Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции

Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции – $\mathrm{arctanh}\, z$, $\mathrm{arcsinh}\, z$, $\mathrm{arccosh}\, z$,
$\arctan z$, $\arcsin z$, $\arccos z$ проще всего определить с помощью соотношений между этими функциями и логарифмической функцией (см. пп. 1 и 2).

Соотношения между функциями ln, arctanh и arctan

Основные формулы:

$\mathrm{arctanh}\, z =\frac{1}{2} \,\bigl(\ln(1+z) -\ln(1-z)\bigr) \;,$

$\arctan z =\frac{1}{2 \,i} \,\bigl(\ln(1 +i \,z) -\ln(1 -i \,z)\bigr) \;.$

Следствия из основных формул:

$\ln z =2 \,\mathrm{arctanh}\,\left(\frac{-1+z}{1+z}\right) =2 \,i \,\arctan\left(i\cdot \frac{1-z}{1+z}\right) \qquad (z \not\in (-\infty, -1)) \;,$

$\mathrm{arctanh}\, z =\frac{1}{2} \,\ln\left(\frac{1+z}{1-z}\right) \qquad (z \not\in (1, +\infty)) \;,$

$\arctan z =\frac{1}{2 \,i} \,\ln\left(\frac{1 +i \,z}{1 -i \,z}\right) \qquad (-i \,z \not\in (1, +\infty)) \;,$

$i \,\mathrm{arctanh}\, z =\arctan(i \,z) \;,\qquad i \,\arctan z =\mathrm{arctanh}\,(i \,z) \;.$

Соотношения между другими обратными гиперболическими, обратными тригонометрическими и логарифмической функциями

Основные формулы:

$\mathrm{arcsinh}\, z =\ln\bigl(z +\sqrt{z^2 +1}\bigr) \;;$

$\mathrm{arccosh}\, z =\ln\bigl(z +\sqrt{z -1} \,\sqrt{z +1}\bigr) \;;$

$\arcsin z =-i \,\ln\bigl(i \,z +\sqrt{1 -z^2}\bigr) \;;$

$\arccos z =-i \,\ln\bigl(z +i \,\sqrt{1 -z^2}\bigr) \;.$

Следствия из основных формул:

$\mathrm{arccosh}\, z =-\ln\bigl(z -\sqrt{z -1} \,\sqrt{z +1}\bigr) \qquad (z \not\in (-\infty, -1)) \;;$

$\mathrm{arccosh}\, z =\ln\bigl(z +J \,\sqrt{z^2 -1}\bigr) \;;$

$\mathrm{arccosh}\, z =-\ln\bigl(z -J \,\sqrt{z^2 -1}\bigr) \qquad (z \not\in (-\infty, -1)) \;;$

$\arccos z =i \,\ln\bigl(z -i \,\sqrt{1 -z^2}\bigr) \qquad (z \not\in (-\infty, -1]) \;.$

Здесь

$J = \begin{cases} \;1 & \ {при } -2\pi/4 < \arg z \le 2\pi/4 \;,\\ -1 & \ {при } -2\pi/4 < \arg(-z) \le 2\pi/4 \;; \end{cases}$

$= \begin{cases} \mathrm{sign}\, \mathrm{Re}\, z & \ {при } \mathrm{Re}\, z \ne 0 \;,\\ \mathrm{sign}\, \mathrm{Im}\, z & \ {при } \mathrm{Re}\, z =0 \;. \end{cases}$

Соотношения между обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

$i \,\arcsin z =\mathrm{arcsinh}\, (i \,z) \;, \qquad i \,\mathrm{arcsinh}\, z =\arcsin (i \,z) \;,$

$\arccos z =L \,i \,\mathrm{arccosh}\, z \;, \qquad \mathrm{arccosh}\, z =-L \,i \,\arccos z \;,$

где

$L = \begin{cases} \;1 & \ {при } 0 < \arg(1-z) \le \pi \;,\\ -1 & \ {при } -\pi < \arg(1-z) \le 0 \end{cases}$

$= \begin{cases} -\mathrm{sign}\, \mathrm{Im}\, z & \ {при } \mathrm{Im}\, z \ne 0 \;,\\ \mathrm{sign}\, (z-1) & \ {при } \mathrm{Im}\, z =0 \;. \end{cases}$

Выражение логарифма через обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции

$\ln z =\mathrm{arcsinh}\, \left(\frac{1}{2} \,\Bigl(z -\frac{1}{z}\Bigr)\right) \qquad (\mathrm{Re}\, z >0) \;,$

$\ln z =-\mathrm{arcsinh}\, \left(\frac{1}{2} \,\Bigl(z -\frac{1}{z}\Bigr)\right) +i \,\pi \cdot \mathrm{sign}\,(\mathrm{Im}\, z) \qquad (\mathrm{Re}\, z <0 \;,\; \mathrm{Im}\, z \ne 0) \;,$

