Если вы перешли к изучению данной темы, то уже знаете, что такое матрица и определитель матрицы, умеете находить определители второго, третьего и высших порядков, а также обратные матрицы. Если какая-то из этих тем вам незнакома, то следует изучить сначала ее.
Приступим к рассмотрению понятия матричного уравнения.
Матричные уравнения
Матричные уравнения устроены практически также как и числовые, только вместо чисел в них содержатся числовые матрицы. Как правило, типовое матричное уравнение состоит из нескольких матриц и некоторой неизвестной матрицы X, которую и требуется найти.
Рассмотрим примеры наиболее простых матричных уравнений и их решения.
Пример 1
Решить матричное уравнение
(13 24 )+x=(10 11 ).
Перенесем матрицу из левой части в правую:
x=(10 11 )−(13 24 ).
Найдем разность матриц в правой части уравнения:
x=(1−10−3 1−21−4 ).
Значит, x=(0−3 −1−3 ).
Можно провести проверку:
(13 24 )+(0−3 −1−3 )=(1+03−3 2−14−3 )=(10 11 ),
(10 11 )=(10 11 ).
Пример 2
Решить матричное уравнение (56 89 −4−5 )−21 x=(32 41 12 ).
Перенесем матрицу из левой части в правую:
−21 x=(32 41 12 )−(56 89 −4−5 ).
Найдем разность матриц в правой части уравнения:
−21 x=(3−52−6 4−81−9 1−(−4)2−(−5) ),
−21 x=(−2−4 −4−8 57 ).
Умножим обе части уравнения на -2:
x=−2(−2−4 −4−8 57 ),
x=(48 816 −10−14 ).
Можно провести проверку:
(56 89 −4−5 )−21 (48 816 −10−14 )=(56 89 −4−5 )−(24 48 −5−7 )=(32 41 12 ),
(32 41 12 )=(32 41 12 ).
Такие уравнения элементарны, поэтому они довольно редко встречаются на практике.
Простейшие матричные уравнения
Обычно решение матричных уравнений сводится к одному из двух видов:
- A⋅X=B;
- X⋅A=B.
Рассмотрим, как решается каждое из этих уравнений.
Уравнение вида A⋅X=B |
Уравнение вида X⋅A=B |
Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно X умножим обе его части на A−1 слева: A−1⋅A⋅X=A−1⋅B.
Так как A−1⋅A=E, то E⋅X=A−1⋅B, E — единичная матрица.
Так как E⋅X=X, то X=A−1⋅B. |
Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно X умножим обе его части на A−1 справа: X⋅A⋅A−1=B⋅A−1.
Так как A⋅A−1=E, то X⋅E=B⋅A−1, E — единичная матрица.
Так как X⋅E=X, то X=B⋅A−1. |
Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида A⋅X=B.
Пример 1
Решить матричное уравнение (32 78 )⋅X=(46 82 ). Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид A⋅X=B, где A=(32 78 ), B=(46 82 ).
Умножим обе части уравнения на A−1 слева:
A−1⋅A⋅X=A−1⋅B,
E⋅X=A−1⋅B, E — единичная матрица,
X=A−1⋅B.
Найдем матрицу A−1.
∣∣∣∣ 32 78 ∣∣∣∣ =3⋅8−2⋅7=24−14=10 =0, значит для матрицы A существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(32 78 ∣∣∣∣ 10 01 ).
Вычтем из строки №1 строку №2:
(32 78 ∣∣∣∣ 10 01 )∼(12 −18 ∣∣∣∣ 10 −11 ).
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:
(12 −18 ∣∣∣∣ 10 −11 )∼(10 −110 ∣∣∣∣ 1−2 −13 ).
Умножим строку №1 на 10:
(10 −110 ∣∣∣∣ 1−2 −13 )∼(100 −1010 ∣∣∣∣ 10−2 −103 ).
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:
(100 −1010 ∣∣∣∣ 10−2 −103 )∼(100 010 ∣∣∣∣ 8−2 −73 ).
Умножим строку №1 и №2 на 101 :
(100 010 ∣∣∣∣ 8−2 −73 )∼(10 01 ∣∣∣∣ 108 −102 −107 103 ).
Значит, A−1=(108 −102 −107 103 )=101 (8−2 −73 ).
A−1⋅B=101 (8−2 −73 )⋅(46 82 )=101 (−1010 50−10 )=(−11 5−1 )=X.
Проверка:
(32 78 )⋅(−11 5−1 )=(46 82 ). — Верно.
Ответ: X=(−11 5−1 ).
Пример 2
Решить матричное уравнение (03 20 )⋅X=(23 4−6 ). Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид A⋅X=B, где A=(03 20 ), B=(23 4−6 ).
