Вычитание матриц

Мы уже знакомы с темой «Сложение матриц». Вычитание матриц аналогично их сложению. Данное действие требует от студентов лишь арифметических знаний и внимательности. Перед изучением новой темы рекомендуем повторить, что такое матрица. Особое внимание следует уделить ее размеру.

Онлайн-калькулятор

Приступим к рассмотрению действия над матрицами, которое называется вычитанием.

Как и при сложении, вычитать будем те матрицы, которые имеют одинаковый размер. Вычесть из матрицы «шесть на восемь» можно только матрицу «шесть на восемь», а из матрицы «два на четыре» только матрицу «два на четыре».

При вычитании матриц справедливо равенство $A_{mn}-B_{mn}=C_{mn}$. Оно означает, что вычитая из матрицы $A$ порядка $m\times n$ матрицу $B$ порядка $m\times n$, получим матрицу $C$ такого же порядка.

Правило вычитания матриц

Разность матриц $P$ и $K$ получается вычитанием их соответствующих элементов. Первый элемент новой матрицы получается вычитанием из первого элемента матрицы $P$ первого элемента матрицы $K$, второй элемент новой матрицы — вычитанием из второго элемента матрицы $P$ второго элемента матрицы $K$. Также поступаем с остальными элементами.

Найдем разность $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\...&...&...&...\\b_{m1}&b_{m2}&...&b_{mn}\end{pmatrix}$.

$A-B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\...&...&...&...\\b_{m1}&b_{m2}&...&b_{mn}\end{pmatrix}$=

$= \begin{pmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&...&a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&...&a_{2n}-b_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&...&a_{mn}-b_{mn}\end{pmatrix}$.

Алгоритм выполнения вычитания:

1. определяем размеры матриц;
2. если матрицы имеют одинаковый размер, выполняем вычитание (в противном случае найти разность невозможно).

Пример 1

Найти разность матриц $G$ и $H$, если $G=\begin{pmatrix}39&21&4\\32&19&25\\17&15&34\end{pmatrix}$ и $H=\begin{pmatrix}45&19&15\\16&18&33\\24&16&10\end{pmatrix}$.

Матрицы имеют размер $3\times 3$. Для нахождения разности $G-H$ из соответствующих элементов матрицы $G$ нужно вычесть соответствующие элементы матрицы $H$:

$G-H=\begin{pmatrix}39&21&4\\32&19&25\\17&15&34\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}45&19&15\\16&18&33\\24&16&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}39-45&21-19&4-15\\32-16&19-18&25-33\\17-24&15-16&34-10\end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix}-6&2&-11\\16&1&-8\\-7&-1&24\end{pmatrix}$

Пример 2

Найти разность матриц $T$ и $F$, если $T=\begin{pmatrix}24&37&16\\15&24&33\\46&11&68\\57&13&24\end{pmatrix}$ и $F=\begin{pmatrix}39&54&29\\51&19&31\\34&9&18\\43&5&15\end{pmatrix}$.

Матрицы имеют размер $4\times 3$. Для нахождения разности $T-F$ из соответствующих элементов матрицы $T$ нужно вычесть соответствующие элементы матрицы $F$:

$T-F=\begin{pmatrix}24&37&16\\15&24&33\\46&11&68\\57&13&24\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}39&54&29\\51&19&31\\34&9&18\\43&5&15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24-39&37-54&16-29\\15-51&24-19&33-31\\46-34&11-9&68-18\\57-43&13-5&24-15\end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix}-15&-17&-13\\-36&5&2\\12&2&50\\14&8&9\end{pmatrix}$

Как видно из примеров, вычитание является таким же простым действием, как и сложение. Продолжайте изучение темы «матрицы» с нами, и тогда данная тема покажется вам очень простой.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!

Тест по теме «Вычитание матриц»