Перед тем как перейти к знакомству с единичной и нулевой матрицей, вспомним, что такое матрица, а также ее основные типы. Особое внимание при повторении следует уделить квадратной матрице и ее подтипам — диагональной, симметричной и кососимметричной матрицам.
Итак, среди квадратных матриц можно выделить класс диагональных матриц, у которых все элементы кроме элементов главной диагонали равны нулю. Рассмотрим два вида матриц с совпадающими элементами на главной диагонали. К таким матрицам относят нулевую и единичную. Рассмотрим каждую более подробно.
Нулевая матрица
Матрица, у которой все элементы равны нулю.
Ее принято обозначать как Z или O или Omn.
Общий вид нулевой матрицы:
O=(00...000...0............00...0)
Как различать: все элементы матрицы — нули.
Пример 1
O1=(0000) — квадратная нулевая матрица 2-го порядка поскольку имеет размер 2×2.
Нулевая матрица существует для любого размера m×n.
Пример 2
O2=(00000000000000000000) — нулевая матрица размера 5×4.
Свойства нулевой матрицы
Нулевая матрица играет такую же роль при выполнении действий над матрицами, как число нуль при соответствующих арифметических операциях.
- При умножении нулевой матрицы на число, получаем ту же нулевую матрицу: k⋅O=O⋅k=O.
Важно понимать, что на какое бы число мы ни умножили нулевую матрицу любого размера, всегда получим ту же нулевую матрицу.
Пример 1
152⋅(0000)=(0000)
Пример 2
73⋅(000000000)=(000000000)
- Сумма произвольной матрицы и нулевой матрицы того же размера есть произвольная матрица: A+O=O+A=A.
Складывая произвольную ненулевую матрицу с нулевой матрицей того же размера, получаем исходную ненулевую матрицу.
Пример 1
(39672548)+(0000)=(39672548)
Пример 2
(9678354927781014567)+(000000000)=(9678354927781014567)
С правилами сложения произвольных матриц вы можете ознакомиться в теме «Как складывать матрицы».
- Разность произвольной матрицы и нулевой матрицы того же размера есть произвольная матрица.
Вычитая из матрицы любого порядка нулевую матрицу такого же порядка, получим исходную ненулевую матрицу.
Пример 1
(48362954)−(0000)=(48362954)
Если же мы вычтем из нулевой матрицы произвольную матрицу такого же порядка, получим исходную ненулевую матрицу со знаком «минус» (с противоположным знаком): O−A=−A.
Пример 2
(0000)−(57342019)=−(57342019)
С правилами вычитания матриц вы можете ознакомиться здесь.
- Произведение произвольной матрицы размера k×l и нулевой матрицы размера l×m есть нулевая матрица размера k×m.
Правила, существующие при умножении произвольных матриц, выполняются и в данном случае. Ознакомиться с ними вы можете тут.
Пример 1
(54762453)⋅(0000)=(0000)
Пример 2
(91195736)⋅(000000)=(000000)
Возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц дает нулевую матрицу:
(025010)⋅(607300)=(0000)
Также нулевая матрица является симметричной и кососимметричной.
Единичная матрица
Матрица, каждый элемент главной диагонали которой равен единице, а все остальные — нулю.
Общий вид единичной матрицы:
E=(10...001...0............00...1)
Пример 1
E1=(1001)
Пример 2
E2=(100010001)
Свойство единичной матрицы
Произведение произвольной матрицы и единичной матрицы соответствующего размера (её порядок равен числу столбцов исходной ненулевой матрицы) есть исходная матрица: AE=EA=A.
Пример 1
(253741173619)⋅(100010001)=(253741173619)
Пример 2
(2579)⋅(1001)=(2579)
С действиями над произвольными матрицами мы познакомимся на следующих уроках.
На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!
Комментарии