Умножим обе части уравнения на A−1 слева:
A−1⋅A⋅X=A−1⋅B,
E⋅X=A−1⋅B, E — единичная матрица,
X=A−1⋅B.
Найдем матрицу A−1.
∣∣∣∣ 03 20 ∣∣∣∣ =0⋅0−3⋅2=0−6=−6 =0, значит для матрицы A существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(03 20 ∣∣∣∣ 10 01 ).
Поменяем местами строки №1 и №2:
(03 20 ∣∣∣∣ 10 01 )∼(30 02 ∣∣∣∣ 01 10 ).
Умножим строку №1 на 31 , а строку №2 на 21 :
(30 02 ∣∣∣∣ 01 10 )∼(10 01 ∣∣∣∣ 021 31 0 ).
Значит, A−1=(021 31 0 )=61 (03 20 ).
A−1⋅B=61 (03 20 )⋅(23 4−6 )=61 (66 −1212 )=(11 −22 )=X.
Проверка:
(03 20 )⋅(11 −22 )=(23 4−6 ). — Верно.
Ответ: X=(11 −22 ).
Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида X⋅A=B.
Пример 3
Решить матричное уравнение
X⋅(91 71 )=(218 012 ). Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид X⋅A=B, где A=(91 71 ), B=(218 012 ).
Умножим обе части уравнения на A−1 справа:
X⋅A⋅A−1=B⋅A−1,
X⋅E=B⋅A−1, E — единичная матрица,
X=B⋅A−1.
Найдем матрицу A−1.
∣∣∣∣ 91 71 ∣∣∣∣ =9⋅1−1⋅7=9−7=2 =0, значит для матрицы A существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(91 71 ∣∣∣∣ 10 01 ).
Поменяем строки №1 и №2 местами:
(91 71 ∣∣∣∣ 10 01 )∼(19 17 ∣∣∣∣ 01 10 ).
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -9:
(19 17 ∣∣∣∣ 01 10 )∼(10 1−2 ∣∣∣∣ 01 1−9 ).
Умножим строку №2 на −21 :
(10 1−2 ∣∣∣∣ 01 1−9 )∼(10 11 ∣∣∣∣ 0−21 129 ).
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:
(10 11 ∣∣∣∣ 0−21 129 )∼(10 01 ∣∣∣∣ 21 −21 −27 29 ).
Значит, A−1=(21 −21 −27 29 )=21 (1−1 −79 ).
B⋅A−1=(218 012 )⋅21 ⋅(1−1 −79 )=21 (218 012 )⋅(1−1 −79 )=21 (26 −14−18 )=(13 −7−9 )=X.
Проверка: (13 −7−9 )⋅(91 71 )=(218 012 ). — Верно.
Ответ: X=(13 −7−9 ).
Пример 4
Решить матричное уравнение X⋅(12 35 )=(43 −12 ). Выполнить проверку.
Уравнение имеет вид X⋅A=B, где A=(12 35 ), B=(43 −12 ).
Умножим обе части уравнения на A−1 справа:
X⋅A⋅A−1=B⋅A−1,
X⋅E=B⋅A−1, E — единичная матрица,
X=B⋅A−1.
Найдем матрицу A−1.
∣∣∣∣ 12 35 ∣∣∣∣ =1⋅5−2⋅3=5−6=−1 =0, значит для матрицы A существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.
Составим расширенную матрицу:
(12 35 ∣∣∣∣ 10 01 ).
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:
(12 35 ∣∣∣∣ 10 01 )∼(10 3−1 ∣∣∣∣ 1−2 01 ).
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:
(10 3−1 ∣∣∣∣ 1−2 01 )∼(10 0−1 ∣∣∣∣ −5−2 31 ).
Умножим строку №2 на -1:
(10 0−1 ∣∣∣∣ −5−2 31 )∼(10 01 ∣∣∣∣ −52 3−1 ).
Значит, A−1=(−52 3−1 ).
B⋅A−1=(43 −12 )⋅(−52 3−1 )=(−22−11 137 )=X.
Проверка:
(−22−11 137 )⋅(12 35 )=(43 −12 ). — Верно.
Ответ: X=(−22−11 137 ).
Существует третий вид матричных уравнений: A⋅X⋅B=C, но в действительности он встречается редко.
Обе части уравнения умножим на A−1 слева: A−1⋅A⋅X⋅B=A−1⋅C.
Зная, что A−1⋅A=E, получим: E⋅X⋅B=A−1⋅C.
Поскольку E⋅X=X, то X⋅B=A−1⋅C.
Обе части уравнения умножим на B−1 справа: X⋅B⋅B−1=A−1⋅C⋅B−1.
Зная, что B⋅B−1=E, получим: X⋅E=A−1⋅C⋅B−1.
Поскольку X⋅E=X, то X=A−1⋅C⋅B−1.
Комментарии