Решение примеров со степенями

Степень числа (выражения) представляет собой произведение множителей из этого же числа (выражения). Так число $х$ в степени $n$ это:

$x^2=x\cdot x$

Выражение $х$ называют основанием степени, число $n$ – ее показателем.

Аналогично можно представить любое выражение:

${(x+8)}^3=(x+8)(x+8)(x+8)$

${\sqrt[5]{45}}^3=\sqrt[5]{45}\cdot\sqrt[5]{45}\cdot\sqrt[5]{45}$

Базовые положения степеней

1. Число в степени 1 равно самому себе.
2. Число в степени 0 равно 1.
3. Отрицательное число в четной степени становится числом положительным.
4. Отрицательное число в нечетной степени есть число отрицательное.

Свойства степеней и примеры решения

Произведение (частное) чисел с одинаковым основанием, но в разной степени

$x^a\cdot x^b=x^{a+b}$

$\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$

Например, необходимо упростить выражение

${(y+2)}^5\cdot\frac{\left(y+2\right)^\frac{15}{10}}{\left(y+2\right)^\frac{5}{10}}=\left(y+2\right)^{5+\frac{15}{10}-\frac{5}{10}}=\left(y+2\right)^{5+\frac{10}{10}}=\left(y+2\right)^6$

Возведение степени числа в степень

$\left(x^a\right)^b=x^{a\cdot b}$

Например, требуется вычислить

$\left(5^2\right)^\frac{1}{2}=5^{2\cdot\frac{1}{2}}=5^\frac{2}{2}=5$

Произведение (частное) чисел в степени

${(x\cdot y)}^n=x^n\cdot y^n \left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x^n}{y^n}$

Например, требуется вычислить

${(\frac{\sqrt[2]{13}\cdot5}{5^2})}^2=\frac{\left(\sqrt[2]{13}\right)^2\cdot5^2}{\left(5^2\right)^2}=\frac{13}{5^2}=\frac{13}{25}$

Частное единицы и числа в степени $n$

$\frac{1}{x^n}=x^{-n}$

Например, необходимо преобразовать выражение

$\frac{1}{{(18-x^6)}^2}\cdot x^0=\left(18-x^6\right)^{-2}\cdot1=\left(18-x^6\right)^{-2}$

Дробная степень выражения

$x^\frac{a}{b}=\sqrt[b]{x^a}$

следствие: $y=\sqrt[n]{x\ }\ \ \ \rightarrow\ \ \ \ y^n=x$

Например, необходимо упростить выражение

$18^{\frac{3x}{2}}=\sqrt[2]{120y}$
$18^{\frac{3x}{2}\cdot2}=120y$
${18}^{3x}=120y$

Практическое применение свойств степеней

Пример 1

Упростить выражение

$\frac{\left(\left(x^3\right)^{10}\cdot x^\frac{1}{3}\right)^\frac{5}{2}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot \sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}$

Решение

1. Упростим выражение в числителе, для этого выполним действия в скобках

$x^{3\cdot10}\cdot x^\frac{1}{3}=x^{30+\frac{1}{3}}=x^\frac{91}{3}$

Получим,

$\frac{\left(x^\frac{91}{3}\right)^\frac{5}{2}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}$

Раскроем скобки в числителе

$\frac{x^{\frac{91}{3}\cdot\frac{5}{2}}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}=\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}$

1. Упростим выражение в знаменателе, для чего преобразуем корень к виду степени

$\sqrt[4]{x^{-2}}=x^\frac{-2}{4}$

Получим,

$\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot x^\frac{-2}{4}\right):y^6}=\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4+\frac{-2}{4}}\right):y^6}=\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^\frac{-18}{4}\right):y^6}$

1. Перенесем знаменатель в верхнюю часть дроби

$x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}:x^\frac{-18}{4}\cdot y^6=x^\frac{455}{6}:x^\frac{-18}{4}\cdot y^\frac{1}{6}\cdot y^6=x^{\frac{455}{6}-\left(\frac{-18}{4}\right)}\cdot y^{\frac{1}{6}+6} x^{\frac{455}{6}+\left(\frac{18}{4}\right)}\cdot y^{\frac{1}{6}+\frac{36}{6}}=x^\frac{910+54}{12}\cdot y^\frac{37}{6}=x^\frac{964}{12}\cdot y^\frac{37}{6}=x^\frac{241}{3}\cdot y^\frac{37}{6}$

Ответ:

$\frac{\left(\left(x^3\right)^{10}\cdot x^\frac{1}{3}\right)^\frac{5}{2}\cdot \ y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right): \ y^6}=x^\frac{241}{3}\cdot y^\frac{37}{6}$

Пример 2

Вычислить выражение, при $x=1$

$\frac{\left(\left(x^2-2x+1\right)^3\right)^2\cdot\left(x^\frac{-2}{3}+x^0\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}$

Решение

1. Упростим выражение в числителе, для этого выполним действия в обеих скобках

$\frac{\left(\left(x^2-2x+1\right)^3\right)^2\cdot\left(x^\frac{-2}{3}+x^0\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}=\frac{\left(x^2-2x+1\right)^{3\cdot2}\cdot\left(x^\frac{1}{3\cdot2}+1\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}} \frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}$

1. Упростим знаменатель

$\frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(x^{-1}+x^{\frac{1}{6}-\frac{6}{3}}\right)\cdot\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}}=\frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(\frac{1}{x}+x^{\frac{1}{6}-\frac{12}{6}}\right)\cdot\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}} \frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(\frac{1}{x}+x^{-\frac{11}{6}}\right)\cdot\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}}$

1. Выражение из числителя перенесем в знаменатель

$\left(x^2-2x+1\right)^6:\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{x}+x^{-\frac{11}{6}}\right)= =\left(x^2-2x+1\right)^{6-\frac{2}{3}}\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^\frac{11}{6}}\right)==\left(x^2-2x+1\right)^\frac{16}{3}\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^\frac{11}{6}}\right)$

1. Заменяем переменную $x$ значением по условию $x=1$

$\left(1^2-2\cdot1+1\right)^\frac{16}{3}\cdot\left(1^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1^\frac{11}{6}}\right)=0^\frac{16}{3}\cdot\left(1+1\right):\left(1+1\right)=0\cdot1=0$

Ответ: При $x=1$, выражение
$\frac{\left(\left(x^2-2x+1\right)^3\right)^2\cdot\left(x^\frac{-2}{3}+x^0\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}=0$

Вам нужно срочно заказать статью по математике для публикации? Обратитесь за помощью к нашим экспертам!