Примеры решения уравнений

Уравнение представляет собой многочлен переменных (неизвестных величин) вида:

$f\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=0$

Степень уравнения определяется степенью входящего в него неизвестного.

Линейные уравнения

Линейные уравнения – уравнения типа $ax=b$.

Например, $103x+18=4$.

Для решения таких уравнений необходимо перенести неизвестные в одну сторону, числовые значения в другую, затем привести подобные и выразить неизвестное.

Пример 1

Решить уравнение $4x – 8 = 2 + 3x + 4$

Решение

1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую (с противоположными знаками):

$4x – 3x = 2 + 4 + 8$

1. Приведем подобные (сложим и вычтем неизвестные и числа):

$x = 14$

Ответ: $x = 14$

Противоположный знак – знак обратный исходному при переноси числа или выражения через знак =. Для знака плюс, противоположным будет знак «–» и наоборот, для частного произведение и соответственно для произведения - частное.

Пример 2

Выразить $x$ в уравнении $18x + 2x – 4 = 10x + 16$

Решение

1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую

$18x + 2x – 10x = 16 + 4$

1. Приведем подобные

$10*x = 20$

$x = 20/10 = 2$

Ответ: $x = 2$.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения – уравнения вида $ax^2+bx+c=0$. Наиболее универсальной формулой решения таких уравнений является следующая:

$x_{1.2}=-b\mp\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

где $a,b,c$ – коэффициенты уравнения.

Пример 1

Найти корни уравнения $x^2 + 2x – 1 = –9 – 3х$

Решение

1. Приведем уравнение к виду квадратного
   $x^2 + 2x – 1 + 9 + 3х = 0$

$1x^2 + 5x + 8 = 0$

1. Найдем корни

$x_{1.2}=-5\mp\frac{\sqrt{5^2-4\ast1\ast8}}{2\ast1}=-5\mp\frac{\sqrt{-7}}{2\ast1}$

Поскольку подкоренное выражение отрицательно, уравнение корней не имеет.

Пример 2

Решить уравнение $2x^2 + 3x – 2 = 0$

Решение

$x_{1.2}=-3\mp\frac{\sqrt{3^2-4\ast2\ast\left(-2\right)}}{2\ast2}=-3\mp\frac{\sqrt{9+16}}{4}=3\mp\frac{5}{4} x_1=3+\frac{5}{4}=4,25 x_2=3-\frac{5}{4}=1,75$

Ответ: уравнение имеет 2 корня: 4,25 и 1,75.

Кубические уравнения

Кубические уравнения – уравнения вида $ax^3 + b = 0$ или $ax^3 + сx^2 + dx = 0$.

Для решения таких уравнений $x$ выносится за скобку, записывается корень $х = 0$, решается оставшееся в скобках квадратное уравнение.

Пример 1

Сколько корней имеет уравнение $3x^3 + 2x^2 – 1x = 0$

Решение

1. Вынесем $x$

$x(3x^2 + 2x – 1) = 0$

Первый корень $x = 0$

1. Решаем уравнение $3x^2 + 2x – 1 = 0$

$x_{2.3}=-2\mp\frac{\sqrt{4^2-4\ast3\ast\left(-1\right)}}{2\ast3}=-2\mp\frac{\sqrt{16+12}}{6}=-2\mp\frac{\sqrt{28}}{6}=-2\mp\frac{2\sqrt7}{6} x_2=-2+\frac{\sqrt7}{3} x_3=-2-\frac{\sqrt7}{3}$

Ответ: 3 корня.

Пример 2

Решить уравнение $2x^3 - 16 = 0$

Решение

1. Упростим уравнение делением на общий делитель 2
   $\frac{2x^3-\ 16\ }{2}=x^3-8 x^3-8=0 x^3=8 x=\sqrt[3]{8}=2$

Ответ: $x = 2$

Существуют и другие виды уравнений (дробно-рациональные, трансцендентные), однако их решение сводится к упрощению и приведению к линейному, квадратному или кубическому виду.

Например, дробно-рациональное уравнение вида

$\frac{x^2+2x+1}{x+1}=0$

решается путем сокращения дроби и преобразованию к линейному виду

$\frac{\left(x+1\right)\ast\left(x+1\right)}{x+1}=0$

$x+1=0$
$х = -1$

Трансцендентные уравнения (логарифмические, показательные, тригонометрические) решаются заменой сложных выражений знакомым нам х, его нахождением и обратной заменой на найденное значение.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!

Тест по теме «Примеры решения уравнений»