Что такое матрица

Впервые матрицы были упомянуты в работах древнекитайских математиков, которые называли их «волшебными квадратами». Несмотря на это, теория появилась и начала свое развитие в середине XIX века. Она связана с работами У. Гамильтона, А. Кэли. Термин «матрица» введен Д. Сильвестром в 1850 г.

Матрица

Это прямоугольная таблица каких-либо элементов (числа, буквы, другие объекты), которая состоит из определенного количества строк и столбцов.

Строки нумеруются сверху вниз, а столбцы — слева направо.

Далее будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа.

Элементы матриц принято обозначать маленькими буквами. Например, $a_{ij}$, где $i$ — номер строки, а $j$ — номер столбца. Индекс $ij$ указывает на положение элемента.

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\...&...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$.

Возможно обозначение при помощи двойных вертикальных линий.

$A=\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\...&...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&...&a_{mn}\end{Vmatrix}$.

Согласно определению, представленному выше, $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{13}$, … — элементы матрицы $A$.

Пример 1

$B=\begin{pmatrix}5&8&19\\14&3&2\\6&15&7\end{pmatrix}$.

В матрице элемент $b_{12}=8$, поскольку находится на пересечении 1 строки и 2 столбца. Так мы можем найти любой ее элемент.

Пример 2

$C=\begin{pmatrix}-3&0&7&-5&9\\2&-1&-6&4&3\\0&5&-8&4&-7\\9&-5&1&4&-2\end{pmatrix}$.

Размер матрицы

Матрица, содержащая m строк и n столбцов, имеет размер $m\times n$.

Пример 1

$D=\begin{pmatrix}2&3&7&5&4\\0&2&1&8&3\\6&3&9&8&5\end{pmatrix}$ содержит 3 строки и 5 столбцов, значит имеет размер «3 на 5» или $3\times 5$.

Пример 2

$F=\begin{pmatrix}3&0&1&4\\5&7&2&1\end{pmatrix}$ содержит 2 строки и 4 столбца, значит имеет размер «два на четыре» или $2\times 4$.

Матрица размера $1\times 1$ — это число.

Пример 1

$G=\begin{pmatrix}5\end{pmatrix}$

Пример 2

$H=\begin{pmatrix}8\end{pmatrix}$

Равные матрицы

Матрицы одинакового размера равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

Делаем вывод, что для равенства должны выполняться 2 условия:

1. размеры матриц совпадают;
2. соответствующие элементы равны.

Пример 1

$I=\begin{pmatrix}0&1\\3&4\end{pmatrix}$,
$J=\begin{pmatrix}0&1\\3&4\\7&-1\end{pmatrix}$.

$I\neq J$ поскольку матрица $I$ имеет размер $2\times 2$, а размер матрицы $J$ составляет $3\times 2$. В данном случае равенство элементов проверять не нужно.

Пример 2

$K=\begin{pmatrix}1&0&5\\2&3&7\end{pmatrix}$,

$L=\begin{pmatrix}1&0&5\\2&3&7\end{pmatrix}$.

$K=L$, поскольку они имеют одинаковый размер — $2\times 3$, а соответствующие элементы матриц $K$ и $L$ также равны.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!