Основные типы матриц

Перед тем как перейти к рассмотрению основных типов матриц, встречающихся в математике, вспомним основные определения по теме «Что такое матрица»: понятие матрицы, какие два способа ее записи существуют, что такое размер матрицы, а также какие матрицы можно считать равными. Если вы уже знакомы с данными понятиями, перейдем к знакомству с основными типами матриц.

Типы матриц различают в зависимости от их размеров, а также значений их элементов.

Скаляр

Матрица, имеющая размер «один на один».

Как различать: состоит только из одного элемента.

Пример 1

$F=\begin{pmatrix}62\end{pmatrix}$

Пример 2

$P=\begin{pmatrix}15\end{pmatrix}$

Вектор-строка

Матрица, состоящая только из строки.

Как различать: состоит только из одной строки, столбцов может быть любое количество.

Пример 1
$C=\begin{pmatrix}13&29&71&63\end{pmatrix}$

Пример 2

$T=\begin{pmatrix}16&13&-17&31&-18&-15\end{pmatrix}$

Вектор-столбец

Матрица, состоящая только из столбца.

Как различать: состоит только из одного столбца и любого количества строк.

Пример 1
$Q=\begin{pmatrix}10\\0\\13\\91\end{pmatrix}$

Пример 2

$B=\begin{pmatrix}15\\-17\\19\\-12\\-15\end{pmatrix}$

Прямоугольная матрица

Матрица с неодинаковым числом строк и столбцов.

Как различать: матрица, в которой число строк $\neq$ числу столбцов, по форме напоминает геометрическую фигуру — прямоугольник.

Пример 1

$M=\begin{pmatrix}-18&15&13\\9&17&13\end{pmatrix}$

Пример 2

$N=\begin{pmatrix}21&15\\14&13\\6&18\end{pmatrix}$

Главная диагональ прямоугольной матрицы состоит из элементов $a_{ii}$, где $i=1,2$, $min\begin{Bmatrix}m,n\end{Bmatrix}$ и может выглядеть следующим образом:

$M=\begin{pmatrix}\mathbf{-18}&15&13\\9&\mathbf{17}&13\end{pmatrix}$

Квадратная матрица

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов.

Как различать: число строк = числу столбцов.

$Z=\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}&z_{13}&...&z_{1n}\\z_{21}&z_{22}&z_{23}&...&z_{2n}\\z_{31}&z_{32}&z_{33}&...&z_{3n}\\...\\z_{n1}&z_{n2}&z_{n3}&...&z_{nn}\end{pmatrix}$

Пример 1

$J=\begin{pmatrix}11&21&13\\43&18&61\\17&81&19\end{pmatrix}$

Пример 2

$K=\begin{pmatrix}14&10&21&10\\17&91&16&31\\76&54&31&15\\15&4&19&28\end{pmatrix}$

Главная диагональ квадратной матрицы образована последовательностью элементов, проходящих через воображаемый отрезок, соединяющий верхний левый и правый нижний углы.
Жирным шрифтом выделены главные диагонали матриц $J$ и $K$

$J=\begin{pmatrix}\mathbf{11}&21&13\\43&\mathbf{18}&61\\17&81&\mathbf{19}\end{pmatrix}$,

$K=\begin{pmatrix}\mathbf{14}&10&21&10\\17&\mathbf{91}&16&31\\76&54&\mathbf{31}&15\\15&4&19&\mathbf{28}\end{pmatrix}$.

Побочная диагональ квадратной матрицы образована последовательностью элементов, проходящих через воображаемый отрезок, соединяющий верхний правый и нижний левый углы.
Жирным шрифтом выделены побочные диагонали матриц $J$ и $K$

$J=\begin{pmatrix}11&21&\mathbf{13}\\43&\mathbf{18}&61\\\mathbf{17}&81&19\end{pmatrix}$,

$K=\begin{pmatrix}14&10&21&\mathbf{10}\\17&91&\mathbf{16}&31\\76&\mathbf{54}&31&15\\\mathbf{15}&4&19&28\end{pmatrix}$.

Квадратная матрица размера $n\times n$ называется матрицей n-го порядка.

Например, $J$ — матрица 3-го порядка (поскольку имеет размер $3\times 3$), $K$ — 4-го порядка (поскольку имеет размер $4\times 4$).

