В настоящей статье приведены различные неравенства для степенной функции, экспоненты и логарифма, а также формула для бесконечного произведения множителей, задаваемых степенной функцией.
В статье используются следующие обозначения:
x, y, a – действительные переменные;
z, α, β, ξ – комплексные переменные.
Основные неравенства
a)1−1/x<lnx<x−1(x>0,x =1),
b)lnx<(1/a)⋅(xa−1)(x>0,x =1,a>0),
c)1+x<ex<(1−x)−1(x<1,x =0),
d)(1+x)a<eax(a>0,x>−1,x =0),
e)exp(−x/(1−x))<1−x<exp(−x)(x<1,x =0),
f)exp(ax/(a+x))<(1+x/a)a<expx(x>0,a>0),
g)1+ax<(1+x)a<1+ax(1+x)a−1(x =0,a>1 илиa<0),
h)1+ax(1+x)a−1<(1+x)a<1+ax(x =0,0<a<1).
Неравенства a) и b) переходят в равенства в пределе при x→1, а каждое из неравенств c) – h) переходит в равенство в пределе при x→0.
Кроме того, неравенство b) переходит в равенство в пределе при a→0, а второе неравенство f) переходит в равенство в пределе при a→∞.
<<
При выводе данных и других аналогичных неравенств могут оказаться полезными следующие теоремы:
если f(0)=0 и xf′(x)>0 при x =0, то f(x)>0 при
x =0;
\item
если f(0)=f′(0)=0 и (d2/dx2)f(x)>0 при x =0, то
f(x)>0 при x =0.
Здесь f(x) – действительная дважды дифференцируемая числовая функция;
f′(x)≡(d/dx)f(x).
>>
Дополнительные неравенства
a)ex<1+3x/2(0<x<x0 ,x0 =0.76268856...),
b)ex<1+2x(0<x<x0 ,x0 =1.25643120...),
c)ex<1+5x/2(0<x<x0 ,x0 =1.61878812...),
d)ex<1+3x(0<x<x0 ,x0 =1.90381369...),
e)e−x<1−2x/3(0<x<x0 ,x0 =0.87421746...),
f)e−x<1−x/2(0<x<x0 ,x0 =1.59362426...),
g)e−x<1−2x/5(0<x<x0 ,x0 =2.23161188...),
h)e−x<1−x/3(0<x<x0 ,x0 =2.82143937...),
i)∣ln(1−x)∣<3x/2(0<x<x0 ,x0 =0.58281164...),
j)∣ln(1−x)∣<2x(0<x<x0 ,x0 =0.79681213...),
k)∣ln(1−x)∣<5x/2(0<x<x0 ,x0 =0.89264475...),
l)∣ln(1−x)∣<3x(0<x<x0 ,x0 =0.94047979...).
Каждое из данных неравенств переходит в равенство в пределе при x→0 и при x→x0 .
Неравенства для функций комплексных переменных
a)∣ln(z1 /z2 )∣<∣z1 −z2 ∣(Rez1 ≥1,Rez2 ≥1,z1 =z2 ),
b)ln(1+∣z∣)≤∣ln(1+z)∣≤−ln(1−∣z∣)(∣z∣<1),
c)(1−∣z∣)a≤∣1+z∣a≤(1+∣z∣)a(∣z∣<1,a>0),
d)(1+∣z∣)a≤∣1+z∣a≤(1−∣z∣)a(∣z∣<1,a<0),
e)1−e−∣z∣≤∣ez−1∣≤e∣z∣−1,
f)a1−e−a ⋅∣z∣<∣ez−1∣<aea−1 ⋅∣z∣(0<∣z∣<a,a>0).
<<
При выводе неравенств b)–e) могут быть использованы теоремы о максимуме и минимуме модуля аналитической функции.
>>
Бесконечное произведение множителей, задаваемых геометрической зависимостью
Пусть [ξj ]1m и [βj ]1m – две последовательности комплексных чисел и
α≡j=1∑m βj ξj .
Тогда при α=0
k=1∏∞ (1+ξ1 /k)β1 (1+ξ2 /k)β2 ...(1+ξm /k)βm =j=1∏m (Γ(ξj +1))−βj ;
при α =0 данное бесконечное произведение является расходящимся.
<<
Вывод данной формулы см. в приложении A.
>>
Приложение A. Вывод формул и доказательство теорем
Здесь будет выведена формула п. 4.
Используем формулу для суммы ряда, содержащего линейные комбинации элементарных дробей:
если [zj ]1m и [αj ]1m – две последовательности комплексных чисел и
α≡j=1∑m αj ,
то
w≡k=1∑∞ (α1 (z1 +k)−1+α2 (z2 +k)−1+...+αm (zm +k)−1)
=⎩⎨⎧ −j=1∑m αj ⋅Ψ(zj )∞ приα=0, приα =0.
Здесь Ψ(z)=(d/dz)Γ(z+1).
Рассмотрим функцию
g(z)=k=1∏∞ (1+zξ1 /k)β1 (1+zξ2 /k)β2 ...(1+zξm /k)βm .
Для нее
dzd lng(z)=k=1∑∞ (zξ1 +kβ1 ξ1 +zξ2 +kβ2 ξ2 +...+zξm +kβm ξm ).
Следовательно, при α=0
dzd lng(z)=j=1∑m −βj ξj Ψ(zξj )
и
g(z)=j=1∏m (Γ(zξj +1))−βj .
Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!
Комментарии