Дополнительные свойства степенной функции, экспоненты и логарифма

Содержание

  1. 1. Основные неравенства
  2. 2. Дополнительные неравенства
  3. 3. Неравенства для функций комплексных переменных
  4. 4. Бесконечное произведение множителей, задаваемых геометрической зависимостью
  5. 5. Приложение A. Вывод формул и доказательство теорем

В настоящей статье приведены различные неравенства для степенной функции, экспоненты и логарифма, а также формула для бесконечного произведения множителей, задаваемых степенной функцией.

В статье используются следующие обозначения:

xx, yy, aa – действительные переменные;

zz, α\alpha, β\beta, ξ\xi – комплексные переменные.

Основные неравенства

a)11/x<lnx<x1(x>0, x1) ,{a) } 1-1/x < \ln x < x-1 \qquad (x>0,\; x\ne 1) \;,

b)lnx<(1/a)(xa1)(x>0, x1, a>0) ,{b) } \ln x < (1/a)\cdot \bigl(x^a -1\bigr) \qquad (x>0,\; x\ne 1,\; a>0) \;,

c)1+x<ex<(1x)1(x<1, x0) ,{c) } 1+x < e^x < (1-x)^{-1} \qquad (x<1,\; x\ne 0) \;,

d)(1+x)a<ea x(a>0, x>1, x0) ,{d) } (1+x)^a < e^{a \,x} \qquad (a>0,\; x>-1,\; x\ne 0) \;,

e)exp(x/(1x))<1x<exp(x)(x<1, x0) ,{e) } \exp\bigl(-x/(1-x)\bigr) < 1-x < \exp(-x) \qquad (x<1,\; x\ne 0) \;,

f)exp(a x/(a+x))<(1+x/a)a<expx(x>0, a>0) ,{f) } \exp\bigl(a \,x /(a +x)\bigr) < (1 +x /a)^a < \exp x \qquad (x>0,\; a>0) \;,

g)1+a x<(1+x)a<1+a x (1+x)a1(x0, a>1 илиa<0) ,{g) } 1 +a \,x < (1 +x)^a < 1 +a \,x \,(1 +x)^{a-1} \qquad (x\ne 0,\; a>1 \ { или } a<0) \;,

h)1+a x (1+x)a1<(1+x)a<1+a x(x0, 0<a<1) .{h) } 1 +a \,x \,(1+x)^{a-1} < (1+x)^a < 1 +a \,x \qquad (x\ne 0,\; 0<a<1) \;.

Неравенства a) и b) переходят в равенства в пределе при x1x\to 1, а каждое из неравенств c) – h) переходит в равенство в пределе при x0x\to 0.

Кроме того, неравенство b) переходит в равенство в пределе при a0a\to 0, а второе неравенство f) переходит в равенство в пределе при aa\to \infty.

<<<<
При выводе данных и других аналогичных неравенств могут оказаться полезными следующие теоремы:

если f(0)=0f(0)=0 и x f(x)>0x \,f'(x) >0 при x0x\ne 0, то f(x)>0f(x)>0 при
x0x\ne 0;
\item
если f(0)=f(0)=0f(0) =f'(0) =0 и (d2/dx2) f(x)>0(d^2 /d x^2) \,f(x)>0 при x0x\ne 0, то
f(x)>0f(x)>0 при x0x\ne 0.

Здесь f(x)f(x) – действительная дважды дифференцируемая числовая функция;
f(x)(d/dx) f(x)f'(x)\equiv (d /d x) \,f(x).
>>>>

Дополнительные неравенства

a)ex<1+3 x/2(0<x<x0 , x0=0.76268856...) ,{a) } e^x < 1 +3 \,x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.76268856... ) \;,

b)ex<1+2 x(0<x<x0 , x0=1.25643120...) ,{b) } e^x < 1+ 2 \,x \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=1.25643120...) \;,

c)ex<1+5 x/2(0<x<x0 , x0=1.61878812...) ,{c) } e^x < 1 +5 \,x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=1.61878812... ) \;,

d)ex<1+3 x(0<x<x0 , x0=1.90381369...) ,{d) } e^x < 1 +3 \,x \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=1.90381369...) \;,

e)ex<12 x/3(0<x<x0 , x0=0.87421746...) ,{e) } e^{-x} < 1 -2 \,x/3 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.87421746... ) \;,

f)ex<1x/2(0<x<x0 , x0=1.59362426...) ,{f) } e^{-x} < 1 -x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=1.59362426... ) \;,

g)ex<12 x/5(0<x<x0 , x0=2.23161188...) ,{g) } e^{-x} < 1 -2 \,x/5 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=2.23161188... ) \;,

h)ex<1x/3(0<x<x0 , x0=2.82143937...) ,{h) } e^{-x} < 1 -x/3 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=2.82143937... ) \;,

i)ln(1x)<3 x/2(0<x<x0 , x0=0.58281164...) ,{i) } |\ln(1-x)| < 3 \,x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.58281164... ) \;,

j)ln(1x)<2 x(0<x<x0 , x0=0.79681213...) ,{j) } |\ln(1-x)| < 2 \,x \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.79681213... ) \;,

k)ln(1x)<5 x/2(0<x<x0 , x0=0.89264475...) ,{k) } |\ln(1-x)| < 5 \,x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.89264475... ) \;,

l)ln(1x)<3 x(0<x<x0 , x0=0.94047979...) .{l) } |\ln(1-x)| < 3 \,x \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.94047979... ) \;.

