Степенная функция, экспонента и логарифм для действительных аргументов

В настоящей статье степенная функция, экспонента и логарифм рассматриваются как функции действительных переменных.

Определения рассматриваемых функций см. в статье «Степенная функция, экспонента и логарифм».

Степенная функция действительного аргумента

Если $a$ – действительный параметр, не являющийся целым числом, то считается, что областью определения $X$ функции $F(x) =x^a$ (рассматриваемой как функция действительной переменной) является интервал

$\begin{cases} [0, +\infty) & \ {при } \ a>0 \;,\\ (0, +\infty) & \ {при } \ a<0 \;. \end{cases}$

Для любого действительного значения $a$ функция $F(x) =x^a$ преобразует интервал $(0, +\infty)$ в себя.

При этом, если $a>0$, то функция $F(x)$ является сторого возрастающей,
так что

$\lim_{x\to 0} x^a =0 \;,\qquad \lim_{x\to +\infty} x^a =+\infty \qquad (a>0) \;;$

если $a<0$, то функция $F(x)$ является сторого убывающей,
так что

$\lim_{x\to 0} x^a =+\infty \;,\qquad \lim_{x\to +\infty} x^a =0 \qquad (a<0) \;.$

На рисунке 1 a) и b) приведены графики функций $y=x^a$ при различных значениях параметра $a$. В случае отрицательных значений $a$ асимптотами графиков служат оси координат.

Рис. 1. Графики функции $y=x^a$ при различных значениях $a$:

a) (положительные значения $a$)

$\begin{array}{llll} a=1/8 & (1), & a=2 & (4), \\ a=1/3 & (2), & a=3 & (5), \\ a=1/2 & (3), & a=8 & (6). \end{array}$

&

b) (отрицательные значения $a$)

$\begin{array}{llllllll} a=-1/8 & (1), & a=-2 & (5), \\ a=-1/3 & (2), & a=-3 & (6), \\ a=-1/2 & (3), & a=-8 & (7). \\ a=-1 & (4), & & \end{array}$

Рис. 2. Графики функции $y=e^{a x}$ при различных значениях $a$:

$\begin{array}{llll} a=-2 & (1), & a=1/2 & (4), \\ a=-1 & (2), & a=1 & (5), \\ a=-1/2 & (3), & a=2 & (6). \end{array}$

Рис. 3. Графики функции $y =a \,\ln x$ при различных значениях $a$:

$\begin{array}{llllllll} a=-2 & (1), & a=1/2 & (4), \\ a=-1 & (2), & a=1 & (5), \\ a=-1/2 & (3), & a=2 & (6). \end{array}$

Показательная функция действительного аргумента

Функция $f(x)=e^{a \,x}$ преобразует множество действительных чисел $(-\infty, +\infty)$ в множество действительных положительных чисел (т.е. в интервал $(0,+\infty)$). При этом, если $a>0$, то функция $f(x)$ является сторого возрастающей,
так что

$\lim_{x\to -\infty} e^{a \,x} =0 \;,\qquad \lim_{x\to +\infty} e^{a \,x} =+\infty \qquad (a>0) \;;$

если $a<0$, то функция $f(x)$ является сторого убывающей,
так что

$\lim_{x\to -\infty} e^{a \,x} =+\infty \;,\qquad \lim_{x\to +\infty} e^{a \,x} =0 \qquad (a<0) \;.$

На рисунке 2 приведены графики функции $y =e^{a \,x}$ при различных значениях параметра $a$.

Графики проходят через точку $[0,1]$ и имеют общую асимптоту, совпадающую с осью $Ox$.

Логарифм действительного аргумента

Считается, что областью определения функции $f(x) =\ln x$ (рассматриваемой как функция действительной переменной) является интервал $(0, +\infty)$; данная функция преобразует данный интервал в множество действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

При этом функция $\ln x$ является сторого возрастающей, так что

$\lim_{x\to 0} \ln x =-\infty \;,\qquad \lim_{x\to\infty} \ln x =+\infty \;.$

На рисунке 3 приведены графики функции $y=a \,\ln x$ при различных значениях параметра $a$.

Графики проходят через точку $[1,0]$ и имеют общую асимптоту, совпадающую с осью $Oy$.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!