Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из двух частей: решения соответствующего однородного уравнения и непосредственно решения неоднородного. Поэтому на первом шаге решается уравнение без учета правой части. Затем ищется решение в зависимости от вида правой части. И, наконец, эти решения складываются.
О решении однородного уравнения читайте в статье.

Правая часть вида $P_n(x)$ — многочлен степени $n$

Решение ищется в виде

$\tilde y=Q_n(x) x^s,$

где $Q_n(x)$ - многочлен той же степени, что и в правой части. Показатель степени $s$ равен количеству нулевых корней характеристического уравнения.

Пример

$y''-y^\prime-2y=x^2-3x+1$
$k^2-k-2=0$
$k_1=-1;k_2=2$
$y_o=C_1 e^{-x}+C_2 e^{2x}$

Теперь рассмотрим правую часть. Она представляет собой многочлен второй степени, при этом нулевых корней у характеристического уравнения нет ($s$=0), следовательно, решение нелинейного уравнения ищем в виде

$\tilde y=Ax^2+Bx+C$

Первая производная

$\tilde y^\prime=2Ax+B$

Вторая производная

$\tilde y''=2A$

Подставляем их в начальное уравнение

$2A-(2Ax+B)-2(Ax^2+Bx+C)=x^2-3x+1$

$-2Ax^2+(-2A-2B)x+(2A-B-2C)=x^2-3x+1$

Коэффициенты при равных степенях должны быть равны

$\begin{cases} -2A=1 \\-2A-2B=-3 \\2A-B-2C=1 \end{cases}$

$\begin{cases} A=-\frac{1}{2} \\B=\frac{3}{2}-A=\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2 \\C=\frac{-1+2A-B}{2}=-1 \end{cases}$

Получаем

$\tilde y=-\frac{1}{2}x^2+2x-1$

И окончательно

$y=y_o+\tilde y = C_1 e^{-x}+C_2 e^{2x}-\frac{1}{2}x^2+2x-1$

Правая часть вида $e^{\alpha x}P_n$

Решение ищется в виде

$\tilde y= e^{\alpha x}Q_n(x) x^s,$

где $Q_n(x)$ - многочлен той же степени, что и в правой части. Показатель степени $s$ равен количеству кратных корней характеристического уравнения, которые при это еще равны $\alpha$.

Пример

$y'' +3y^\prime +2y= e^{x}(x+1)$

$k_1=-2; k_2=-1$

$y_o=C_1 e^{-2 x}+ C_2 e^{- x}$

Теперь рассмотрим правую часть. Она содержит многочлен первой степени, при этом корней, равных единицу (в правой части $\alpha=1$) у характеристического уравнения нет ($s$=0), следовательно, решение нелинейного уравнения ищем в виде

$\tilde y= e^{ x}(Ax+B)$

Первая производная

$\tilde y^\prime= e^{ x}(Ax+B)+ e^{ x}\cdot A= e^{ x}(Ax+A+B)$

Вторая производная

$\tilde y''= e^{ x}(Ax+A+B)+ e^{ x}\cdot A = e^{ x}(Ax+2A+B)$

Подставляем их в начальное уравнение

$e^{ x}(Ax+2A+B)+3e^{ x}(Ax+A+B)+2e^{ x}(Ax+B)= e^{x}(x+1)$

$(Ax+2A+B)+3(Ax+A+B)+2(Ax+B)= x+1$

$6Ax+5A+6B=x+1$

Коэффициенты при равных степенях должны быть равны

$\begin{cases} 6A=1 \\5A+6B=1 \end{cases} \begin{cases} A=\frac{1}{6} \\B=\frac{1}{36} \end{cases}$

Получаем

$\tilde y= e^{ x}\left(\frac{1}{6}x+\frac{1}{36}\right)$

И окончательно

$y=y_o+\tilde y = C_1 e^{-2 x}+ C_2 e^{- x}+ e^{ x}\left(\frac{1}{6}x+\frac{1}{36}\right)$

Правая часть вида $e^{\alpha x}\left(P_n\cos \beta x +Q_m\sin \beta x\right)$

Решение ищется в виде

$\tilde y= e^{\alpha x} \left(R_l\cos \beta x +Q_l\sin \beta x\right) x^s$

Многочлены, входящие в решение имеют максимальную степень из тех, что содержат многочлены правой части $l=max(n;m)$. Далее рассматриваются корни характеристического уравнения, и если они комплексные и равны $\alpha\pm\beta i$, где $\alpha$ и $\beta$ из правой части, то $s=1$ (не забываем, что мы рассматриваем уравнения второй степени, поэтому больше 1 в данном случае $s$ не может быть).

Пример

$y'' +3y^\prime +2y= e^{x}\sin 3x$

$k_1=-2; k_2=-1$

$y_o=C_1 e^{-2 x}+ C_2 e^{- x}$

Проанализировав правую часть, видим, что решение необходимо искать в виде

$\tilde y= e^{x}(A\cos 3 x +B\sin 3 x)$

Первая производная

$\tilde y^\prime = e^{x}(A\cos 3x+B\sin 3x)+ e^{x}(-3A\sin 3 x +3B\cos 3 x)=$

$= e^{x}(-3A\sin 3x+3B\cos 3x+ A\cos 3x+B\sin 3x )$

Вторая производная

$\tilde y''= e^{x}(-3A\sin 3x+3B\cos 3x+ A\cos 3x+B\sin 3x )+$

$+ e^{x}(-9A\cos 3x-9B\sin 3x- 3A\sin 3x+3B\cos 3x )=$

$= e^{x}(-6A\sin 3x+8A\cos 3x+8B\sin 3x-6B\cos 3x)$

Подставляем их в начальное уравнение

$- e^{x}(-6A\sin 3x+8A\cos 3x+8B\sin 3x-6B\cos 3x) +$

$+3 e^{x}(-3A\sin 3x+3B\cos 3x+ A\cos 3x+B\sin 3x )+$

$+2 e^{x}(A\cos 3 x +B\sin 3 x)= e^{x}\sin 3x$

Приводим подобные

$-15Ae^x \sin 3x-3Ae^x \cos 3x-3Be^x \sin 3x +15Be^x \cos 3x= e^{x}\sin 3x$

Коэффициенты при одинаковых функциях должны быть равны

$\begin{cases} -15A-3B=1 \\-3A+15B=0 \end{cases} \begin{cases} A=-\frac{5}{78} \\B=-\frac{1}{78} \end{cases}$

Получаем
$\tilde y= e^{x}(-\frac{5}{78}\cos 3 x -\frac{1}{78}\sin 3 x)$

И окончательно
$y=y_o+\tilde y = C_1 e^{-2 x}+ C_2 e^{- x} + e^{x}(-\frac{5}{78}\cos 3 x -\frac{1}{78}\sin 3 x)$

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!