Дифференциальные уравнения, допускающие понижение степени

Дифференциальное уравнение явно не содержит yy и производные до k1k-1 порядка

В этом случае уравнение решается путем замены

y(k)=p(x)y^{(k)}=p(x)

y(k+1)=p(x)y^{(k+1)}=p^\prime (x)

y(n)=p(nk)(x)y^{(n)}=p^{(n-k)} (x)

Пример

y=x2+xy'=x^2+x

Делаем замену

y=p(x)y^\prime =p(x)

y=p(x)y' =p^\prime (x)

Получаем уравнение первого порядка

p=x2+xp'=x^2+x

dpdx=x2+x\frac{dp}{dx}=x^2+x

dp=(x2+x)dxdp=\left(x^2+x\right)dx

dp=(x2+x)dx\int dp=\int\left(x^2+x\right)dx

p=x33+x22+C1p=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1

Делаем обратную замену

y=x33+x22+C1y^\prime=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1

dydx=x33+x22+C1\frac{dy}{dx}=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1

dy=(x33+x22+C1)dxdy=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1\right)dx

dy=(x33+x22+C1)dx\int dy=\int\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_1\right)dx

y=x412+x36+C1x+C2y=\frac {x^{4}}{{12}+\frac{x^3}{6}+C_1 x+C_2}

Дифференциальное уравнение явно не содержит xx

В данном случае используют замену

y=p(y)y' = p(y)

y=p(y)p(y)y' = p' (y) p(y)$

Пример

y=yy'=y

Делаем вышеуказанную замену

pp=yp^\prime p =y

dpdyp=y\frac{dp}{dy}p=y

pdp=ydypdp=ydy

pdp=ydy\int pdp=\int ydy

p22=y22+C1\frac{p^2}{2}= \frac{y^2}{2}+C_1

Делаем обратную замену

y=y22+C1y^\prime=\frac{y^2}{2}+C_1

dydx=y22+C1\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{2}+C_1

dyy22+C1=dx\frac {dy}{\frac{y^2}{2}+C_1}=dx

dyy22+C1=dx\int\frac {dy}{\frac{y^2}{2}+C_1}=\int dx

1C1arctgyC1+C2=x\frac{1}{\sqrt C_1} arctg \frac{y}{\sqrt C_1}+C_2=x

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир