Мы уже знакомы с понятием матрицы, с основными действиями над ней. Перед тем, как начать изучение новой темы необходимо вспомнить операцию умножения матриц. В процессе изучения темы нами будет рассмотрен новый материал и отработаны действия над матрицами. Приступим к рассмотрению темы.
Операция возведения в степень kk определена только для квадратных матриц, т.е. матриц размера k×kk×k (матриц kk-го порядка) — 2×22×2, 3×33×3 и т.д. Кроме того, показатель степени (число в которое мы возводим матрицу) должен быть натуральным: 1,2,3,4,5,…1,2,3,4,5,…
Онлайн-калькулятор
Возведение матрицы в степень
Для того чтобы возвести матрицу AA в степень kk, необходимо умножить матрицу AA саму на себя kk раз: Ak=A⋅A⋅...⋅AAk=A⋅A⋅...⋅A.
Таким образом,
A2=A⋅AA2=A⋅A,
A3=A⋅A⋅AA3=A⋅A⋅A,
A4=A⋅A⋅A⋅AA4=A⋅A⋅A⋅A и т.д.
Для степеней матрицы справедливо следующее свойство: At⋅Af=At+fAt⋅Af=At+f.
Найти A3A3 для матрицы A=(25171011)A=(25171011).
По свойству степеней: A3=A2⋅AA3=A2⋅A.
A2=A⋅A=(25171011)⋅(25171011)=A2=A⋅A=(25171011)⋅(25171011)=
=(25⋅25+17⋅1025⋅17+17⋅1110⋅25+11⋅1010⋅17+11⋅11)=(795612360291)=(25⋅25+17⋅1025⋅17+17⋅1110⋅25+11⋅1010⋅17+11⋅11)=(795612360291).
A3=A2⋅A=(795612360291)⋅(25171011)=A3=A2⋅A=(795612360291)⋅(25171011)=
=(795⋅25+612⋅10795⋅17+612⋅11360⋅25+291⋅10360⋅17+291⋅11)=(2599520247119109321).
Значит, A3=(2599520247119109321).
Найти B4 для матрицы B=(573418962).
По свойству степеней: B4=B2⋅B2.
B2=B⋅B=(573418962)⋅(573418962)=
=(5⋅5+7⋅4+3⋅95⋅7+7⋅1+3⋅65⋅3+7⋅8+3⋅24⋅5+1⋅4+8⋅94⋅7+1⋅1+8⋅64⋅3+1⋅8+8⋅29⋅5+6⋅4+2⋅99⋅7+6⋅1+2⋅69⋅3+6⋅8+2⋅2)=(806077967736878179).
B4=B2⋅B2=(806077967736878179)⋅(806077967736878179)=
=(80⋅80+60⋅96+77⋅8780⋅60+60⋅77+77⋅8180⋅77+60⋅36+77⋅7996⋅80+77⋅96+36⋅8796⋅60+77⋅77+36⋅8196⋅77+77⋅36+36⋅7987⋅80+81⋅96+79⋅8787⋅60+81⋅77+79⋅8187⋅77+81⋅36+79⋅79)=
=(188591565714403182041460513008216091785615856).
Значит, B4=(188591565714403182041460513008216091785615856).
Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!
Комментарии