∫ p ( z ) ⋅ e − β z d z = − k = 0 ∑ n β − k − 1 ⋅ d z k p ( z ) ⋅ e − β z ( β = 0 ) ;
b ) ∫ p ( z ) ⋅ ( α − β z ) λ − 1 d z = − ∑ k = 0 n β − k − 1 ⋅ d z k p ( z ) ⋅ ( α − β z ) λ + k F k + 1 ( λ ) {b) }
\int p(z)\cdot (\alpha -\beta z)^{\lambda -1} \,d z
= -\sum_{k=0}^{n} \beta^{-k-1}\cdot \mathrm{d}_z^k \,p(z)\cdot \frac{(\alpha -\beta z)^{\lambda +k}}{\mathcal{F}_{k+1}(\lambda)}
b ) ∫ p ( z ) ⋅ ( α − β z ) λ − 1 d z = − k = 0 ∑ n β − k − 1 ⋅ d z k p ( z ) ⋅ F k + 1 ( λ ) ( α − β z ) λ + k
(β ≠ 0 \beta \ne 0 β = 0 λ ≠ 0 \lambda \ne 0 λ = 0
В частности,
c ) ∫ z n e − β z d z = − ∑ k = 0 n β − k − 1 ⋅ k ! C n k z n − k ⋅ e − β z ( β ≠ 0 ) ; {c) }
\int z^n \,e^{-\beta z} \,d z = -\sum_{k=0}^{n}
\beta^{-k-1}\cdot k! \,C_n^k \,z^{n-k}\cdot e^{-\beta z}
\qquad (\beta \ne 0) \;;
c ) ∫ z n e − β z d z = − k = 0 ∑ n β − k − 1 ⋅ k ! C n k z n − k ⋅ e − β z ( β = 0 ) ;
d ) ∫ z n ⋅ ( α − β z ) λ − 1 d z = − ∑ k = 0 n β − k − 1 ⋅ k ! C n k z n − k ⋅ ( α − β z ) λ + k F k + 1 ( λ ) {d) }
\int z^n \cdot (\alpha -\beta z)^{\lambda -1} \,d z = -\sum_{k=0}^{n}
\beta^{-k-1}\cdot k! \,C_n^k \,z^{n-k}\cdot \frac{(\alpha -\beta z)^{\lambda +k}}{\mathcal{F}_{k+1}(\lambda)}
d ) ∫ z n ⋅ ( α − β z ) λ − 1 d z = − k = 0 ∑ n β − k − 1 ⋅ k ! C n k z n − k ⋅ F k + 1 ( λ ) ( α − β z ) λ + k
(β ≠ 0 \beta \ne 0 β = 0 λ ≠ 0 \lambda \ne 0 λ = 0
Использование гипергеометрических полиномов:
e ) ∫ z n e β z d z = β − 1 z n e β z ⋅ 2 F 0 ( − n , 1 ; 1 / ( β z ) ) ( β ≠ 0 ) ; {e) }
\int z^n \,e^{\beta z} \,d z = \beta^{-1} \,z^n \,e^{\beta z}\cdot {}_2 F_0 \bigl(-n, 1; 1/(\beta z)\bigr)
\qquad (\beta \ne 0) \;;
e ) ∫ z n e β z d z = β − 1 z n e β z ⋅ 2 F 0 ( − n , 1 ; 1 / ( β z ) ) ( β = 0 ) ;
f ) ∫ z n ( α + β z ) λ − 1 d z = β − 1 λ − 1 z n ( α + β z ) λ ⋅ 2 F 1 ( − n , 1 ; λ + 1 ; 1 + α β z ) {f) }
\int z^n \,(\alpha +\beta z)^{\lambda -1} \,d z
= \beta^{-1} \,\lambda^{-1} \,z^n \,(\alpha +\beta z)^{\lambda}
\cdot {}_2 F_1 \Bigl(-n, 1; \lambda +1; 1 +\frac{\alpha}{\beta z}\Bigr)
f ) ∫ z n ( α + β z ) λ − 1 d z = β − 1 λ − 1 z n ( α + β z ) λ ⋅ 2 F 1 ( − n , 1 ; λ + 1 ; 1 + β z α )
(β ≠ 0 \beta \ne 0 β = 0 λ ≠ 0 \lambda \ne 0 λ = 0
< < << < <
