Транспонирование матрицы

Многие считают, что тема «Транспонированные матрицы» довольно сложная, но это не так. В студенческом курсе математики транспонирование выполняется легко и без каких-либо усилий. Для того чтобы понимать, как именно осуществляется операция, необходимо знать, что такое матрица.

Онлайн-калькулятор

Что такое транспонированная матрица

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с этим же номером, называется матрицей транспонированной данной. Обозначается такая матрица $A^{T}$ или $A'$.

При транспонировании матрицы $A$ размера $m\times n$ получаем матрицу $A^{T}$ размера $n\times m$.

В общем виде транспонированная матрица для матрицы

$A_{m\times n}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$

выглядит следующим образом:

$A^{T}_{n\times m}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$.

Элементы $i$ строки исходной матрицы становятся элементами $i$ столбца транспонированной матрицы. Таким образом, транспонирование матрицы заключается в том, что строки исходной матрицы $A$ записывают в новую матрицу по столбцам.

Свойства транспонированных матриц

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице: $A^{TT}=(A^{T})^{T}=A$.
2. Транспонированная матрица суммы равна сумме транспонированных матриц: $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$.
3. Транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц: $(A\cdot B)^{T}=A^{T}\cdot B^{T}$.
4. При транспонировании можно выносить скаляр (число, на которое можно разделить все элементы матрицы): $(k\cdot A)^{T}=k\cdot A^{T}$.
5. Определитель исходной матрицы и определитель транспонированной матрицы равны.

С понятием определителя матрицы мы познакомимся на следующем уроке.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Тест по теме «Транспонирование матрицы»