Формула и ряд Тейлора

Степенные ряды в форме рядов Тейлора и Маклорена

Степенные ряды и, в частности, ряды Тейлора являются одним из видов функциональных рядов.

Степенной ряд в общем виде записывается как:

$a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n+\ldots=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(x-x_0)^k$

где $a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots$ - постоянные, коэффициенты ряда,

$x_0$ – центр интервала сходимости ряда $|x-x_0|<R$,

$R$ – радиус сходимости, когда для частичных сумм $S_n(x)$ существует предел, сумма ряда $S(x)$:

$S_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n, \quad \lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = S (x)$

Возьмем функцию действительной переменной $f(x)$, которая является бесконечно дифференцируемой в точке $x_0$. Такую функцию можно разложить в степенной ряд следующего вида:

$f(x)=f(x_0)+\dfrac{f{'}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

Этот ряд по степеням двучлена $(x-x_0)$ называют рядом Тейлора.

В случае $x_0=0$ полученный степенной ряд:

$f(x)=f(0)+\dfrac{f{'}( 0)}{1!} x +\dfrac{f{''}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

называют рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно записать в другом виде. Полагая:

$x-x_0=t, \quad f(x)=f(x_0+t)=g(t)$

ряд Тейлора

$f(x)=f(x_0+t)=f(0)+\dfrac{f{'}(x_ 0)}{1!} t +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}t^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}t^k$

сводится к ряду Маклорена:

$g(t)=g(0)+\dfrac{g{'}( 0)}{1!}t +\ldots+\dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}t^k$

Как и в случае произвольного степенного ряда, ряды Тейлора и Маклорена имеют интервал сходимости.

Пример

Разложим в ряд Тейлора функцию:

$f(x)=\dfrac{1}{x}$

в окрестности точки $x_0=1$.

С помощью замены:

$x-x_0=x-1=t$

функция сводится к виду:

$f(x)=f(t+1)=\dfrac {1}{1+t}$

Полученное выражение при $|t|<1$ является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем $(-t)$, и ряд записывается в виде:

$\dfrac {1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\ldots+(-1)^{n}t^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}t^{k}$

Возвращаясь к переменной $x$, получаем разложение по степеням двучлена $(x-1)$:

$\dfrac {1}{x}=1-(x-1)+ (x-1)^2-(x-1)^3+\ldots+(-1)^{n}(x-1)^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(x-1)^{k}, \quad |x-1|<1$

Формула Тейлора

Следствием разложения функции в степенной ряд является соответствующая формула Тейлора. Если функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производные до $n$ –го порядка включительно, то функцию $f(x)$ можно представить с помощью формулы Тейлора:

$f(x)=f(x_0)+\dfrac{f{'}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +R_n (x)$

или

$f(x)= \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +R_n (x)$,

где функция $R_n (x)$ называется остаточным членом.

Формы остаточного члена

Существует несколько форм для остаточного члена. В частности, если $f(x)$ дифференцируема $(n+1)$ раз в окрестности $x_0$, то $R_n (x)$ может быть представлена в форме Лагранжа:

$R_n (x)=\dfrac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1}, \quad x<\xi<x_0$ или $x<\xi<x_0$.

Если функция $f(x)$ дифференцируема $(n-1)$ раз в окрестности $x_0=0$, то $R_n(x)$ может быть представлена в форме Пеано:

$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$.

Учитывая, что ряд Тейлора можно свести к ряду Маклорена, запишем формулу Тейлора для основных элементарных функций в окрестности $x_0=0$ и укажем соответствующие интервалы сходимости.