Формулы a) и b) являются частными случаями следующей формулы, которую можно получить, n n n
∫ p ( z ) ⋅ f ( z ) d z = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k d z k p ( z ) ⋅ f k + 1 ( z ) , \int p(z)\cdot f(z) \,d z =\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \,\mathrm{d}_z^k \,p(z)\cdot f_{k+1}(z) \;,
∫ p ( z ) ⋅ f ( z ) d z = k = 0 ∑ n ( − 1 ) k d z k p ( z ) ⋅ f k + 1 ( z ) ,
где f k ( z ) f_{k}(z) f k ( z )
f 0 ( z ) = f ( z ) , f k + 1 ( z ) = ∫ f k ( z ) d z , f_{0}(z) =f(z) \;,\qquad
f_{k+1}(z) =\int f_{k}(z) \,d z \;,
f 0 ( z ) = f ( z ) , f k + 1 ( z ) = ∫ f k ( z ) d z ,
или иначе
d z k f k ( z ) = f ( z ) . \mathrm{d}_z^k \,f_{k}(z) =f(z) \;.
d z k f k ( z ) = f ( z ) .
> > >> > >
a ) ∫ z λ − 1 ⋅ ( 1 − β z ϰ ) α d z = λ − 1 z λ ⋅ 2 F 1 ( − α , λ / ϰ ; λ / ϰ + 1 ; β z ϰ ) {a) }
\int z^{\lambda -1}\cdot \bigl(1 -\beta z^{\varkappa}\bigr)^{\alpha} \,d z
=\lambda^{-1} \,z^{\lambda}\cdot
{}_2 F_1\bigl(-\alpha,\, \lambda/\varkappa;\, \lambda/\varkappa +1;\,
\beta z^{\varkappa}\bigr)
a ) ∫ z λ − 1 ⋅ ( 1 − β z ϰ ) α d z = λ − 1 z λ ⋅ 2 F 1 ( − α , λ / ϰ ; λ / ϰ + 1 ; β z ϰ )
( λ ≠ 0 , ϰ ≠ 0 , λ / ϰ ≠ 0 , − 1 , − 2 , . . . ) ; (\lambda\ne 0 \;,\; \varkappa\ne 0 \;,\; \lambda/\varkappa \ne 0,-1,-2,...) \;;
( λ = 0 , ϰ = 0 , λ / ϰ = 0 , − 1 , − 2 , . . . ) ;
b ) ∫ z λ − 1 ⋅ exp ( β z ϰ ) d z = λ − 1 z λ ⋅ 1 F 1 ( λ / ϰ , λ / ϰ + 1 , β z ϰ ) {b) }
\int z^{\lambda -1}\cdot \exp\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) \,d z
=\lambda^{-1} \,z^{\lambda}\cdot
{}_1 F_1\bigl(\lambda/\varkappa,\, \lambda/\varkappa+1,\,
\beta z^{\varkappa}\bigr)
b ) ∫ z λ − 1 ⋅ exp ( β z ϰ ) d z = λ − 1 z λ ⋅ 1 F 1 ( λ / ϰ , λ / ϰ + 1 , β z ϰ )
( λ ≠ 0 , ϰ ≠ 0 , λ / ϰ ≠ 0 , − 1 , − 2 , . . . ) ; (\lambda\ne 0 \;,\; \varkappa\ne 0 \;,\; \lambda/\varkappa \ne 0,-1,-2,...) \;;
( λ = 0 , ϰ = 0 , λ / ϰ = 0 , − 1 , − 2 , . . . ) ;
g ) ∫ z μ − 1 ⋅ exp ( β z ϰ ) d z {g) }
\int z^{\mu -1}\cdot \exp\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) \,d z
g ) ∫ z μ − 1 ⋅ exp ( β z ϰ ) d z
= ϰ − 1 β − 1 ⋅ z μ − ϰ ⋅ exp ( β z ϰ ) ⋅ 2 F 0 ( − μ / ϰ + 1 , 1 , β − 1 z − ϰ ) \qquad
=\varkappa^{-1}\beta^{-1}\cdot z^{\mu -\varkappa}\cdot
\exp\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr)\cdot