$\ln z =\mathrm{arccosh}\, \left(\frac{1}{2} \,\Bigl(z +\frac{1}{z}\Bigr)\right) \qquad (|z| >1) \;,$

$\ln z =-\mathrm{arccosh}\, \left(\frac{1}{2} \,\Bigl(z +\frac{1}{z}\Bigr)\right) \qquad (|z| <1) \;,$

$\ln z =i \,\mathrm{sign}\,(\mathrm{Im}\, z)\cdot \arccos \left(\frac{1}{2} \,\Bigl(z +\frac{1}{z}\Bigr)\right) \qquad (\mathrm{Im}\, z \ne 0) \;.$

Указания для вывода некоторых из приведенных здесь формул, а также для определения гарниц областей значений рассматриваемых здесь функций, см. в приложении A.

Связь с гипергеометрическими функциями

Предствления ареатангенса и арктангенса:

$\mathrm{arctanh}\, z =z\cdot {}_2 F_1(1/2,\, 1;\, 3/2;\, z^2) \;,$

$\arctan z =z\cdot {}_2 F_1(1/2,\, 1;\, 3/2;\, -z^2) \;.$

Предствления других функций:

$\arcsin z =z \,G(z^2) \;,$

$\arccos(1 -z) =\sqrt{2 \,z}\cdot G(z/2) \;,$

$\mathrm{arcsinh}\, z =z \,G(-z^2) \;,$

$\mathrm{arccosh}\, (1 +z) =\sqrt{2 \,z}\cdot G(-z/2) \;,$

где

$G(z) = {}_2 F_1 (1/2, 1/2; 3/2; z) \;.$

Приложение A. Вывод формул и доказательства теорем

Здесь будут приведены указания для вывода формул п. 2, а также для определения границ областей значений функций $\mathrm{arcsinh}\, z$, $\mathrm{arccosh}\, z$, $\arcsin z$ и $\arccos z$.

Для любого комплексного числа $z$ имеют место рвенства

$\sqrt{z -1} \,\sqrt{z +1} =J \,\sqrt{z^2 -1} =i \,K \,\sqrt{1 -z^2} \;,$

где

$J = \begin{cases} \;1 & \ {при } -\pi < \arg(z-1) +\arg(z+1) \le \pi \;,\\ -1 & \ {в противном случае}; \end{cases}$

$K = \begin{cases} \;1 & \ {при } 0 < \arg(z-1) +\arg(z+1) \le 2\pi \;,\\ -1 & \ {в противном случае}. \end{cases}$

Из определяющей формулы для функции $\mathrm{arccosh}\, z$ следует, что

$\mathrm{arccosh}\, z =\ln\bigl(z +J \,\sqrt{z^2 -1}\bigr) =\ln\bigl(z +i \,K \,\sqrt{1 -z^2}\bigr) \;.$

Можно показать, что система неравенств

$-\pi < \arg(z-1) +\arg(z+1) \le \pi$

равносильна системе неравенств

$-2\pi/4 < \arg z \le 2\pi/4 \;.$

Значит, здесь $J$ – это парамер, введенный в п. 2.

В результате мы получаем альтернативное выражение для функции $\mathrm{arccosh}\, z$ (являющееся следствием из основной формулы).

Аналогично можно показать, что при $\mathrm{Im}\, z \ne 0$ система неравенств

$0 < \arg(z-1) +\arg(z+1) \le 2\pi$

равносильна неравенству

$\mathrm{Im}\, z > 0 \;.$

Следовательно, в данном случае $-K =L$ – это парамер, введенный в п.~2
и

$\mathrm{arccosh}\, z =\ln\bigl(z -i \,L \,\sqrt{1 -z^2}\bigr) \;.$

В результате мы получаем (при $\mathrm{Im}\, z \ne 0$) формулу, связывающую функции $\mathrm{arccosh}\, z$ и $\arccos z$.

Случай, когда $\mathrm{Im}\, z =0$, должен быть рассмотрен отдельно.

При выводе различных соотношений между обратными гиперболическими, обратными тригонометрическими и логарифмической функциями могут быть использованы приведенные ниже соотношения.

Вспомогательные равенства:

$\bigl(z +\sqrt{z^2 -1}\bigr)\bigl(z -\sqrt{z^2 -1}\bigr) =1 \;,$

$\bigl(z +\sqrt{z^2 +1}\bigr)\bigl(-z +\sqrt{z^2 +1}\bigr) =1 \;,$

$\bigl(z +i \,\sqrt{1 -z^2}\bigr)\bigl(z -i \,\sqrt{1 -z^2}\bigr) =1 \;,$

$\bigl(i \,z +\sqrt{1 -z^2}\bigr)\bigl(-i \,z +\sqrt{1 -z^2}\bigr) =1 \;.$

Вспомогательные неравенства:

