Дифференциальное уравнение явно не содержит y и производные до k−1 порядка
В этом случае уравнение решается путем замены
y(k)=p(x)
y(k+1)=p′(x)
…
y(n)=p(n−k)(x)
Пример
y′=x2+x
Делаем замену
y′=p(x)
y′=p′(x)
Получаем уравнение первого порядка
p′=x2+x
dxdp =x2+x
dp=(x2+x)dx
∫dp=∫(x2+x)dx
p=3x3 +2x2 +C1
Делаем обратную замену
y′=3x3 +2x2 +C1
dxdy =3x3 +2x2 +C1
dy=(3x3 +2x2 +C1 )dx
∫dy=∫(3x3 +2x2 +C1 )dx
y=12+6x3 +C1 x+C2 x4
Дифференциальное уравнение явно не содержит x
В данном случае используют замену
y′=p(y)
y′=p′(y)p(y)$
Пример
y′=y
Делаем вышеуказанную замену
p′p=y
dydp p=y
pdp=ydy
∫pdp=∫ydy
2p2 =2y2 +C1
Делаем обратную замену
y′=2y2 +C1
dxdy =2y2 +C1
2y2 +C1 dy =dx
∫2y2 +C1 dy =∫dx
C 1 1 arctgC 1 y +C2 =x
Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!
Комментарии