Треугольная матрица

Квадратная матрица, в которой элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Виды треугольной матрицы

Нижнетреугольная	Верхнетреугольная
Матрица, в которой нули расположены выше главной диагонали. Как различать: является квадратной матрицей; элементы, стоящие выше главной диагонали — нули. Пример 1 $L=\begin{pmatrix}37&0&0\\41&54&0\\32&57&48\end{pmatrix}$ Пример 2 $M=\begin{pmatrix}59&0&0&0\\71&25&0&0\\93&37&56&0\\85&52&22&13\end{pmatrix}$	Матрица, в которой нули расположены ниже главной диагонали. Как различать: является квадратной матрицей; элементы, стоящие ниже главной диагонали — нули. Пример 1 $N=\begin{pmatrix}58&19&31\\0&14&12\\0&0&67\end{pmatrix}$ Пример 2 $P=\begin{pmatrix}13&12&46&39\\0&75&83&91\\0&0&24&37\\0&0&0&96\end{pmatrix}$

Диагональная матрица

Квадратная матрица, все элементы которой равны нулю кроме элементов, стоящих на главной диагонали.

Как различать:

• является квадратной матрицей;
• элементы главной диагонали — произвольные числа, остальные элементы — нули.

Пример 1

$Q=\begin{pmatrix}61&0&0\\0&55&0\\0&0&49\end{pmatrix}$

Пример 2

$R=\begin{pmatrix}35&0&0&0&0\\0&64&0&0&0\\0&0&77&0&0\\0&0&0&81&0\\0&0&0&0&99\end{pmatrix}$

Симметричная матрица

Квадратная матрица с симметричными относительно главной диагонали элементами.

Как различать:

• является квадратной матрицей;
• элементы симметричны относительно главной диагонали, т.е. для матрицы $A= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\...&...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&...&a_{mn}\end{pmatrix}: a_{2,1}=a_{1,2}, a_{3,1}=a_{1,3}, a_{3,2}=a_{2,3}, ...$ .

Пример 1

$S=\begin{pmatrix}15&0&44\\0&37&23\\44&23&69\end{pmatrix}$

Пример 2

$T=\begin{pmatrix}41&27&36&41\\27&0&58&79\\36&58&24&36\\41&79&36&0\end{pmatrix}$

Кососимметрическая матрица

Квадратная матрица, в которой элементы симметричные относительно главной диагонали равны по модулю, но отличаются по знаку.

Как различать:

• является квадратной матрицей;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали равны по модулю: $|a_{2,1}|=|a_{1,2}|, |a_{3,1}|=|a_{1,3}|, |a_{3,2}|=|a_{2,3}|, ...$ ;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали имеют разные знаки: $a_{2,1}=-a_{1,2}$ или $-a_{2,1}=a_{1,2}$ — это справедливо для всех симметричных элементов.

Пример 1

$U=\begin{pmatrix}0&97\\-97&0\end{pmatrix}$

Пример 2

$V=\begin{pmatrix}15&-35&43\\35&0&-64\\-43&64&3\end{pmatrix}$

Ступенчатая матрица (квазитреугольная)

Матрица произвольного размера, имеющая вид

$X_{m\times n}=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&...&x_{1r}&...&x_{1n}\\0&x_{22}&x_{23}&...&x_{2r}&...&x_{2n}\\0&0&x_{33}&...&x_{3r}&...&x_{3n}\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&x_{rr}&...&x_{rn}\\0&0&0&...&0&...&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&0&...&0\end{pmatrix}, 0<r\leqslant min\begin{Bmatrix}m,n\end{Bmatrix}$

Как различать:

• первый элемент первой строки отличен от нуля: $a_{1,1}\neq 0$;
• ненулевая строка — строка, содержащая хотя бы один ненулевой элемент. Она состоит из первой части — нулей и второй части — ненулевых элементов (произвольных чисел);
• из двух ненулевых строк ниже та, у которой больше нулей в первой части, содержащей нули;
• строки, состоящие только из нулей, могут располагаться после ненулевых строк, однако их наличие необязательно.

Пример 1

$W=\begin{pmatrix}11&21&32&14\\0&15&71&19\\0&0&12&11\end{pmatrix}$
Пример 2

$Z=\begin{pmatrix}16&19&17\\0&-16&41\\0&0&18\end{pmatrix}$

Отдельного рассмотрения требуют единичная, нулевая и транспонированная матрицы.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Основные типы матриц»