Мы уже знакомы с понятием матрицы, с основными действиями над ней. Перед тем, как начать изучение новой темы необходимо вспомнить операцию умножения матриц. В процессе изучения темы нами будет рассмотрен новый материал и отработаны действия над матрицами. Приступим к рассмотрению темы.
Операция возведения в степень k определена только для квадратных матриц, т.е. матриц размера k×k (матриц k-го порядка) — 2×2, 3×3 и т.д. Кроме того, показатель степени (число в которое мы возводим матрицу) должен быть натуральным: 1,2,3,4,5,…
Онлайн-калькулятор
Возведение матрицы в степень
Для того чтобы возвести матрицу A в степень k, необходимо умножить матрицу A саму на себя k раз: Ak=A⋅A⋅...⋅A.
Таким образом,
A2=A⋅A,
A3=A⋅A⋅A,
A4=A⋅A⋅A⋅A и т.д.
Для степеней матрицы справедливо следующее свойство: At⋅Af=At+f.
Найти A3 для матрицы A=(2510 1711 ).
По свойству степеней: A3=A2⋅A.
A2=A⋅A=(2510 1711 )⋅(2510 1711 )=
=(25⋅25+17⋅1010⋅25+11⋅10 25⋅17+17⋅1110⋅17+11⋅11 )=(795360 612291 ).
A3=A2⋅A=(795360 612291 )⋅(2510 1711 )=
=(795⋅25+612⋅10360⋅25+291⋅10 795⋅17+612⋅11360⋅17+291⋅11 )=(2599511910 202479321 ).
Значит, A3=(2599511910 202479321 ).
Найти B4 для матрицы B=⎝⎛ 549 716 382 ⎠⎞ .
По свойству степеней: B4=B2⋅B2.
B2=B⋅B=⎝⎛ 549 716 382 ⎠⎞ ⋅⎝⎛ 549 716 382 ⎠⎞ =
=⎝⎛ 5⋅5+7⋅4+3⋅94⋅5+1⋅4+8⋅99⋅5+6⋅4+2⋅9 5⋅7+7⋅1+3⋅64⋅7+1⋅1+8⋅69⋅7+6⋅1+2⋅6 5⋅3+7⋅8+3⋅24⋅3+1⋅8+8⋅29⋅3+6⋅8+2⋅2 ⎠⎞ =⎝⎛ 809687 607781 773679 ⎠⎞ .
B4=B2⋅B2=⎝⎛ 809687 607781 773679 ⎠⎞ ⋅⎝⎛ 809687 607781 773679 ⎠⎞ =
=⎝⎛ 80⋅80+60⋅96+77⋅8796⋅80+77⋅96+36⋅8787⋅80+81⋅96+79⋅87 80⋅60+60⋅77+77⋅8196⋅60+77⋅77+36⋅8187⋅60+81⋅77+79⋅81 80⋅77+60⋅36+77⋅7996⋅77+77⋅36+36⋅7987⋅77+81⋅36+79⋅79 ⎠⎞ =
=⎝⎛ 188591820421609 156571460517856 144031300815856 ⎠⎞ .
Значит, B4=⎝⎛ 188591820421609 156571460517856 144031300815856 ⎠⎞ .
Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!
Комментарии