Каждое из данных неравенств переходит в равенство в пределе при x0x\to 0 и при xx0x\to x_0.

Неравенства для функций комплексных переменных

a)ln(z1/z2)<z1z2(Re z11 , Re z21 , z1z2) ,{a) } |\ln(z_1 /z_2)| < |z_1 -z_2| \qquad (\mathrm{Re}\, z_1 \ge 1 \;,\; \mathrm{Re}\, z_2 \ge 1 \;,\; z_1\ne z_2) \;,

b)ln(1+z)ln(1+z)ln(1z)(z<1) ,{b) } \ln(1+|z|) \le |\ln(1+z)| \le -\ln(1-|z|) \qquad (|z|<1) \;,

c)(1z)a1+za(1+z)a(z<1 , a>0) ,{c) } (1 -|z|)^a \le |1+z|^a \le (1 +|z|)^a \qquad (|z|<1 \;,\; a>0) \;,

d)(1+z)a1+za(1z)a(z<1 , a<0) ,{d) } (1 +|z|)^a \le |1+z|^a \le (1 -|z|)^a \qquad (|z|<1 \;,\; a<0) \;,

e)1ezez1ez1 ,{e) } 1 -e^{-|z|} \le |e^z -1| \le e^{|z|} -1 \;,

f)1eaaz<ez1<ea1az(0<z<a , a>0) .{f) } \frac{1 -e^{-a}}{a} \cdot |z| < |e^z -1| < \frac{e^a -1}{a} \cdot |z| \qquad (0 <|z|< a \;,\; a>0) \;.

<<<<
При выводе неравенств b)–e) могут быть использованы теоремы о максимуме и минимуме модуля аналитической функции.
>>>>

Бесконечное произведение множителей, задаваемых геометрической зависимостью

Пусть [ξj]1m[\xi_j]_1^m и [βj]1m[\beta_j]_1^m – две последовательности комплексных чисел и

αj=1mβj ξj .\alpha \equiv \sum_{j=1}^{m} \beta_j \,\xi_j \;.

Тогда при α=0\alpha =0

k=1(1+ξ1/k)β1 (1+ξ2/k)β2...(1+ξm/k)βm=j=1m(Γ(ξj+1))βj ;\prod_{k=1}^{\infty} (1 +\xi_1 /k)^{\beta_1} \,(1 +\xi_2 /k)^{\beta_2}... (1 +\xi_m /k)^{\beta_m} =\prod_{j=1}^{m} \bigl(\Gamma(\xi_j +1)\bigr)^{-\beta_j} \;;

при α0\alpha \ne 0 данное бесконечное произведение является расходящимся.

<<<<
Вывод данной формулы см. в приложении A.
>>>>

Приложение A. Вывод формул и доказательство теорем

Здесь будет выведена формула п. 4.

Используем формулу для суммы ряда, содержащего линейные комбинации элементарных дробей:
если [zj]1m[z_j]_1^m и [αj]1m[\alpha_j]_1^m – две последовательности комплексных чисел и

αj=1mαj ,\alpha \equiv \sum_{j=1}^m \alpha_j \;,

то

wk=1(α1 (z1+k)1+α2 (z2+k)1+...+αm (zm+k)1)w\equiv \sum_{k=1}^{\infty} \Bigl(\alpha_1 \,(z_1 +k)^{-1} +\alpha_2 \,(z_2 +k)^{-1} +...+\alpha_m \,(z_m +k)^{-1}\Bigr)

={j=1mαjΨ(zj) приα=0 , приα0 .= \begin{cases} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha_j \cdot \Psi(z_j) & \ {при } \alpha =0 \;,\\ \quad \infty & \ {при } \alpha \ne 0 \;. \end{cases}

Здесь Ψ(z)=(d/dz) Γ(z+1)\Psi(z) =(d/d z) \,\Gamma(z+1).

Рассмотрим функцию

g(z)=k=1(1+z ξ1/k)β1 (1+z ξ2/k)β2...(1+z ξm/k)βm .g(z) =\prod_{k=1}^{\infty} (1 +z \,\xi_1 /k)^{\beta_1} \,(1 +z \,\xi_2 /k)^{\beta_2} ... (1 +z \,\xi_m /k)^{\beta_m} \;.

Для нее

ddz lng(z)=k=1(β1 ξ1z ξ1+k+β2 ξ2z ξ2+k+...+βm ξmz ξm+k) .\frac{d}{d z} \,\ln g(z) =\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{\beta_1 \,\xi_1}{z \,\xi_1 +k} +\frac{\beta_2 \,\xi_2}{z \,\xi_2 +k} +...+\frac{\beta_m \,\xi_m}{z \,\xi_m +k}\right) \;.

Следовательно, при α=0\alpha =0

ddz lng(z)=j=1mβj ξj Ψ(z ξj)\frac{d}{d z} \,\ln g(z) =\sum_{j=1}^{m} -\beta_j \,\xi_j \,\Psi(z \,\xi_j)

и

g(z)=j=1m(Γ(z ξj+1))βj .g(z) =\prod_{j=1}^{m} \bigl(\Gamma(z \,\xi_j +1)\bigr)^{-\beta_j} \;.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир