Разложение степенной функции, экспоненты и логарифма в степенные ряды

В настоящей статье приведены формулы разложения в степенные ряды степенной функции, экспоненты, логарифма, а также некоторых комбинаций данных функций.

В статье используются следующие обозначения:

$j$, $k$, $r$, $l$, $m$, $n$, $M$, $N$
– целочисленные переменные;

$x$, $y$, $t$,
$a$, $b$, $c$, $d$, $h$, $p$, $q$, $s$, $A$, $B$, $C$, $D$, $H$, $\omega$, $\varphi$, $\psi$
– действительные переменные;

$z$, $\xi$, $w$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\varkappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\varrho$,
$\sigma$, $\tau$, $\zeta$
– комплексные переменные;

$C_j^k \equiv \bigl({}_k^j\bigr)$ – биноминальные коэффициенты;
$(-1)^{r-k}\cdot s_r^{(k)}$ – числа Стирлинга первого рода
(множитель $(-1)^{r-k}$ здесь используется для того, чтобы все числа $s_r^{(k)}$ были неотрицательны);
$\sigma_r^k$ – числа Стирлинга второго рода;
$B_k(z)$ – полиномы Бернулли;
$E_k(z)$ – полиномы Эйлера;

$\mathcal{F}_k (z)\equiv \prod_{j=0}^{k-1}(z+j) \;,\qquad \widetilde{\mathcal{F}}_k (z)\equiv (-1)^k \cdot \mathcal{F}_k(-z) =\prod_{j=0}^{k-1}(z-j)$

– функция Похгамера степени $k$ и модифицированная функция Похгамера степени $k$.

Разложение в ряд степенной функции

Пусть $|z|<1$.

a) Основные формулы

$(1+z)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ \widetilde{\mathcal{F}}_k(\alpha) }{k!}\cdot z^k$

$= 1 +\alpha\cdot z +\frac{ \alpha(\alpha-1) }{2!}\cdot z^2 +\frac{ \alpha(\alpha-1)(\alpha-2) }{3!}\cdot z^3 +... \;,$

$(1-z)^{-\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ \mathcal{F}_k(\alpha) }{k!}\cdot z^k$

$= 1 +\alpha\cdot z +\frac{ \alpha(\alpha+1) }{2!}\cdot z^2 +\frac{ \alpha(\alpha+1)(\alpha+2) }{3!}\cdot z^3 +... \;.$

b) Случаи целого отрицательного показателя

$(1+z)^{-N-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\cdot C_{N+k}^k \cdot z^k \qquad (N=0,1,2,...) \;,$

$(1-z)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k =1 +z +z^2 +z^3 +... \;.$

Разложение в ряд степенной функции для некоторых конкретных значений показателя степени

$(1+z)^{1/2} = 1 +(1/2)\cdot z -(1/8)\cdot z^2 +(1/16)\cdot z^3 -(5/128)\cdot z^4 +... \;,$

$(1+z)^{-1/2} = 1 -(1/2)\cdot z +(3/8)\cdot z^2 -(5/16)\cdot z^3 +(35/128)\cdot z^4 -... \;,$

$(1+z)^{3/2} = 1 +(3/2)\cdot z +(3/8)\cdot z^2 -(1/16)\cdot z^3 +(3/128)\cdot z^4 -... \;,$

$(1+z)^{-3/2} = 1 -(3/2)\cdot z +(15/8)\cdot z^2 -(35/16)\cdot z^3 +(315/128)\cdot z^4 -... \;,$

$(1+z)^{5/2} = 1 +(5/2)\cdot z +(15/8)\cdot z^2 +(5/16)\cdot z^3 -(5/128)\cdot z^4 +... \;,$

$(1+z)^{-5/2} = 1 -(5/2)\cdot z +(35/8)\cdot z^2 -(105/16)\cdot z^3 +(1155/128)\cdot z^4 -... \;,$

$(1+z)^{1/3} = 1 +(1/3)\cdot z -(1/9)\cdot z^2 +(5/81)\cdot z^3 -(10/243)\cdot z^4 +... \;,$

$(1+z)^{-1/3} = 1 -(1/3)\cdot z +(2/9)\cdot z^2 -(14/81)\cdot z^3 +(35/243)\cdot z^4 -... \;,$

$(1+z)^{2/3} = 1 +(2/3)\cdot z -(1/9)\cdot z^2 +(4/81)\cdot z^3 -(7/243)\cdot z^4 +... \;,$

$(1+z)^{-2/3} = 1 -(2/3)\cdot z +(5/9)\cdot z^2 -(40/81)\cdot z^3 +(110/243)\cdot z^4 -... \;,$

$(1+z)^{1/4} = 1 +(1/4)\cdot z -(3/32)\cdot z^2 +(7/128)\cdot z^3 -(77/2048)\cdot z^4 +... \;,$

$(1+z)^{-1/4} = 1 -(1/4)\cdot z +(5/32)\cdot z^2 -(5/128)\cdot z^3 +(195/2048)\cdot z^4 -... \;.$

Разложение в ряды экспоненты и логарифма

${a) } e^z = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!} =1 +z +\frac{z^2}{2!} +\frac{z^3}{3!} +...$

$\qquad \qquad (|z|<\infty) \;;$

${b) } \ln(1+z) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{k-1} }{k}\cdot z^k =z -\frac{1}{2}\cdot z^2 +\frac{1}{3}\cdot z^3 -\frac{1}{4}\cdot z^4 +...$

$\qquad \qquad (|z|<1) \;;$

${c) } \ln(1-z) = \sum_{k=1}^{\infty} -\frac{1}{k}\cdot z^k =-\left(z +\frac{1}{2}\cdot z^2 +\frac{1}{3}\cdot z^3 +\frac{1}{4}\cdot z^4 +...\right)$

$\qquad \qquad (|z|<1) \;.$

Разложения в ряды некоторых функций, выражающихся через степенную функцию, экспоненту и логарифм

a) Производящая функция для чисел Стирлинга второго рода при $|z|<\infty$

$\bigl(e^z -1\bigr)^m =m! \,\sum_{k=0}^{\infty} \sigma_{m+k}^m \cdot \frac{ z^{m+k} }{ (m+k)! }$

($\sigma_n^k$ – числа Стирлинга второго рода).

b) Производящая функция для чисел Стирлинга первого рода при $|z|<1$

$\bigl(\ln(1+z)\bigr)^m =m! \,\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \,s_{m+k}^m \cdot \frac{ z^{m+k} }{ (m+k)! }$

($(-1)^{n-k}\cdot s_n^k$ – числа Стирлинга первого рода).

c) Производящая функция для полиномов Бернулли

$\xi \,e^{z \,\xi}\cdot(e^{\xi} -1)^{-1} =\sum_{k=0}^{\infty} B_k(z)\cdot \xi^k /k! \qquad (|\xi|< 2\pi) \;.$

d) Производящая функция для полиномов Эйлера

$2 \,e^{z \,\xi}\cdot(e^{\xi} +1)^{-1} =\sum_{k=0}^{\infty} E_k(z)\cdot \xi^k/k! \qquad (|\xi|< \pi) \;.$

Использование ортогональных полиномов

${a) } (1 -2 \,x \,z +z^2)^{-1/2} =\sum_{k=0}^{\infty} P_k (x)\cdot z^k \qquad (-1<x<1 \;,\; |z|<1) \;,$

${b) } (1 -2 \,x \,z +z^2)^{-1/2} =\sum_{k=0}^{\infty} P_k (x)\cdot z^{-k-1} \qquad (-1<x<1 \;,\; |z|>1) \;,$

${c) } \frac{1 -x \,z}{1 -2 \,x \,z +z^2} =\sum_{k=0}^{\infty} T_k (x)\cdot z^k \qquad (-1<x<1 \;,\; |z|<1) \;,$

${d) } \frac{1}{2} \,\ln(1 -2 \,x \,z +z^2) =-\sum_{k=1}^{\infty} T_k(x)\cdot z^k /k \qquad (-1<x<1 \;,\; |z|<1) \;,$

${e) } (1 -2 \,x \,z +z^2)^{-1} =\frac{1}{z} \,\sum_{k=0}^{\infty} T'_k (x) \cdot z^k /k \qquad (-1<x<1 \;,\; |z|<1) \;,$

${f) } \exp(2 \,x \,z -z^2) =\sum_{k=0}^{\infty} H_k (x)\cdot z^k /k! \qquad (|z|<\infty) \;,$

${g) } (1-z)^{-\alpha -1}\cdot \exp\left(-\frac{x \,z}{1-z}\right) =\sum_{k=0}^{\infty} L_k^{\alpha}(x)\cdot z^k \qquad (x>0 \;,\; |z|<1) \;.$

Здесь $P_k(\xi)$ – полиномы Лежандра;
$T_k(\xi)$ и $T'_k(\xi)$ – полиномы Чебышева и их производные;
$H_k(\xi)$ – полиномы Эрмита; $L_k^{\alpha}(\xi)$ – полиномы Лагерра.

Оценка остатков разложения функций в степенные ряд

a) Для любого конечного $z$

$(1-z)^a =\sum_{k=1}^{N-1} \frac{\widetilde{\mathcal{F}}_k(a)}{k!}\cdot z^k +\varrho_N (z)\cdot \frac{\widetilde{\mathcal{F}}_N(a)}{N!}\cdot z^N \;,$

где

$\varrho(z) ={}_2 F_1(1,\, N-a;\, N+1;\, z) \;.$

При $N-a>0$ и $b \,|z| <1$, где

$b =\max\left\{1,\; \frac{N-a}{N+1}\right\} \;,$

имеет место

$|\varrho_N (z)|< \bigl(1 -b \,|z|\bigr)^{-1} \;.$

b) Для любого конечного $z$

$\ln(1-z) =-\sum_{k=1}^{N-1} \frac{z^k}{k} -\varrho_N(z)\cdot \frac{z^N}{N} \;,$

где

$\varrho(z) ={}_2 F_1(1,\, N+1;\, N+2;\, z) \;.$

При $|z|<1$ имеет место

$|\varrho_N (z)|< \bigl(1-|z|\bigr)^{-1} \;.$

c) Для любого конечного $z$

$e^z =\sum_{k=0}^{N-1} \frac{z^k}{k!} +\varrho_N(z)\cdot \frac{z^N}{N!} \;,$

где

$\varrho(z) ={}_1 F_1 (1,\,N+1,\,z) \;.$

При $|z|< N+1$ имеет место

$|\varrho_N(z)|< \left(1-\frac{|z|}{N+1}\right)^{-1} \;.$

Замечания, касающиеся вычисления значений экспоненты с помощью рядов

При вычислении функции $e^x$ в случае больших по модулю значений $x$ можно воспользоваться формулами

${a) } e^x =e^{x'}\cdot 10^m \;,$

где $m$ – целая часть числа $1/2+x/\ln 10$; $x'=x-m\cdot \ln 10$.

При этом

$-(1/2)\cdot \ln 10\le x' <(1/2)\cdot \ln 10 \;;$

${b) } e^x =e^{x''}\cdot 2^M \;,$

где $M$ – целая часть числа $1/2+x/\ln 2$; $x''=x-M\cdot \ln 2$.

При этом

$-(1/2)\cdot \ln 2\le x'' <(1/2)\cdot \ln 2 \;.$

Замечания, касающиеся вычисления значений логарифма с помощью рядов

При вычислении функции $\ln x$ можно воспользоваться формулами

${a) } \ln x =\ln\bigl(x'\cdot 10^m\bigr) = \ln x' + m\cdot \ln 10 \;,$

где $m$ – целое число, выбранное таким образом, чтобы выполнялось условие

$1/\sqrt{10} < x' \le \sqrt{10} \;;$

${b) } \ln x =\ln\bigl(x''\cdot 2^M\bigr) =\ln x'' + M\cdot \ln 2 \;,$

где $M$ – целое число, для которого выполняется условие

$1/\sqrt{2} < x'' \le \sqrt{2} \;;$

${c) } \ln x =2 \,\mathrm{arctanh}\, \xi \;,$

где $\xi \equiv (x-1)/(x+1)$; при

$1/\sqrt{2}\le x'' \le \sqrt{2}$ имеет место

$|\xi| \le 3 -2\sqrt{2} < 1/5 \;.$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!