Примеры решения пределов

Если в процессе трансформации, некоторая величина неограниченно приближается к числу a, то это число является пределом (lim) данной величины. Число а всегда находится в интервале определения функции.

Предел функции:
$\lim \limits _{x \rightarrow a} {f(x)} = A$

При бесконечном росте к функции $1/x$ предел стремится к нулю:

$\lim \limits _{x\rightarrow \infty}{\frac{1}{x}=0}$

Правила решения пределов

• предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций;
• предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций;
• предел частного двух функций равен частному пределов этих функций;
• предел числа в степени (корня из числа) равен степени (корню) предела этого числа;
• постоянный множитель (число) выносится за знак предела;
• предел числа равен этому числу

Примеры задач в практическом применении пределов функции

Пример 1

Предел приближения к числу

$\lim \limits _{x \rightarrow 1} {\frac{5x^3+\frac{12}{3x}-8^x}{4+x^2}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1} {\frac{5{\cdot1}^3+\frac{12}{3\cdot1}-8^1}{4+1^2}}=\frac{5+ \frac{12}{3}-8}{4+1}=\frac{1}{5}$

Однако не всегда предел приближения к числу разрешается. В некоторых случаях возможна неопределенность.

$\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{x^2-2x+1}{x-1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{1^2-2\cdot1+1}{1-1}}= <\frac{0}{0}>$

Неопределенность вида $<\frac{0}{0}>$ возможно разрешить путем разложения числителя или знаменателя на множители.

$\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{x^2-2x+1}{x-1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{\left(x-1\right)\left(x-1\right)}{x-1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\left(x-1\right)=1-1=0}$

Другой способ раскрытия неопределенности – правило Лопиталя (производная от числителя и знаменателя пока неопределенность не спадет)

$\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{x^2-2x+1}{x-1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{\left(x^2-2x+1\right)^`}{\left(x-1\right)^`}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{2x-2}{1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{2x-2}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{2\cdot1-2=0}$

Пример 2

Предел приближения к бесконечности

$\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{x^2-4x+2}{1+x^2}}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{\infty^2-4\cdot \infty+2}{1+ \infty^2}}= <\frac{\infty} {\infty}>$

Неопределенность вида, $<\frac{\infty} {\infty}>$ возможно разрешить только путем деления каждого члена функции на $x$ в большей степени (в данном примере максимальная степень $x^2$).

$\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}}}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+1}}$

Зная, что $\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1}{x}=0}$,

причем в числителе дроби может быть любое число, а в знаменателе х любой степени, имеем

$\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+1}}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1-\frac{4}{\infty}+\frac{2}{\infty^2}}{\frac{1}{\infty^2}+1}}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1-0+0}{0+1}=\frac{1}{1}}=1$

Другие неопределенности

• $1^\infty$ – раскрытие через второй замечательный предел;
• $0^0$, $\infty^0$ – необходимо найти логарифм предела;
• $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$ – преобразование функции, правило Лопиталя.

Замечательные пределы (математические тождества)

$\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}=1}$

$\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e}$

Примеры применения замечательных пределов

Пример 1

Вычислить предел функции $\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{sin3x}{9x}}$

$\lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin3x}{9x}=<\frac{0}{0}>$

Выполним преобразования

$\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{sin3x}{9x}}=\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{\sin3x}{3\cdot3x}}=\frac{1}{3}\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{sin3x}{3x}}=\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{3}$

Пример 2

Вычислить предел функции

$\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (\frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}$

$\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (\frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}= <\frac {\infty} {\infty}>^ {\infty}$

Выполним преобразования (прибавление и отнимание единицы)

$\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (\frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (1-1+\frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}= \lim \limits _{x \rightarrow \infty} (1-\frac {x+4}{x+4} + \frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}=$

$\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (1+\frac {x+5-x-4}{x+4})^{(x+4)}= \lim \limits _{x \rightarrow \infty} (1+\frac {1}{x+4})^{(x+4)}=e$

Пределы находят практическое применение в различных областях математики, геометрии, экономики и финансов, поэтому умение разрешать такие задачи и быстро раскрывать неопределенности крайне необходимо для достижения иной главной цели.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!

Тест по теме «Примеры решения пределов»