Функциональные уравнения для степенной функции, экспоненты и логарифма

В настоящей статье приведены важнейшие функциональные уравнения для степенной функции, экспоненты и логарифма.

В статье используются следующие обозначения:

$m$, $n$, $M$, $N$ – целочисленные переменные;

$x$, $y$, $a$, $b$ – действительные переменные;

$z$, $\xi$, $\alpha$, $\beta$ – комплексные переменные.

Фазовые соотношения

${a) } \exp(z^*) =\bigl(\exp z\bigr)^* \;,$

${b) } \ln(z^*) =\bigl(\ln z\bigr)^* \qquad (\arg z < \pi) \;,$

${c) } \ln z = \ln|z| +i \,\arg z \;.$

Соотношения для степенной и показательной функций

$z^{\alpha}\cdot z^{\beta} =z^{\alpha+\beta} \;,\qquad \exp(z_1)\cdot \exp(z_2) =\exp(z_1 +z_2) \;,$

$z_1^{\ln z_2} =z_2^{\ln z_1} \;,\qquad e^{\ln z} =z \;.$

Логарифм и степень произведения

a) Основные соотношения

$\ln(z_1 \,z_2)= \ln z_1 + \ln z_2 - i\cdot 2\pi m \;,$

$\bigl(z_1 \,z_2\bigr)^{\beta} = z_1^{\beta}\cdot z_2^{\beta}\cdot e^{-i\, 2\pi m\cdot \beta} \;;$

здесь $m$ – целое число, определяемое условием

$m-1/2 < (2\pi)^{-1} \,\bigl(\arg z_1 +\arg z_2\bigr) \le m+1/2 \;.$

b) Обозначим $x_1\equiv \mathrm{Re}\, z_1$; \ $y_1\equiv \mathrm{Im}\, z_1$;
$x_2\equiv \mathrm{Re}\, z_2$; \ $y_2\equiv \mathrm{Im}\, z_2$. Тогда

если $y_1 \,y_2 <0$, то $m=0$;

если $x_1 >0$ и $x_2 >0$, то $m=0$;

если $x_1 <0$ и $x_2 <0$, то
$m =\frac{1}{2} \,(\mathrm{sign}\, y_1 +\mathrm{sign}\, y_2)$.

c) Если $\arg z\ne 0$, то

$\ln(-z) =\ln z -i \,\pi \cdot \mathrm{sign}\,(\mathrm{Im}\, z) \;,$

$(-z)^{\beta} =z^{\beta}\cdot e^{-i \,\pi \,\beta \cdot \mathrm{sign}\,(\mathrm{Im}\, z) } \;.$

d) Если $a>0$, то

$\ln(a\,z) =\ln a +\ln z \;,$

$(a\,z)^{\beta} =a^{\beta}\cdot z^{\beta} \;.$

Логарифм и степень произведения $N$ чисел

Для любой последовательности $N$ комплексных чисел $[z_1,...,z_N]$

$\ln(z_1\cdot z_2\cdot...\cdot z_N) =\ln z_1 +\ln z_2 +...+\ln z_N -i\cdot 2\pi M \;,$

$(z_1\cdot z_2\cdot...\cdot z_N)^{\beta} =z_1^{\beta}\cdot z_2^{\beta}\cdot ...\cdot z_N^{\beta}\cdot e^{-i \,2\pi \,M\cdot \beta} \;.$

Здесь $M$ – целое число, определяемое условием

$M -1/2 < (2\pi)^{-1} \,(\arg z_1 +...+\arg z_N) \le M +1/2 \;.$

Логарифм степени и степень степени

$\ln(z^{\alpha}) =\alpha \,\ln z -i\cdot 2\pi \,n \;,\qquad \ln(e^z) =z -i\cdot 2\pi \,n' \;,$

$(z^{\alpha})^{\beta} =z^{\alpha \,\beta}\cdot e^{-i \,2\pi \,n \,\beta} \;,$

где $n$ и $n'$ – целые числа, определяемые условиями

$n-1/2 < (2\pi)^{-1}\cdot \mathrm{Im}\,(\alpha \,\ln z) \le n+1/2 \;,$

$n' -1/2 < (2\pi)^{-1}\cdot \mathrm{Im}\, z \le n' +1/2 \;.$

Если $\alpha =a$ – действительное число, то условие для $n$ равносильно неравенству

$n -1/2 < a\cdot (2\pi)^{-1}\cdot \arg z \le n +1/2 \;.$

В частности,

a) При $-1< a \le 1$ \ $n=0$;

b) При $-1 \le a \le 1$ и $\arg z< \pi$ \ $n=0$;

c) При $a=2$

$n = \begin{cases} 1 & \ {если } 2\pi/4 < \arg z \le 2\pi/2 \;,\\ 0 & \ {если } -2\pi/4 < \arg z \le 2\pi/4 \;,\\ -1 & \ {если } -2\pi/2 < \arg z \le -2\pi/4 \;; \end{cases}$

d) При $a=3$

$n = \begin{cases} 1 & \ {если } 2\pi/6 < \arg z \le 2\pi/2 \;,\\ 0 & \ {если } -2\pi/6 < \arg z \le 2\pi/6 \;,\\ -1 & \ {если } -2\pi/2 < \arg z \le -2\pi/6 \;; \end{cases}$

e) Если $\arg z < \pi$, то

$\ln(z^{-1}) =-\ln z \;,\qquad (z^{-1})^{\beta} =z^{-\beta} \;;$

f) Если $x>0$, то

$\ln(x^a) =a\cdot \ln x \;,\qquad (x^a)^{\beta} =x^a \cdot x^{\beta} \;.$

Квадратный корень из комплексного числа

Следующие формулы позволяют определить с точностью до знака действительную и мнимую части квадратного корня (т.е. степени с показателем $1/2$) из комплексного числа $z$, без использования тригинометрических функций:

$\bigl(\mathrm{Re}\, \sqrt{z}\bigr)^2 =\frac{1}{2} \,\bigl(|z| +\mathrm{Re}\, z\bigr) \;, \qquad \bigl(\mathrm{Im}\, \sqrt{z}\bigr)^2 =\frac{1}{2} \,\bigl(|z| -\mathrm{Re}\, z\bigr) \;.$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!