Степенная функция, экспонента и логарифм

Степенная функция, экспонента и логарифм – это простейшие элементарные трансцендентные функции, через которые выражаются другие функции данной
категории – гиперболические и тригонометрический функции, обратные гиперболические и обратные тригонометрический функции.

В настоящей статье, если специально не оговорено противное, степенная функция, экспонента и логарифм рассматриваются как функции комплексных переменных.

Степень $z^{\alpha}$ с произвольным действительным или комплексным показателем является обобщением степени с натуральным показателем $n$, которая определяется простой формулой

$z^n =\prod_{k=1}^{n} z \;.$

Экспонента $\exp z\equiv e^z$ представляет собой степень числа $e$ (см. статью «Важнейшие иррациональные и трансцендентные математические константы»), а логарифм $\ln z$ представляет собой функцию, обратную сужению функции $\exp z$ %на полосу $Z$, которая задается неравенствами $-\pi < \mathrm{Im}\, z \le \pi$ на некоторую область комплексной плоскости.

Для действительных значений аргументов функция $\ln x$ – это просто обратная функция по отношению к $\exp x$.

Степенная функция

Степенная функция (или степень) $F(z) = z^{\alpha}$ с показателем $\alpha$ может быть определена как решение дифференциального уравнения

$z\cdot \frac{d}{d z} \,F(z) =\alpha \cdot F(z)$

с начальным условием $F(1)=1$ или соотношением $z^{\alpha} =\exp\bigl(\alpha\cdot \ln(z)\bigr)$.

Данная функция аналитична в области, равной разности открытой комплексной плоскости и отрицательной действительной оси. Для действительных отрицательных значений $z=x$ данная функция определяется следующим образом:

$x^{\alpha} =\lim_{\varepsilon\to 0} (x +i \,\varepsilon)^{\alpha} \qquad (x<0 \;,\; \varepsilon>0).$

Если число $\alpha =a$ – действительно, то множество значений $\{w\}$ рассматриваемой функции охватывает все точки комплексной плоскости, для которых

$-a \,\pi < \arg w \le a \,\pi \;.$

Функциональная зависимость вида $\alpha \,z^{\gamma}$, где $\alpha$, $\gamma =\mathrm{const}$, называется геометрической зависимостью.

Решение уравнения, содержащего степенную функцию

Если число $\tau$ принадлежит множеству значений функции $z^{\alpha}$, то множество нулей функции $\varphi(z) =z^{\alpha} -\tau$ совпадает с множеством элементов последовательности $[z_k]$, где

$z_k =\tau^{1/\alpha}\cdot e^{i \,2\pi \,k/\alpha} \;;$

если $\alpha =m/n$ – рациональное число ($m$ и $n$ – взаимно простые числа), то число $k$ принимает значения из диапазона $0,...,|m|$, в противном
случае $k$ – любое целое число.

При $\tau \ne 0$ каждый нуль функции $\varphi(z)$ является простым.

Экспонента

Экспонента $\exp z\equiv e^z$ может быть определена как решение дифференциального уравнения $\frac{d}{d z} \,\exp z =\exp z$ с начальным условием $\exp 0=1$ или как сумма степенного ряда (см. статью «Разложение степенной функции, экспоненты и логарифма в степенные ряды»).

Данная функция аналитична в открытой комплексной плоскости. Она является периодической с периодом $2\pi \,i$. Множество значений данной функции охватывает всю открытую комплексную плоскость, кроме точки $w=0$.

При $\tau \ne 0$ функция $\varphi(z)=e^z -\tau$ имеет бесконечную последовательность простых нулей $[z_k]$, элементы которой равны

$z_k = \ln \tau + i\,2\pi \,k \qquad (k=0, \pm 1,\pm 2,...).$

Функция $\exp(\beta z)$, где $\beta =\mathrm{const}$, называется показательной функцией; в частности, к данному классу относится функция $w=\lambda^z$.
Функциональная зависимость вида $\alpha \,e^{\beta z}$, где $\alpha$, $\beta =\mathrm{const}$ называется экспоненциальной зависимостью.

Последовательность $[\lambda_j]_0^n$ называется геометрической прогрессией, если зависимость $\lambda_j$ от $j$ является экспоненциальной, т.е. $\lambda_j =\lambda_0 \,\eta^j$ ($\eta =\mathrm{const}$; \ $j=0,1,...n$); при этом коэффициент $\eta$ называется знаменателем прогрессии.

Легко доказать, что последовательность $[\lambda_j]_0^n$ является геометрической прогрессией в том и только том случае, когда отношение каждого
ее элемента, начиная с первого, к предыдущему равно некоторой постоянной $\eta$:

$\lambda_j =\lambda_{j-1}\cdot \eta \qquad (j=1,2,...n);$

при этом параметр $\eta$ является знаменателем данной прогрессии.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция (логарифм) $\ln z$ может быть определена одним из следующих способов:
a) как решение дифференциального уравнения $(d /d z) \,\ln z =1/z$ с начальным условием $\ln 1=0$;
b) как сумма степенного ряда (см. статью «Разложение степенной функции, экспоненты и логарифма в степенные ряды»)
и как аналитическое продолжение суммы данного ряда вне его круга сходимости;
c) как функция, обратная экспоненте.
c) как функция, обратная сужению функции $\exp z$ на множество $W$, о котором говорится ниже.

Функция $\ln z$ определена и аналитична в области $Z$, равной разности открытой комплексной плоскости и отрицательной действительной оси.
Для действительных отрицательных значений $z=x$ данная функция определяется следующим образом:

$\ln x =\lim_{\varepsilon\to 0} \ln(x +i \,\varepsilon) \qquad (x<0 \;,\; \varepsilon>0).$

Множество значений $W =\{w\}$ функции $\ln z$ охватывает все точки комплексной плоскости, для которых $-\pi < \mathrm{Im}\, w \le \pi$.

Если число $\tau$ принадлежит множеству $W$, то функция $\varphi(z) =\ln z -\tau$ имеет один нуль $z_0 =e^{\tau}$ порядка $1$.

Связь с гипергеометрическими функциями

$e^z ={}_0 F_0(z) \;,\qquad (1-z)^{\alpha} ={}_1 F_0(-\alpha,\, z) \;,$

$\ln(1-z) =-z\cdot {}_2 F_1(1,\, 1;\, 2;\, z) \;.$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!