{}_2 F_0\bigl(-\mu/\varkappa +1,\, 1,\, \beta^{-1} z^{-\varkappa}\bigr)
= ϰ − 1 β − 1 ⋅ z μ − ϰ ⋅ exp ( β z ϰ ) ⋅ 2 F 0 ( − μ / ϰ + 1 , 1 , β − 1 z − ϰ )
( ϰ ≠ 0 ) ; (\varkappa\ne 0) \;;
( ϰ = 0 ) ;
h ) ∫ exp ( α 0 + α 1 z + α 2 z 2 ) d z {h) }
\int \exp\bigl(\alpha_0 +\alpha_1 \,z +\alpha_2 \,z^2\bigr) \,d z
h ) ∫ exp ( α 0 + α 1 z + α 2 z 2 ) d z
= exp ( α 0 − α 1 2 / ( 4 α 2 ) ) ⋅ ( z + ζ ) ⋅ 1 F 1 ( 1 / 2 , 3 / 2 , α 2 ( z + ζ ) 2 ) , \qquad
=\exp\bigl(\alpha_0 -\alpha_1^2 /(4 \,\alpha_2)\bigr)\cdot
(z +\zeta)\cdot {}_1 F_1\bigl(1/2,\, 3/2,\, \alpha_2 \,(z +\zeta)^2\bigr) \;,
= exp ( α 0 − α 1 2 / ( 4 α 2 ) ) ⋅ ( z + ζ ) ⋅ 1 F 1 ( 1 / 2 , 3 / 2 , α 2 ( z + ζ ) 2 ) ,
( α 2 ≠ 0 , ζ ≡ α 1 / ( 2 α 2 ) ) ; (\alpha_2 \ne 0 \;,\; \zeta \equiv \alpha_1 /(2 \,\alpha_2));
( α 2 = 0 , ζ ≡ α 1 / ( 2 α 2 ) ) ;
i ) ∫ ( α 0 + α 1 z + α 2 z 2 ) λ d z {i) }
\int \bigl(\alpha_0 +\alpha_1 \,z +\alpha_2 \,z^2 \bigr)^{\lambda} \,d z
i ) ∫ ( α 0 + α 1 z + α 2 z 2 ) λ d z
= 1 2 α 2 ( α 0 − α 1 2 4 α 2 ) λ ⋅ ( α 1 + 2 α 2 z ) ⋅ 2 F 1 ( − λ , 1 2 , 3 2 , ( α 1 + 2 α 2 z ) 2 α 1 2 − 4 α 0 α 2 ) \quad
=\frac{1}{2 \,\alpha_2}\,\Bigl(\alpha_0 -\frac{\alpha_1^2}{4 \,\alpha_2}
\Bigr)^{\lambda} \cdot (\alpha_1 +2 \,\alpha_2 \,z)\cdot
{}_2 F_1\Bigl(-\lambda,\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{2},\,
\frac{(\alpha_1 +2 \,\alpha_2 \,z)^2}{\alpha_1^2 -4 \,\alpha_0 \,\alpha_2}\Bigr)
= 2 α 2 1 ( α 0 − 4 α 2 α 1 2 ) λ ⋅ ( α 1 + 2 α 2 z ) ⋅ 2 F 1 ( − λ , 2 1 , 2 3 , α 1 2 − 4 α 0 α 2 ( α 1 + 2 α 2 z ) 2 )
( α 2 ≠ 0 ) ; (\alpha_2 \ne 0);
( α 2 = 0 ) ;
x j ) ∫ ( α + β z ) λ − 1 ( τ + σ z τ − α σ / β ) μ d z x{j) }
\int (\alpha +\beta z)^{\lambda -1} \,\Bigl(\frac{\tau +\sigma z}{\tau -\alpha \,\sigma/\beta}\Bigr)^{\mu} \,d z
x j ) ∫ ( α + β z ) λ − 1 ( τ − α σ / β τ + σ z ) μ d z
= β − 1 λ − 1 ( α + β z ) λ ⋅ 2 F 1 ( − μ , λ ; λ + 1 ; α + β z α − β τ / σ ) \qquad
=\beta^{-1} \,\lambda^{-1} \,(\alpha +\beta z)^{\lambda}
\cdot {}_2 F_1 \Bigl(-\mu, \lambda; \lambda +1; \frac{\alpha +\beta z}{\alpha -\beta \,\tau/\sigma}\Bigr)
= β − 1 λ − 1 ( α + β z ) λ ⋅ 2 F 1 ( − μ , λ ; λ + 1 ; α − β τ / σ α + β z )
( λ ≠ 0 , β σ ≠ 0 ) . (\lambda\ne 0 \;,\; \beta \,\sigma \ne 0).
