Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка имеют вид
$y'' +ay^\prime +by=0$
На первом этапе решения составляется характеристическое уравнение

$k^2+ak+b=0$

При решении этого уравнения могут получиться три варианта корней, в зависимости от которых общее решение будет иметь свой вид.

Корни характеристического уравнения действительные и различные

Корни характеристического уравнения $k_1$, $k_2$ действительные и различные.

В этом случае общее решение

$y=C_1 e^{k_1 x}+ C_2 e^{k_2 x}$

Пример

$y'' +3y' +2y=0$

$k^2+3k+2=0$

$D=9-4\cdot 1\cdot 2=1$

$k_1=\frac{-3-\sqrt 1}{2}=-2; k_2=\frac{-3+\sqrt 1}{2}=-1$

Тогда общее решение

$y=C_1 e^{-2 x}+ C_2 e^{- x}$

Корни характеристического уравнения действительные и кратные

В этом случае общее решение

$y= e^{kx}\left(C_1+ C_2 x\right)$

Пример

$y'' -4y^\prime +4y=0$

$k^2-4k+4=0$

$D=16-4\cdot 1\cdot 4=0$

$k_1=k_2=\frac{4}{2}=2$

Тогда общее решение

$y=e^{2 x}\left(C_1+ C_2 x\right)$

Корни характеристического уравнения комплексные

$k=\alpha\pm \beta i$

В этом случае общее решение

$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x\right)$

Пример

$y'' -2y' +17y=0$

$k^2-2k+17=0$

$D=4-4\cdot 1\cdot 17=-64$

$k_1=\frac{2-\sqrt -64}{2}=1-8i; k_2=\frac{2+\sqrt -64}{2}=1+8i$

$\alpha=1;\beta=8$

Тогда общее решение

$y=e^{x}\left(C_1\cos 8x+C_2\sin 8x\right)$

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!