Матричные уравнения

Если вы перешли к изучению данной темы, то уже знаете, что такое матрица и определитель матрицы, умеете находить определители второго, третьего и высших порядков, а также обратные матрицы. Если какая-то из этих тем вам незнакома, то следует изучить сначала ее.

Приступим к рассмотрению понятия матричного уравнения.

Матричные уравнения

Матричные уравнения устроены практически также как и числовые, только вместо чисел в них содержатся числовые матрицы. Как правило, типовое матричное уравнение состоит из нескольких матриц и некоторой неизвестной матрицы $X$, которую и требуется найти.

Рассмотрим примеры наиболее простых матричных уравнений и их решения.

Пример 1

Решить матричное уравнение

$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+x=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.

Перенесем матрицу из левой части в правую:

$x=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$.

Найдем разность матриц в правой части уравнения:

$x=\begin{pmatrix}1-1&1-2\\0-3&1-4\end{pmatrix}$.

Значит, $x=\begin{pmatrix}0&-1\\-3&-3\end{pmatrix}$.

Можно провести проверку:

$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\-3&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+0&2-1\\3-3&4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$,

$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.

Пример 2

Решить матричное уравнение $\begin{pmatrix}5&8&-4\\6&9&-5\end{pmatrix}-\frac{1}{2}x=\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix}$.

Перенесем матрицу из левой части в правую:

$-\frac{1}{2}x=\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&8&-4\\6&9&-5\end{pmatrix}$.

Найдем разность матриц в правой части уравнения:

$-\frac{1}{2}x=\begin{pmatrix}3-5&4-8&1-(-4)\\2-6&1-9&2-(-5)\end{pmatrix}$,

$-\frac{1}{2}x=\begin{pmatrix}-2&-4&5\\-4&-8&7\end{pmatrix}$.

Умножим обе части уравнения на -2:

$x=-2\begin{pmatrix}-2&-4&5\\-4&-8&7\end{pmatrix}$,

$x=\begin{pmatrix}4&8&-10\\8&16&-14\end{pmatrix}$.

Можно провести проверку:

$\begin{pmatrix}5&8&-4\\6&9&-5\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&8&-10\\8&16&-14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8&-4\\6&9&-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&4&-5\\4&8&-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix}$,

$\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix}$.

Такие уравнения элементарны, поэтому они довольно редко встречаются на практике.

Простейшие матричные уравнения

Обычно решение матричных уравнений сводится к одному из двух видов:

1. $A\cdot X=B$;
2. $X\cdot A=B$.

Рассмотрим, как решается каждое из этих уравнений.

Уравнение вида $A\cdot X=B$	Уравнение вида $X\cdot A=B$
Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно $X$ умножим обе его части на $A^{-1}$ слева: $A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B$. Так как $A^{-1}\cdot A=E$, то $E\cdot X=A^{-1}\cdot B$, $E$ — единичная матрица. Так как $E\cdot X=X$, то $X=A^{-1}\cdot B$.	Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно $X$ умножим обе его части на $A^{-1}$ справа: $X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1}$. Так как $A\cdot A^{-1}=E$, то $X\cdot E=B\cdot A^{-1}$, $E$ — единичная матрица. Так как $X\cdot E=X$, то $X=B\cdot A^{-1}$.

Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида $A\cdot X=B$.

Пример 1

Решить матричное уравнение $\begin{pmatrix}3&7\\2&8\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}4&8\\6&2\end{pmatrix}$. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид $A\cdot X=B$, где $A=\begin{pmatrix}3&7\\2&8\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}4&8\\6&2\end{pmatrix}$.

Умножим обе части уравнения на $A^{-1}$ слева:

$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B$,

$E\cdot X=A^{-1}\cdot B$, $E$ — единичная матрица,

$X=A^{-1}\cdot B$.

Найдем матрицу $A^{-1}$.

$\begin{vmatrix}3&7\\2&8\end{vmatrix}=3\cdot8-2\cdot7=24-14=10\neq 0$, значит для матрицы $A$ существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}3&7\\2&8\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Вычтем из строки №1 строку №2:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}3&7\\2&8\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-1\\2&8\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-1\\2&8\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-1\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Умножим строку №1 на 10:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-1\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}10&-10\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}10&-10\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}10&-10\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}10&-10\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}10&0\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}8&-7\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Умножим строку №1 и №2 на $\frac{1}{10}$:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}10&0\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}8&-7\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}\frac{8}{10}&-\frac{7}{10}\\-\frac{2}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Значит, $A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{8}{10}&-\frac{7}{10}\\-\frac{2}{10}&\frac{3}{10}\end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}8&-7\\-2&3\end{pmatrix}$.

$A^{-1}\cdot B=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}8&-7\\-2&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4&8\\6&2\end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}-10&50\\10&-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&5\\1&-1\end{pmatrix}=X$.

Проверка:

$\begin{pmatrix}3&7\\2&8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&5\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&8\\6&2\end{pmatrix}$. — Верно.

Ответ: $X=\begin{pmatrix}-1&5\\1&-1\end{pmatrix}$.

Пример 2

Решить матричное уравнение $\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}2&4\\3&-6\end{pmatrix}$. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид $A\cdot X=B$, где $A=\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&4\\3&-6\end{pmatrix}$.

Умножим обе части уравнения на $A^{-1}$ слева:

$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B$,

$E\cdot X=A^{-1}\cdot B$, $E$ — единичная матрица,

$X=A^{-1}\cdot B$.

Найдем матрицу $A^{-1}$.

$\begin{vmatrix}0&2\\3&0\end{vmatrix}=0\cdot0-3\cdot2=0-6=-6\neq 0$, значит для матрицы $A$ существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}0&2\\3&0\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Поменяем местами строки №1 и №2:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}0&2\\3&0\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}3&0\\0&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Умножим строку №1 на $\frac{1}{3}$, а строку №2 на $\frac{1}{2}$:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}3&0\\0&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&0\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Значит, $A^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}$.

$A^{-1}\cdot B=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2&4\\3&-6\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}6&-12\\6&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}=X$.

Проверка:

$\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\3&-6\end{pmatrix}$. — Верно.

Ответ: $X=\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}$.

Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида $X\cdot A=B$.

Пример 3

Решить матричное уравнение

$X\cdot\begin{pmatrix}9&7\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\18&12\end{pmatrix}$. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид $X\cdot A=B$, где $A=\begin{pmatrix}9&7\\1&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&0\\18&12\end{pmatrix}$.

Умножим обе части уравнения на $A^{-1}$ справа:

$X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1}$,

$X\cdot E=B\cdot A^{-1}$, $E$ — единичная матрица,

$X=B\cdot A^{-1}$.

Найдем матрицу $A^{-1}$.

$\begin{vmatrix}9&7\\1&1\end{vmatrix}=9\cdot1-1\cdot7=9-7=2\neq 0$, значит для матрицы $A$ существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}9&7\\1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Поменяем строки №1 и №2 местами:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}9&7\\1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -9:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1\\0&-2\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\1&-9\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Умножим строку №2 на $-\frac{1}{2}$:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1\\0&-2\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\1&-9\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Значит, $A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{9}{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-7\\-1&9\end{pmatrix}$.

$B\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}2&0\\18&12\end{pmatrix}\cdot \frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1&-7\\-1&9\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0\\18&12\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-7\\-1&9\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&-14\\6&-18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-7\\3&-9\end{pmatrix}=X$.

Проверка: $\begin{pmatrix}1&-7\\3&-9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}9&7\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\18&12\end{pmatrix}.$ — Верно.

Ответ: $X=\begin{pmatrix}1&-7\\3&-9\end{pmatrix}$.

Пример 4

Решить матричное уравнение $X\cdot\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-1\\3&2\end{pmatrix}$. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид $X\cdot A=B$, где $A=\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}4&-1\\3&2\end{pmatrix}$.

Умножим обе части уравнения на $A^{-1}$ справа:

$X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1}$,

$X\cdot E=B\cdot A^{-1}$, $E$ — единичная матрица,

$X=B\cdot A^{-1}$.

Найдем матрицу $A^{-1}$.

$\begin{vmatrix}1&3\\2&5\end{vmatrix}=1\cdot5-2\cdot3=5-6=-1\neq 0$, значит для матрицы $A$ существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&3\\2&5\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&3\\2&5\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&3\\0&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\-2&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&3\\0&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\-2&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}-5&3\\-2&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Умножим строку №2 на -1:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right|\begin{matrix}-5&3\\-2&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}-5&3\\2&-1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Значит, $A^{-1}=\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}$.

$B\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}4&-1\\3&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-22&13\\-11&7\end{pmatrix}=X$.

Проверка:

$\begin{pmatrix}-22&13\\-11&7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-1\\3&2\end{pmatrix}$. — Верно.

Ответ: $X=\begin{pmatrix}-22&13\\-11&7\end{pmatrix}.$

Существует третий вид матричных уравнений: $A\cdot X\cdot B=C$, но в действительности он встречается редко.

Обе части уравнения умножим на $A^{-1}$ слева: $A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C$.

Зная, что $A^{-1}\cdot A=E$, получим: $E\cdot X\cdot B=A^{-1}\cdot C$.

Поскольку $E\cdot X=X$, то $X\cdot B=A^{-1}\cdot C$.

Обе части уравнения умножим на $B^{-1}$ справа: $X\cdot B\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$.

Зная, что $B\cdot B^{-1}=E$, получим: $X\cdot E=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$.

Поскольку $X\cdot E=X$, то $X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!