( λ = 0 , β σ = 0 ) .
k ) ∫ ( α + β z ) λ − 1 ( τ + σ z ) μ d z {k) }
\int (\alpha +\beta z)^{\lambda -1} \,(\tau +\sigma z)^{\mu} \,d z
k ) ∫ ( α + β z ) λ − 1 ( τ + σ z ) μ d z
= β − 1 λ − 1 ( α + β z ) λ ( τ + σ z ) μ ⋅ 2 F 1 ( − μ , 1 ; λ + 1 ; α / β + z τ / σ + z ) \qquad
=\beta^{-1} \,\lambda^{-1} \,(\alpha +\beta z)^{\lambda} \,(\tau +\sigma z)^{\mu}
\cdot {}_2 F_1 \Bigl(-\mu, 1; \lambda +1; \frac{\alpha/\beta +z}{\tau/\sigma +z}\Bigr)
= β − 1 λ − 1 ( α + β z ) λ ( τ + σ z ) μ ⋅ 2 F 1 ( − μ , 1 ; λ + 1 ; τ / σ + z α / β + z )
( λ ≠ 0 , β σ ≠ 0 ) . (\lambda\ne 0 \;,\; \beta \,\sigma \ne 0).
( λ = 0 , β σ = 0 ) .
(ϰ ≠ 0 \varkappa\ne 0 ϰ = 0
a ) ∫ z − 1 ⋅ ( 1 − β z ϰ ) α d z = ln z − β α ϰ − 1 ⋅ z ϰ ⋅ 3 F 2 ( 1 − α , 1 , 1 ; 2 , 2 ; β z ϰ ) ; {a) }
\int z^{-1}\cdot \bigl(1 -\beta \,z^{\varkappa}\bigr)^{\alpha} \,d z
= \ln z -\beta \alpha \,\varkappa^{-1}\cdot z^{\varkappa}\cdot
{}_3 F_2\bigl(1-\alpha, 1,1; 2,2; \beta \,z^{\varkappa}\bigr) \;;
a ) ∫ z − 1 ⋅ ( 1 − β z ϰ ) α d z = ln z − β α ϰ − 1 ⋅ z ϰ ⋅ 3 F 2 ( 1 − α , 1 , 1 ; 2 , 2 ; β z ϰ ) ;
b ) ∫ z − 1 ⋅ exp ( β z ϰ ) d z = ln z + β ϰ − 1 ⋅ z ϰ ⋅ 2 F 2 ( 1 , 1 ; 2 , 2 ; β z ϰ ) . {b) }
\int z^{-1}\cdot \exp\bigl(\beta \,z^{\varkappa}\bigr) \,d z
= \ln z +\beta \,\varkappa^{-1}\cdot z^{\varkappa}\cdot
{}_2 F_2\bigl(1,\, 1;\, 2,\, 2;\, \beta \,z^{\varkappa}\bigr) \;.
b ) ∫ z − 1 ⋅ exp ( β z ϰ ) d z = ln z + β ϰ − 1 ⋅ z ϰ ⋅ 2 F 2 ( 1 , 1 ; 2 , 2 ; β z ϰ ) .