$\ {(A)} -2\pi/4 \le \arg\bigl(\pm z +\sqrt{z^2 +1}\bigr) \le 2\pi/4 \;,$

$\ {(B) } -2\pi/4 \le \arg\bigl(\pm i \,z +\sqrt{1 -z^2}\bigr) \le 2\pi/4 \;,$

$\ {(C) } 0 \le \pm \arg\bigl(z \pm i \,\sqrt{1 -z^2}\bigr) \le \pi \;,$

$\ {(D) } 0 \le \mp L \,\arg\bigl(z \pm \sqrt{z -1} \,\sqrt{z +1}\bigr) \le \pi \;.$

Кроме того,

при $-i \,z \not\in [1, +\infty)$

$\arg\bigl(z +\sqrt{z^2 +1}\bigr) < 2\pi/4 \;, \qquad \arg\bigl(-z +\sqrt{z^2 +1}\bigr) > -2\pi/4 \;;$

при $-i \,z \not\in (-\infty, -1]$

$\arg\bigl(z +\sqrt{z^2 +1}\bigr) > -2\pi/4 \;, \qquad \arg\bigl(-z +\sqrt{z^2 +1}\bigr) < 2\pi/4 \;;$

при $z \not\in [1, +\infty)$

$\arg\bigl(i \,z +\sqrt{1 -z^2}\bigr) < 2\pi/4 \;, \qquad \arg\bigl(-i \,z +\sqrt{1 -z^2}\bigr) > -2\pi/4 \;;$

при $z \not\in (-\infty, -1]$

$\arg\bigl(i \,z +\sqrt{1 -z^2}\bigr) > -2\pi/4 \;, \qquad \arg\bigl(-i \,z +\sqrt{1 -z^2}\bigr) < 2\pi/4 \;;$

при $z \not\in [1, +\infty)$

$\arg\bigl(z \pm i \,\sqrt{1 -z^2}\bigr) > 0 \;;$

при $z \not\in (-\infty, -1]$

$\arg\bigl(z \pm i \,\sqrt{1 -z^2}\bigr) < \pi \;;$

при $z \not\in [1, +\infty)$

$|\arg\bigl(z \pm \sqrt{z -1} \,\sqrt{z +1}\bigr)| > 0 \;;$

при $z \not\in (-\infty, -1]$

$|\arg\bigl(z \pm \sqrt{z -1} \,\sqrt{z +1}\bigr)| < \pi \;.$

Из данных неравенств следуют формулы, определяющие границы областей значений функций $\mathrm{arcsinh}\, z$, $\mathrm{arccosh}\, z$, $\arcsin z$ и $\arccos z$.

Система неравенств (A) и ее обобщения доказываются следующим образом:

Обозначим

$\xi =z +\sqrt{z^2 +1} \;.$

Решая уравнение $\xi =z +\sqrt{z^2 +1}$ относительно $z$, получаем

$z =\frac{1}{2} \,\Bigl(\xi -\frac{1}{\xi}\Bigr) \;;$

при этом должно быть

$\sqrt{(\xi +1/\xi)^2} =\xi +1/\xi \;,$

т.е.

$-2\pi/4 < \arg(\xi +1/\xi) \le 2\pi/4 \;.$

Можно показать, что

$\mathrm{Re}\,(\xi +1/\xi) =\bigl(1 +1/|\xi|^2\bigr) \cdot \mathrm{Re}\, \xi \;.$

Следовательно, система неравенств
$-2\pi/4 < \arg(\xi +1/\xi) < 2\pi/4$

(при этом $\mathrm{Re}\, \xi \ne 0$) равносисльна неравенству $\mathrm{Re}\, \xi >0$.

Случай, когда $\mathrm{Re}\, \xi =0$ необходимо рассмотреть отдельно.

Система неравенств (B) является следствием из системы неравенств (A).

Система неравенств $(C)$ и ее обобщения доказываются следующим образом:

Если

$\xi =z +i \,\sqrt{1 -z^2} \;,$

то

$z =\frac{1}{2} \,\Bigl(\xi +\frac{1}{\xi}\Bigr) \;;$

при этом должно быть

$i \,\sqrt{-(\xi -1/\xi)^2} =\xi -1/\xi \;,$

т.е.

$0 < \arg(\xi -1/\xi) \le \pi \;.$

Можно показать, что

$\mathrm{Im}\,(\xi -1/\xi) =\bigl(1 +1/|\xi|^2\bigr) \cdot \mathrm{Im}\, \xi \;.$

Следовательно, система неравенств
$0 < \arg(\xi -1/\xi) < \pi$
(при этом $\mathrm{Im}\, \xi \ne 0$) равносисльна неравенству $\mathrm{Im}\, \xi >0$.
Случай, когда $\mathrm{Im}\, \xi =0$ необходимо рассмотреть отдельно.

Система неравенств $(D)$ является следствием из системы неравенств $(C)$, с учетом уравнения

$z +i \,\sqrt{1 -z^2} =z -i \,L \,\sqrt{z -1} \,\sqrt{z +1} \qquad (\mathrm{Im}\, z \ne 0) \;.$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!