Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции комплексных переменных

Настоящая статья является продолжением статьи Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции

Ареатангенс комплексного аргумента

Функция $\mathrm{arctanh}\, z$ (\emph{ареатангенс}) определена и аналитична в области, равной разности открытой комплексной плоскостии двух интервалов
действительной оси $(-\infty,\,-1]$ и $[1,\,+\infty)$.

Множество значений $\{w\}$ данной функции охватывает все точки открытой комплексной плоскости, для которых либо

$-2\pi/4 < \mathrm{Im}\, w < 2\pi/4 \;,$

либо

$\mathrm{Im}\, z =-2\pi/4 \quad \ {и} \quad \mathrm{Re}\, z > 0 \;,$

либо

$\mathrm{Im}\, z =2\pi/4 \quad \ x{и} \quad \mathrm{Re}\, z < 0 \;.$

Функция $\mathrm{arctanh}\, z$ – нечетная.

Если число $\xi$ принадлежит множеству значений функции $\mathrm{arctanh}\, z$, то функция $\varphi(z)=\mathrm{arctanh}\, z -\xi$ имеет один нуль $z_0 =\tanh \xi$ порядка $1$.

Ареасинус и ареакосинус комплексного аргумента

Функция $\mathrm{arcsinh}\, z$ (\emph{ареасинус}) определена и аналитична в области, равной разности открытой комплексной плоскостии двух интервалов действительной оси $(-\infty,\,-1]$ и $[1,\,+\infty)$.

Значения $w$ данной функции удовлетворяют неравенствам

$-2\pi/4 \le \mathrm{Im}\,(\mathrm{arcsinh}\, z) \le 2\pi/4$.

Множество значений $\{w\}$ данной функции охватывает все точки открытой комплексной плоскости, для которых либо

$-2\pi/4 < \mathrm{Im}\, w < 2\pi/4 \;,$

либо

$\mathrm{Im}\, z =-2\pi/4 \quad \ {и} \quad \mathrm{Re}\, z \le 0 \;,$

либо

$\mathrm{Im}\, z =2\pi/4 \quad \ {и} \quad \mathrm{Re}\, z \ge 0 \;.$

Функция $\mathrm{arcsinh}\, z$ – нечетная.

Если число $\xi$ принадлежит множеству значений функции $\mathrm{arcsinh}\, z$, то функция $\varphi(z) =\mathrm{arcsinh}\, z -\xi$ имеет один нуль $z_0 =\sinh \xi$ порядка $1$.

Функция $\mathrm{arccosh}\, z$ (ареакосинус) определена и аналитична в области, равной разности открытой комплексной плоскостии интервала
действительной оси $(-\infty,\,-1]$.

Значения $w$ данной функции удовлетворяют неравенствам

$0 \le -L\cdot \mathrm{Im}\,(\mathrm{arccosh}\, z) \le \pi$,

где $L =\pm 1$ – параметр, введенный в п.~2 статьи

Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции

Множество значений $\{w\}$ данной функции охватывает все точки открытой комплексной плоскости, для которых либо

$\mathrm{Re}\, w > 0 \quad \ {и} \quad -\pi < \mathrm{Im}\, w \le \pi \;,$

либо

$\mathrm{Re}\, z =0 \quad \ {и} \quad 0 \le \mathrm{Im}\, z \le \pi \;.$

Если число $\xi$ принадлежит множеству значений функции $\mathrm{arccosh}\, z$, то функция $\varphi(z) =\mathrm{arccosh}\, z -\xi$ имеет один нуль $z_0 =\cosh \xi$ порядка $1$.

Арктангенс комплексного аргумента

Функция $\arctan z$ определена и аналитична в области, равной разности открытой комплексной плоскости и двух интервалов оси ординат $(-i\,\infty,\, -i]$ и $[i,\, +i\,\infty)$.

Множество значений $\{w\}$ данной функции охватывает все точки открытой комплексной плоскости, для которых либо

$-2\pi/4 < \mathrm{Re}\, w < 2\pi/4 \;,$

либо

$\mathrm{Re}\, z =-2\pi/4 \quad \ {и} \quad \mathrm{Im}\, z < 0 \;,$

либо

$\mathrm{Re}\, z =2\pi/4 \quad \ {и} \quad \mathrm{Im}\, z > 0 \;.$

Функция $\arctan z$ – нечетная.

Если число $\xi$ принадлежит множеству значений функции $\arctan z$, то функция $\varphi(z) =\arctan z -\xi$ имеет один нуль $z_0 =\tan \xi$ порядка $1$.

Арксинус и арккосинус комплексного аргумента

Функция $\arcsin z$ (\emph{арксинус}) определена и аналитична в области, равной разности открытой комплексной плоскостии двух лучей, точки которых
задаются соотношениями $-i \,z \in (-\infty,\,-1]$ и $-i \,z \in [1,\,+\infty)$.

Значения $w$ данной функции удовлетворяют неравенствам

$-2\pi/4 \le \mathrm{Re}\,(\arcsin z) \le 2\pi/4$.

Множество значений $\{w\}$ данной функции охватывает все точки открытой комплексной плоскости, для которых
либо

$-2\pi/4 < \mathrm{Re}\, w < 2\pi/4 \;,$

либо

$\mathrm{Re}\, z =-2\pi/4 \quad \ {и} \quad \mathrm{Im}\, z \ge 0 \;,$

либо

$\mathrm{Re}\, z =2\pi/4 \quad \ {и} \quad \mathrm{Im}\, z \le 0 \;.$

Функция $\arcsin z$ – нечетная.

Если число $\xi$ принадлежит множеству значений функции $\arcsin z$, то функция $\varphi(z) =\arcsin z -\xi$ имеет один нуль $z_0 =\sin \xi$ порядка $1$.

Функция $\arccos z$ (\emph{арккосинус}) определена и аналитична в области, равной разности открытой комплексной плоскостии интервала действительной оси $(-\infty,\,-1]$.

Значения $w$ данной функции удовлетворяют неравенствам

$0 \le \mathrm{Re}\,(\arccos z) \le \pi$.

Множество значений $\{w\}$ данной функции охватывает все точки открытой комплексной плоскости, для которых
либо

$0 < \mathrm{Re}\, w < \pi \;,$

либо

$\mathrm{Re}\, z =0 \quad \ {и} \quad \mathrm{Im}\, z \ge 0 \;,$

либо

$\mathrm{Re}\, z =\pi \quad \ {и} \quad \mathrm{Im}\, z \le 0 \;.$

Если число $\xi$ принадлежит множеству значений функции $\mathrm{arccosh}\, z$, то функция $\varphi(z) =\mathrm{arccosh}\, z -\xi$ имеет один нуль $z_0 =\cosh \xi$ порядка $1$.

Между функциями $\arccos z$ и $\arcsin z$ существует простая связь:

$\arccos z +\arcsin z =2\pi /4 \;.$

Из данного равенства, с учетом нечетности функции $\arcsin z$, следует, что

$\arccos(-z) =\pi -\arccos z \;.$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!