Умножение матриц

Нами были рассмотрены действия сложения, вычитания и умножения матриц на число. Еще одним действием над ними является умножение. Выполняется оно сложнее, а само правило может показаться немного странным. При его выполнении важно уметь определять размер матриц. Это понятие было рассмотрено в теме «Что такое матрица».

Онлайн-калькулятор

Как умножать матрицы

Приступим к рассмотрению умножения матриц.

Нам известно, что складывать и вычитать можно матрицы, которые имеют одинаковый размер. С умножением дела обстоят немного сложнее.

Какие матрицы можно умножать

Матрицу P можно умножить на матрицу K только в том случае, если число столбцов матрицы P равняется числу строк матрицы K. Матрицы, для которых данное условие не выполняется, умножать нельзя.

Пример 1

Определим, можно ли умножить матрицу

$K=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}$ на матрицу $L=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}$.

Матрица $K$ состоит из 2 строк и 2 столбцов, а матрица $L$ — из 2 строк и 1 столбца. Число столбцов матрицы $K$ равно числу строк матрицы $L$, значит, матрицу $K$ можно умножить на матрицу $L$.

Пример 2

Переставим матрицы местами и определим, можно ли умножить матрицу

$F=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}$ на матрицу $C=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}$.

Матрица $F$ состоит из 2 строк и 1 столбца, а матрица $C$ — из 2 строк и 2 столбцов. Число столбцов матрицы $F$ не равно числу строк матрицы $C$, значит, матрицу $F$ нельзя умножить на матрицу $C$.

Правило умножения матриц

Произведение матрицы $A$ размера $m\times n$ и матрицы $B$ размера $n\times k$ — это матрица $C$ размера $m\times k$, в которой элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений элементов $i$ строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$ столбца матрицы $B: c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}$.

Умножение матриц осуществляется путем умножения строки на столбец. Находятся произведения первого элемента строки и первого элемента столбца, второго элемента строки и второго элемента столбца и т.д. Затем полученные произведения суммируются.

Алгоритм нахождения произведения матриц

1. определить размеры матриц;
2. если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то выполнять умножение.

Рассмотрим пример умножения матрицы

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\a_{41}&a_{42}\end{pmatrix}$

на матрицу

$B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}$.

Матрица $A$ состоит из 4 строк и 2 столбцов, а матрица $B$ — из 2 строк и 3 столбцов. Число столбцов матрицы $A$ равно числу строк матрицы $B$, значит, можно найти произведение $C=A\cdot B$. Причем матрица $C$ будет иметь размер $4\times 3$. Найдем элементы $c_{12}$ (выделен красными стрелками) и $c_{33}$ (выделен синими стрелками):

Для того чтобы найти элемент $c_{12}$ нужно перемножать соответствующие элементы 1 строки матрицы $A$ и 2 столбца матрицы $B: c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}$. Для того чтобы найти элемент $c_{33}$ нужно перемножать соответствующие элементы 3 строки матрицы $A$ и 3 столбца матрицы $B$: $c_{33}=a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}$. Так находят все элементы.

Таким образом, матрица $C$ может быть найдена следующим образом:

$A\cdot B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\a_{41}&a_{42}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}&a_{11}\cdot b_{13}+a_{12}\cdot b_{23}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}&a_{21}\cdot b_{13}+a_{22}\cdot b_{23}\\a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}&a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}&a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}\\a_{41}\cdot b_{11}+a_{42}\cdot b_{21}&a_{41}\cdot b_{12}+a_{42}\cdot b_{22}&a_{41}\cdot b_{13}+a_{42}\cdot b_{23}\end{pmatrix}$

Произведение $B\cdot A$ нельзя найти, поскольку число столбцов матрицы $B$ неравно числу строк матрицы $A$.

Пример 1

Найти произведение матрицы $C=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}$ на матрицу $F=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}$.

Матрица $C$ имеет размер $2\times 2$, матрица $F$ имеет размер $2\times 1$, значит, размер матрицы произведения будет $2\times 1$.

$C\cdot F=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\cdot 35+27\cdot 16\\18\cdot 35+10\cdot 16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}957\\790\end{pmatrix}$.

Как отмечалось выше, произведение матриц $F\cdot C$ невозможно.

Пример 2

Найти произведение матриц $K\cdot L$ и $L\cdot K$, если $K=\begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix}$ на матрицу $L=\begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}$.

Матрица $K$ имеет размер $2\times 2$, матрица $L$ имеет размер $2\times 2$, значит, размер матрицы произведения будет $2\times 2$.

$K\cdot L=\begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\cdot 18+17\cdot 12&12\cdot 11+17\cdot 10\\13\cdot 18+14\cdot 12&13\cdot 11+14\cdot 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}420&302\\402&283\end{pmatrix}$

Произведение $L\cdot K$ существует и его размер — $2\times 2$.

$L\cdot K=\begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18\cdot 12+11\cdot 13&18\cdot 17+11\cdot 14\\12\cdot 12+10\cdot 13&12\cdot 17+10\cdot 14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}359&460\\274&344\end{pmatrix}$

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, т.е. оно некоммутативно: $A\cdot B\neq B\cdot A$.

Так, для матриц $K=\begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix}$ и $L=\begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}$ из рассмотренного примера $K\cdot L \neq L\cdot K$.

Перестановочные матрицы

Перестановочные, или коммутирующие, матрицы – матрицы, для которых выполняется равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Они обязательно квадратные.

Пример 1

Проверить, являются ли перестановочными матрицы $C$ и $D$, если $C=\begin{pmatrix}2&3\\4&2\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}3&3\\4&3\end{pmatrix}$.

Найдем произведения этих матриц $C\cdot D$ и $D\cdot C$.

$C\cdot D=\begin{pmatrix}2&3\\4&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&3\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 3+3\cdot 4&2\cdot 3+3\cdot 3\\4\cdot 3+2\cdot 4&4\cdot 3+2\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&15\\20&18\end{pmatrix}$,

$D\cdot C=\begin{pmatrix}3&3\\4&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2&3\\4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 2+3\cdot 4&3\cdot 3+3\cdot 2\\4\cdot 2+3\cdot 4&4\cdot 3+3\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&15\\20&18\end{pmatrix}$.

Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство $C\cdot D$ и $D\cdot C$, поэтому они являются перестановочными.

Пример 2

Проверить, являются ли перестановочными матрицы $F$ и $H$, если $F=\begin{pmatrix}3&4\\2&1\end{pmatrix}$, $H=\begin{pmatrix}0&5\\9&3\end{pmatrix}$.

Найдем произведения этих матриц $F\cdot H$ и $H\cdot F$.

$F\cdot H=\begin{pmatrix}3&4\\2&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&5\\9&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 0+4\cdot 9&3\cdot 5+4\cdot 3\\2\cdot 0+1\cdot 9&2\cdot 5+1\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36&27\\9&13\end{pmatrix}$,

$H\cdot F=\begin{pmatrix}0&5\\9&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&4\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 3+5\cdot 2&0\cdot 4+5\cdot 1\\9\cdot 3+3\cdot 2&9\cdot 4+3\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&5\\33&39\end{pmatrix}$.

Таким образом, для заданных матриц не выполняется равенство $F\cdot H$ и $H\cdot F$, поэтому они не являются перестановочными.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!