Умножение матрицы на число

Мы уже знакомы с действиями сложения и вычитания матриц. Прежде чем начать изучение умножения матрицы на число, вам следует повторить тему «Что такое матрица». Особое внимание необходимо уделить размеру матрицы. Приступим к рассмотрению темы.

Онлайн-калькулятор

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы $A$ и числа $k$ называется новая матрица $B$, полученная из исходной путем умножения соответствующих элементов матрицы $A$ на число $k$.

Элемент $b_{11}=k\cdot a_{11}$, $b_{12}=k\cdot a_{12}, ...$

Так можно получить все элементы матрицы $B$.

В общем виде умножение матрицы на число выглядит следующим образом. Даны некоторое число $k$ и матрица

$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$.

Найдем произведения $k\cdot A$ и $A\cdot k$:

$B=k\cdot A=A\cdot k=\begin{pmatrix}k\cdot a_{11}&k\cdot a_{12}&...&k\cdot a_{1n}\\k\cdot a_{21}&k\cdot a_{22}&...&k\cdot a_{2n}\\...&...&...&...\\k\cdot a_{m1}&k\cdot a_{m2}&...&k\cdot a_{mn}\end{pmatrix}$.

Свойства умножения матрицы на число

Пусть $k$ и $n$ — числа, $A$ и $B$ — матрицы.

1. При умножении произвольной матрицы на единицу получаем исходную матрицу:

$1\cdot A=A$.

1. При умножении произвольной матрицы на нуль получаем нулевую матрицу, размер которой равен размеру исходной матрицы:

$0\cdot A=O$, где $O$ — нулевая матрица.

1. При умножении числа на матрицу, которая также умножается на число можно найти произведение этих чисел, а затем умножить на матрицу

$k\cdot (n\cdot A)=(k\cdot n)\cdot A$.

1. При умножении суммы чисел на матрицу можно каждое из этих чисел умножить на матрицу, а полученные результаты сложить

$(k+n)\cdot A=k\cdot A+n\cdot A$.

1. При умножении числа на сумму матриц можно это число умножить на каждую из матриц, а полученные результаты сложить

$k\cdot (A+B)=k\cdot A+k\cdot B$.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Тест по теме «Умножение матрицы на число»