В настоящей статье приводятся значения степенной функции, экспоненты и логарифма для некоторых специальных значений их аргументов, а также пределы некторых выражений, содержащих данные функции.
Значения степенной функции и экспоненты:
z 0 = 1 ( z ≠ 0 , z ≠ ∞ ) , z^0 =1 \qquad (z\ne 0 \;,\; z\ne \infty) \;,
z 0 = 1 ( z = 0 , z = ∞ ) ,
z 1 = z , z^1 =z \;,
z 1 = z ,
1 α = 1 . 1^{\alpha} =1 \;.
1 α = 1 .
В частности,
e 0 = 1 . e^0 =1 \;.
e 0 = 1 .
Значения логарифма:
ln 1 = 0 , ln e = 1 , \ln 1 =0 \;,\qquad \ln e =1 \;,
ln 1 = 0 , ln e = 1 ,
ln i = i ⋅ 2 π / 4 , ln ( − i ) = − i ⋅ 2 π / 4 , ln ( − 1 ) = i π . \ln i =i\cdot 2\pi/4 \;,\quad \ln(-i) =-i\cdot 2\pi/4 \;,\quad \ln(-1) =i \,\pi \;.
ln i = i ⋅ 2 π / 4 , ln ( − i ) = − i ⋅ 2 π / 4 , ln ( − 1 ) = i π .
Значения экспоненты для некоторых чисто мнимых значений аргумента могут быть получены с помощью соответствующих частных значений функций cos x \cos x cos x sin x \sin x sin x «Частные значения и пределы гиперболических и тригонометрических функций» ):
e i 2 π k = 1 ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) , e^{i \,2\pi k} =1 \qquad (k=0, \pm 1, \pm 2,...) \;,
e i 2 π k = 1 ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) ,
e i π = − 1 , e i 2 π / 4 = i , e − i 2 π / 4 = − i , e^{i \,\pi} =-1 \;,\quad
e^{i \,2\pi/4} =i \;,\quad
e^{-i \,2\pi/4} =-i \;,
e i π = − 1 , e i 2 π / 4 = i , e − i 2 π / 4 = − i ,
e i 2 π / 6 = 1 2 ( 1 + i 3 ) , e i 2 π / 8 = 2 − 1 / 2 ⋅ ( 1 + i ) , e i 2 π / 12 = 1 2 ( 3 + i ) . e^{i \,2\pi/6} =\frac{1}{2} \,\bigl(1 +i \,\sqrt{3}\bigr) \;,
\quad
e^{i \,2\pi/8} =2^{-1/2}\cdot(1+i) \;,
\quad
e^{i \,2\pi/12} =\frac{1}{2}\,\bigl(\sqrt{3} +i\bigr) \;.
e i 2 π / 6 = 2 1 ( 1 + i 3 ) , e i 2 π / 8 = 2 − 1 / 2 ⋅ ( 1 + i ) , e i 2 π / 1 2 = 2 1 ( 3 + i ) .
Пределы функций комплексной переменной
a ) lim z → 0 z α = lim z → ∞ z − α = 0 ( R e α > 0 ) , {a )}
\lim_{z\to 0} z^{\alpha} =\lim_{z\to \infty} z^{-\alpha} =0
\qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0) \;,
a ) z → 0 lim z α = z → ∞ lim z − α = 0 ( R e α > 0 ) ,
b ) lim z → 0 z − α = lim z → ∞ z α = ∞ ( R e α > 0 ) ; {b )}
\lim_{z\to 0} z^{-\alpha} =\lim_{z\to \infty} z^{\alpha} =\infty
\qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0) \;;
b ) z → 0 lim z − α = z → ∞ lim z α = ∞ ( R e α > 0 ) ;
c ) lim z → 0 ln z = lim z → ∞ ln z = ∞ . {c )}
\lim_{z\to 0} \ln z =\lim_{z\to\infty} \ln z =\infty \;.
c ) z → 0 lim ln z = z → ∞ lim ln z = ∞ .
< < << < <
∣ z a + i b ∣ = ∣ z ∣ a e − b arg z , |z^{a +i \,b}| =|z|^a \,e^{-b \,\arg z} \;,
∣ z a + i b ∣ = ∣ z ∣ a e − b arg z ,
из которого следует
∣ z ∣ a e − b π ≤ ∣ z a + i b ∣ ≤ ∣ z ∣ a e b π . |z|^a \,e^{-b \,\pi} \le |z^{a +i \,b}| \le |z|^a \,e^{b \,\pi} \;.
∣ z ∣ a e − b π ≤ ∣ z a + i b ∣ ≤ ∣ z ∣ a e b π .
В результате определение предела функции комплексной переменной> > >> > >
Пределы функций действительной переменной «Степенная функция, экспонента и логарифм для действительных аргументов» ):
lim x → + ∞ x e − x = 0 , \lim_{x\to +\infty} x \,e^{-x} =0 \;,
x → + ∞ lim x e − x = 0 ,
lim x → + ∞ x − 1 ln x = lim x → 0 x ln x = 0 . \lim_{x\to +\infty} x^{-1} \,\ln x
=\lim_{x\to 0} x \,\ln x =0 \;.
x → + ∞ lim x − 1 ln x = x → 0 lim x ln x = 0 .
С помощью данных формул можно также получить более общие равенства:
lim x → ∞ x a e − b x = 0 ( a > 0 ; b > 0 ) ; \lim_{x\to \infty} x^a \,e^{-b \,x} = 0
\qquad (a>0;\; b>0);
x → ∞ lim x a e − b x = 0 ( a > 0 ; b > 0 ) ;
lim x → ∞ x − a ln x = 0 ( a > 0 ) . \lim_{x\to \infty} x^{-a} \,\ln x = 0
\qquad (a>0).
x → ∞ lim x − a ln x = 0 ( a > 0 ) .
Данные равенства означают, что экспонента растет быстрее, а логарифм – медленнее, чем степень с любым положительным показателем.
lim z → 0 1 z ( e α z − 1 ) = α , \lim_{z\to 0} \frac{1}{z} \,\bigl(e^{\alpha \,z} -1\bigr) =\alpha \;,
z → 0 lim z 1 ( e α z − 1 ) = α ,
lim z → 0 1 z ln ( 1 + α z ) = α , \lim_{z\to 0} \frac{1}{z} \,\ln(1 +\alpha \,z) =\alpha \;,
z → 0 lim z 1 ln ( 1 + α z ) = α ,
lim z → 0 ( 1 + z ) α − 1 z = α . \lim_{z\to 0} \frac{(1 +z)^{\alpha} -1}{z} =\alpha \;.
z → 0 lim z ( 1 + z ) α − 1 = α .
Данные пределы следуют из формул разложения экспоненты, логрифма и степенной функции в степенные ряды.
Из второй приведенной здесь формулы также следует:
lim z → ∞ ( 1 + α / z ) z = e α . \lim_{z\to \infty} \bigl(1 +\alpha/z\bigr)^z =e^{\alpha} \;.
z → ∞ lim ( 1 + α / z ) z = e α .
В настоящем пункте рассматриваются функции действительных переменных.
Константа e e e
e = lim x → + ∞ ( 1 + 1 / x ) x e =\lim_{x\to +\infty} (1 +1/x)^x
e = x → + ∞ lim ( 1 + 1 / x ) x
(см. статью «Важнейшие трансцендентные математические константы») – это так называемый второй замечательный предел .
Данная формула часто позволяет определять пределы функций, содержащих степени, без помощи правила Лопиталя.
Требуется доказать, что
lim x → + ∞ ( 1 − 1 / x ) x = e − 1 . \lim_{x\to +\infty} (1 -1/x)^x =e^{-1} \;.
x → + ∞ lim ( 1 − 1 / x ) x = e − 1 .