a ) ∫ 0 x t λ − 1 ⋅ ( 1 − t / x ) μ − 1 ⋅ ( 1 − β t ) α d t {a) }
\int_0^x t^{\lambda -1}\cdot(1 -t/x)^{\mu -1}\cdot (1 -\beta \,t)^{\alpha} \,d t
a ) ∫ 0 x t λ − 1 ⋅ ( 1 − t / x ) μ − 1 ⋅ ( 1 − β t ) α d t
= x λ ⋅ Γ ( λ ) ⋅ Γ ( μ ) Γ ( λ + μ ) ⋅ 2 F 1 ( − α , λ ; λ + μ ; β x ) \qquad
=x^{\lambda}\cdot
\frac{ \Gamma(\lambda)\cdot \Gamma(\mu) }{ \Gamma(\lambda +\mu) }\cdot
{}_2 F_1 (-\alpha,\, \lambda;\, \lambda +\mu;\, \beta \,x)
= x λ ⋅ Γ ( λ + μ ) Γ ( λ ) ⋅ Γ ( μ ) ⋅ 2 F 1 ( − α , λ ; λ + μ ; β x )
( x > 0 , R e λ > 0 , R e μ > 0 , arg ( 1 − β ) < π ) ; (x>0,\; \mathrm{Re}\, \lambda >0,\; \mathrm{Re}\, \mu >0,\; \arg(1 -\beta) < \pi) \;;
( x > 0 , R e λ > 0 , R e μ > 0 , arg ( 1 − β ) < π ) ;
b ) ∫ 0 x t λ − 1 ⋅ ( 1 − t / x ) μ − 1 ⋅ e β t d t {b) }
\int_0^x t^{\lambda -1}\cdot(1-t/x)^{\mu -1}\cdot e^{\beta t} \,d t
b ) ∫ 0 x t λ − 1 ⋅ ( 1 − t / x ) μ − 1 ⋅ e β t d t
= x λ ⋅ Γ ( λ ) ⋅ Γ ( μ ) Γ ( λ + μ ) ⋅ 1 F 1 ( λ , λ + μ , β x ) \qquad
=x^{\lambda}\cdot
\frac{ \Gamma(\lambda)\cdot \Gamma(\mu) }{ \Gamma(\lambda +\mu) }\cdot
{}_1 F_1(\lambda,\, \lambda +\mu,\, \beta \,x)
= x λ ⋅ Γ ( λ + μ ) Γ ( λ ) ⋅ Γ ( μ ) ⋅ 1 F 1 ( λ , λ + μ , β x )
( x > 0 , R e λ > 0 , R e μ > 0 ) ; (x>0,\; \mathrm{Re}\, \lambda >0,\; \mathrm{Re}\, \mu >0) \;;
( x > 0 , R e λ > 0 , R e μ > 0 ) ;
c ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ ( 1 + β t s ) α d t {c) }
\int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot \bigl(1 +\beta \,t^s\bigr)^{\alpha} \,d t
c ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ ( 1 + β t s ) α d t
= ∣ s ∣ − 1 ⋅ β − λ / s ⋅ Γ ( λ / s ) ⋅ Γ ( − λ / s − α ) Γ ( − α ) \qquad
=|s|^{-1}\cdot \beta^{-\lambda/s}\cdot
\frac{ \Gamma(\lambda/s)\cdot \Gamma(-\lambda/s -\alpha) }{ \Gamma(-\alpha) }
= ∣ s ∣ − 1 ⋅ β − λ / s ⋅ Γ ( − α ) Γ ( λ / s ) ⋅ Γ ( − λ / s − α )
( s ≠ 0 , ∣ arg β ∣ < π , R e ( λ / s ) > 0 , R e ( − λ / s − α ) > 0 , (s\ne 0 \;,\; |\arg \beta|< \pi \;,\; \mathrm{Re}\,(\lambda/s) >0 \;,\;
\mathrm{Re}\,(-\lambda/s -\alpha) >0 \;,
( s = 0 , ∣ arg β ∣ < π , R e ( λ / s ) > 0 , R e ( − λ / s − α ) > 0 ,
− λ / s − α ≠ 1 , 2 , . . . ) ; -\lambda/s -\alpha \ne 1,2,...) \;;
− λ / s − α = 1 , 2 , . . . ) ;
d ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ ( 1 + β 1 t ) − μ 1 ⋅ ( 1 + β 2 t ) − μ 2 d t {d) }
\int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot
(1 +\beta_1 \,t)^{-\mu_1}\cdot (1 +\beta_2 \,t)^{-\mu_2} \,d t
d ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ ( 1 + β 1 t ) − μ 1 ⋅ ( 1 + β 2 t ) − μ 2 d t
= β 1 − λ ⋅ Γ ( λ ) ⋅ Γ ( μ 1 + μ 2 − λ ) Γ ( μ 1 + μ 2 ) ⋅ 2 F 1 ( λ , μ 2 ; μ 1 + μ 2 , 1 − β 2 / β 1 ) \qquad
=\beta_1^{-\lambda}\cdot
\frac{ \Gamma(\lambda)\cdot \Gamma(\mu_1 {+}\mu_2 {-}\lambda) }
{ \Gamma(\mu_1 {+}\mu_2) }
\cdot {}_2 F_1(\lambda,\, \mu_2;\, \mu_1 +\mu_2,\, 1 -\beta_2 /\beta_1)
= β 1 − λ ⋅ Γ ( μ 1 + μ 2 ) Γ ( λ ) ⋅ Γ ( μ 1 + μ 2 − λ ) ⋅ 2 F 1 ( λ , μ 2 ; μ 1 + μ 2 , 1 − β 2 / β 1 )
( 0 < R e λ < R e ( μ 1 + μ 2 ) , ∣ arg ( β 2 / β 1 ) ∣ < π ) ; (0< \mathrm{Re}\, \lambda < \mathrm{Re}\, (\mu_1 +\mu_2) \;,\; |\arg(\beta_2 /\beta_1)| < \pi) \;;
( 0 < R e λ < R e ( μ 1 + μ 2 ) , ∣ arg ( β 2 / β 1 ) ∣ < π ) ;
e ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ exp ( − β t s ) d t = ∣ s ∣ − 1 ⋅ β − λ / s ⋅ Γ ( λ / s ) {e) }
\int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot \exp\bigl(-\beta \,t^s\bigr) \,d t
=|s|^{-1}\cdot \beta^{-\lambda/s}\cdot \Gamma(\lambda/s)
e ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ exp ( − β t s ) d t = ∣ s ∣ − 1 ⋅ β − λ / s ⋅ Γ ( λ / s )
( s ≠ 0 , R e β > 0 , R e ( λ / s ) > 0 ) ; (s\ne 0 \;,\; \mathrm{Re}\, \beta >0 \;,\; \mathrm{Re}\,(\lambda/s) >0) \;;
( s = 0 , R e β > 0 , R e ( λ / s ) > 0 ) ;
f ) ∫ − ∞ + ∞ e α t − β t 2 / 2 d t = 2 π / β ⋅ e α 2 / ( 2 β ) ( R e β > 0 ) ; {f) }
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\alpha \,t -\beta \,t^2 /2} \,d t
=\sqrt{2\pi/\beta}\cdot e^{\alpha^2 /(2 \beta)}
\qquad
(\mathrm{Re}\, \beta >0) \;;
f ) ∫ − ∞ + ∞ e α t − β t 2 / 2 d t = 2 π / β ⋅ e α 2 / ( 2 β ) ( R e β > 0 ) ;
g ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ ( 1 + β t ) α ⋅ e − z t d t = Γ ( λ ) ⋅ z − λ ⋅ 2 F 0 ( − α , λ , − β / z ) {g) }
\int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot(1 +\beta t)^{\alpha}\cdot e^{-z \,t} \,d t
=\Gamma(\lambda)\cdot z^{-\lambda}\cdot
{}_2 F_0\bigl(-\alpha,\, \lambda,\, -\beta/z\bigr)
g ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ ( 1 + β t ) α ⋅ e − z t d t = Γ ( λ ) ⋅ z − λ ⋅ 2 F 0 ( − α , λ , − β / z )
( R e λ > 0 , R e z > 0 , R e β > 0 ) ; (\mathrm{Re}\, \lambda >0 \;,\; \mathrm{Re}\, z >0 \;,\; \mathrm{Re}\, \beta >0) \;;
( R e λ > 0 , R e z > 0 , R e β > 0 ) ;
h ) ∫ − 1 1 ( 1 − t 2 ) λ − 1 ⋅ e z t d t = 2 ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) λ − 1 ⋅ e z t d t {h) }
\int_{-1}^{1} (1 -t^2)^{\lambda -1}\cdot e^{z \,t} \,d t
=2 \,\int_0^1 (1 -t^2)^{\lambda -1}\cdot e^{z \,t} \,d t
h ) ∫ − 1 1 ( 1 − t 2 ) λ − 1 ⋅ e z t d t = 2 ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) λ − 1 ⋅ e z t d t
= π Γ ( λ ) Γ ( λ + 1 / 2 ) ⋅ 0 F 1 ( λ + 1 / 2 , z 2 / 4 ) \qquad
=\frac{ \sqrt{\pi} \;\Gamma(\lambda) }{ \Gamma(\lambda +1/2) }\cdot
{}_0 F_1(\lambda +1/2,\, z^2 /4)
= Γ ( λ + 1 / 2 ) π Γ ( λ ) ⋅ 0 F 1 ( λ + 1 / 2 , z 2 / 4 )
( R e λ > 0 ) ; (\mathrm{Re}\, \lambda >0) \;;
( R e λ > 0 ) ;
i ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ e − ( α / β ) t − α β / t d t = 2 β λ ⋅ K λ ( 2 α ) ; {i) }
\int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot e^{-(\alpha/\beta) \,t -\alpha \beta /t} \,d t
=2 \,\beta^{\lambda}\cdot K_{\lambda}(2 \,\alpha) \;;
i ) ∫ 0 ∞ t λ − 1 ⋅ e − ( α / β ) t − α β / t d t = 2 β λ ⋅ K λ ( 2 α ) ;
j ) ∫ 0 ∞ λ t λ − 1 ⋅ e − α t − β / t d t {j) }
\int_0^{\infty} \lambda \,t^{\lambda -1}\cdot e^{-\alpha t -\beta/t} \,d t
j ) ∫ 0 ∞ λ t λ − 1 ⋅ e − α t − β / t d t
= Γ ( λ − 1 ) ⋅ α − λ ⋅ 0 F 1 ( 1 − λ , α β ) − Γ ( − λ − 1 ) ⋅ β λ ⋅ 0 F 1 ( 1 + λ , α β ) . \qquad
=\Gamma(\lambda -1)\cdot \alpha^{-\lambda}\cdot {}_0 F_1 (1 -\lambda,\, \alpha \beta)
-\Gamma(-\lambda -1)\cdot \beta^{\lambda}\cdot {}_0 F_1 (1 +\lambda,\, \alpha \beta) \;.
= Γ ( λ − 1 ) ⋅ α − λ ⋅ 0 F 1 ( 1 − λ , α β ) − Γ ( − λ − 1 ) ⋅ β λ ⋅ 0 F 1 ( 1 + λ , α β ) .
< < << < < x = 1 x =1 x = 1 β = 1 − β 2 / β 1 \beta =1 -\beta_2 /\beta_1 β = 1 − β 2 / β 1 α = − μ 2 \alpha =-\mu_2 α = − μ 2 μ = μ 1 + μ 2 − λ \mu =\mu_1 +\mu_2 -\lambda μ = μ 1 + μ 2 − λ t = β 1 y / ( 1 + β 1 y ) t =\beta_1 \,y /(1 +\beta_1 \,y) t = β 1 y / ( 1 + β 1 y )
При выводе формулы h) можно выпонить замену переменной по формуле y = ( 1 − t ) / 2 y =(1-t)/2 y = ( 1 − t ) / 2
> > >> > >
Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!
Комментарии