Умножение матриц

Нами были рассмотрены действия сложения, вычитания и умножения матриц на число. Еще одним действием над ними является умножение. Выполняется оно сложнее, а само правило может показаться немного странным. При его выполнении важно уметь определять размер матриц. Это понятие было рассмотрено в теме «Что такое матрица».

Онлайн-калькулятор

Как умножать матрицы

Приступим к рассмотрению умножения матриц.

Нам известно, что складывать и вычитать можно матрицы, которые имеют одинаковый размер. С умножением дела обстоят немного сложнее.

Какие матрицы можно умножать

Матрицу P можно умножить на матрицу K только в том случае, если число столбцов матрицы P равняется числу строк матрицы K. Матрицы, для которых данное условие не выполняется, умножать нельзя.

Пример 1

Определим, можно ли умножить матрицу

$K=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}$ на матрицу $L=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}$.

Матрица $K$ состоит из 2 строк и 2 столбцов, а матрица $L$ — из 2 строк и 1 столбца. Число столбцов матрицы $K$ равно числу строк матрицы $L$, значит, матрицу $K$ можно умножить на матрицу $L$.

Пример 2

Переставим матрицы местами и определим, можно ли умножить матрицу

$F=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}$ на матрицу $C=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}$.

Матрица $F$ состоит из 2 строк и 1 столбца, а матрица $C$ — из 2 строк и 2 столбцов. Число столбцов матрицы $F$ не равно числу строк матрицы $C$, значит, матрицу $F$ нельзя умножить на матрицу $C$.

Умножение матриц осуществляется путем умножения строки на столбец. Находятся произведения первого элемента строки и первого элемента столбца, второго элемента строки и второго элемента столбца и т.д. Затем полученные произведения суммируются.

Алгоритм нахождения произведения матриц

1. определить размеры матриц;
2. если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то выполнять умножение.

Рассмотрим пример умножения матрицы

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\a_{41}&a_{42}\end{pmatrix}$

на матрицу

$B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}$.

Матрица $A$ состоит из 4 строк и 2 столбцов, а матрица $B$ — из 2 строк и 3 столбцов. Число столбцов матрицы $A$ равно числу строк матрицы $B$, значит, можно найти произведение $C=A\cdot B$. Причем матрица $C$ будет иметь размер $4\times 3$. Найдем элементы $c_{12}$ (выделен красными стрелками) и $c_{33}$ (выделен синими стрелками):

Для того чтобы найти элемент $c_{12}$ нужно перемножать соответствующие элементы 1 строки матрицы $A$ и 2 столбца матрицы $B: c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}$. Для того чтобы найти элемент $c_{33}$ нужно перемножать соответствующие элементы 3 строки матрицы $A$ и 3 столбца матрицы $B$: $c_{33}=a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}$. Так находят все элементы.

Таким образом, матрица $C$ может быть найдена следующим образом:

$A\cdot B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\a_{41}&a_{42}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}&a_{11}\cdot b_{13}+a_{12}\cdot b_{23}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}&a_{21}\cdot b_{13}+a_{22}\cdot b_{23}\\a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}&a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}&a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}\\a_{41}\cdot b_{11}+a_{42}\cdot b_{21}&a_{41}\cdot b_{12}+a_{42}\cdot b_{22}&a_{41}\cdot b_{13}+a_{42}\cdot b_{23}\end{pmatrix}$

Произведение $B\cdot A$ нельзя найти, поскольку число столбцов матрицы $B$ неравно числу строк матрицы $A$.

Перестановочные матрицы

Перестановочные, или коммутирующие, матрицы – матрицы, для которых выполняется равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Они обязательно квадратные.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!