Данная формула выводится следующим образом:
lim x → + ∞ ( ( 1 − 1 / x ) x ( 1 + 1 / x ) x ) = lim x → + ∞ ( ( 1 − 1 / x 2 ) x \lim_{x\to +\infty} \bigl((1 -1/x)^x \,(1 +1/x)^x\bigr)
=\lim_{x\to +\infty} \bigl((1 -1/x^2)^x
x → + ∞ lim ( ( 1 − 1 / x ) x ( 1 + 1 / x ) x ) = x → + ∞ lim ( ( 1 − 1 / x 2 ) x
= lim x → + ∞ ( ( ( 1 − 1 / x 2 ) x 2 ) 1 / x = lim x → + ∞ e 1 / x = e 0 = 1 , =\lim_{x\to +\infty} \Bigl(\bigl((1 -1/x^2)^{x^2}\Bigr)^{1/x}
=\lim_{x\to +\infty} e^{1/x} =e^0 =1 \;,
= x → + ∞ lim ( ( ( 1 − 1 / x 2 ) x 2 ) 1 / x = x → + ∞ lim e 1 / x = e 0 = 1 ,
откуда следует необхоимый результат.
Требуется доказать, что (см. последнюю формулу пункта 3)
lim x → + ∞ ( 1 + a / x ) x = e a \lim_{x\to +\infty} (1 +a/x)^x =e^a
x → + ∞ lim ( 1 + a / x ) x = e a
(a = c o n s t a =\mathrm{const} a = c o n s t
Данная формула выводится следующим образом.
Пусть a > 0 a>0 a > 0 a < 0 a<0 a < 0 a = 0 a=0 a = 0 y = x / a y =x/a y = x / a
lim x → + ∞ ( 1 + a / x ) x = lim y → + ∞ ( 1 + 1 / y ) a y = lim y → + ∞ ( ( 1 + 1 / y ) y ) a = e a . \lim_{x\to +\infty} (1 +a/x)^x
=\lim_{y\to +\infty} (1 +1/y)^{a \,y}
=\lim_{y\to +\infty} \bigl((1 +1/y)^y\bigr)^a
=e^a \;.
x → + ∞ lim ( 1 + a / x ) x = y → + ∞ lim ( 1 + 1 / y ) a y = y → + ∞ lim ( ( 1 + 1 / y ) y ) a = e a .
Требуется доказать, что
lim x → ± ∞ ( x + a x + b ) p x + q = e p ( a − b ) \lim_{x\to \pm \infty} \left(\frac{x +a}{x +b}\right)^{p \,x +q} =e^{p \,(a-b)}
x → ± ∞ lim ( x + b x + a ) p x + q = e p ( a − b )
(a a a b b b p p p q = c o n s t q =\mathrm{const} q = c o n s t p ≠ 0 p\ne 0 p = 0
Данная формула выводится следующим образом:
y = x + a x + b − 1 , y =\frac{x +a}{x +b} -1 \;,
y = x + b x + a − 1 ,
тогда
x = a − b y − b x =\frac{a-b}{y} -b
x = y a − b − b
и
lim x → + ∞ ( x + a x + b ) p x + q = lim y → 0 ( 1 + y ) p ( a − b ) / y + q − p b \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{x +a}{x +b}\right)^{p \,x +q}
=\lim_{y\to 0} (1 +y)^{p \,(a-b)/y +q -p \,b}
x → + ∞ lim ( x + b x + a ) p x + q = y → 0 lim ( 1 + y ) p ( a − b ) / y + q − p b
= lim y → 0 ( ( 1 + y ) 1 / y ) p ( a − b ) + q − p b y = e p ( a − b ) . =\lim_{y\to 0} \bigl((1 +y)^{1/y}\bigr)^{p \,(a-b) +q -p \,b \,y}
=e^{p \,(a-b)} \;.
= y → 0 lim ( ( 1 + y ) 1 / y ) p ( a − b ) + q − p b y = e p ( a − b ) .
Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!
Комментарии