Показательная функция:

$e^x=1+\dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n),\quad |x|<\infty$

Тригонометрические функции:

$\sin x=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^3}{3!} +\dfrac{x^5}{5!} -\dfrac{x^7}{7!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+ o(x^{2n}),\quad |x|<\infty$

$\cos x=1 -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^4}{4!} -\dfrac{x^6}{6!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+ o(x^{2n+1}),\quad |x|<\infty$

$\arctg x=x-\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{x^5}{5} -\dfrac{x^7}{7} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+ o(x^{2n+2}),\quad |x|\le{1}$

Логарифмическая функция:

$\ln (1+x)=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!} -\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}+ o(x^n),\quad x\in (-1;1]$

Степенная функция:

$(1+x)^\alpha=1+\dfrac{\alpha }{1!}x+\dfrac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^2 +\dfrac{\alpha (\alpha -1)( \alpha -2)}{3!} x^3 +\ldots+\dfrac{\alpha (\alpha -1) \ldots ( \alpha-n+1)} {n!} {x^n}+ o(x^n)$

Пример 1

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

$f(x)=(x+1)\ln (x^2+2x+2)$

в окрестности точки $x_0=-1$ с точностью до $o((x+1)^7)$.

Выполнив замену переменной

$x-x_0=x+1=t$

получаем:

$g(t)=t\ln(1+t^2)$

Используя разложение логарифмической функции, получаем:

$g(t)=t \left( \dfrac{t^2}{1!}-\dfrac{(t^2)^2}{2!}+\dfrac{(t^2)^3}{3!}+o((t^2)^3) \right)=t^3-\dfrac{t^5}{2}+\dfrac{t^7}{6}+o(t^7)$

Выполняем далее обратную замену переменной:

$f(x)= (x+1)^3-\dfrac{(x+1)^5}{2}+\dfrac{(x+1)^7}{6}+o((x+1)^7)$

Пример 2

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

$f(x)=(x^2-4x)\cos{(2x-4)}$

в окрестности точки $x_0=2$ с точностью до $o((x-5)^5)$.

Выполнив замену переменной:

$x-x_0=x-2=t, \quad x=t+2$

получаем:

$g(t)=(t^2-4)\cos{2t}$

Используя разложение тригонометрической функции, получаем:

$g(t) =(t^2-4) \left( 1-\dfrac{(2t)^2}{2!}-\dfrac{(2t)^4}{4!}+o(t^5) \right) =(t^2-4) \left( 1-2t^2+\dfrac{2t^4}{3}+o(t^5) \right)$

Раскрываем скобки, ограничиваясь слагаемыми со степенью t не выше пяти:

$g(t) =(t^2-2t^4)- \left( 4-8t^2+\dfrac{8t^4}{3}+o(t^5) \right) =-4+9t^2-\dfrac{14}{3} t^4+o(t^5)$

Выполняя обратную замену переменной, получаем:

$f(x)=-4+9(x-2)^2-\dfrac{14}{3}(x-2)^4+o((x-2)^5)$

Применение формулы Тейлора при x, стремящемся к бесконечности

При необходимости представить функцию с помощью формулы Тейлора при $x \to \infty$ с точностью до $o\left( \dfrac {1} {x^n}\right)$, последовательно:

• выполняем замену переменной $t=\dfrac{1}{x}$;
• полученную функцию $g(t)$ представляем с помощью формулы Тейлора с необходимой точностью;
• с помощью обратной замены переменных находим искомое выражение для $f(x)$.

Пример

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

$f(x)=2x-\sqrt{x^2-1}$

с точностью до $o\left( \dfrac {1} {x^3}\right)$ при $x \to +\infty$.

Выполнив замену переменной

$t=\dfrac{1}{x}, \quad x=\dfrac{1}{t}$

получаем:

$g(t)=\dfrac {2}{t}-\sqrt {\dfrac{1}{t^2}-1}=\dfrac{2-(1-t^2)^{1/2}}{t}$

Учитывая требуемую точность $o(t^3)$, используем разложение степенной функции в ряд Тейлора с точностью до $o(t^4)$:

$g(t)=\dfrac {2-\left( 1-\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^4}{8}\right)+o(t^4)}{t}=\dfrac{1}{t}+\dfrac{t}{2}-\dfrac{t^3}{8}+o(t^3)$

Выполняя обратную замену переменной, находим:

$f(x)=x+\dfrac{1}{2x}- \dfrac {1}{8x^3}+ o\left( \dfrac {1} {x^3}\right), \quad x \to +\infty$

Применение формула Тейлора при вычислении пределов

С помощью разложения функции с использованием формулы Тейлора при вычислении пределов можно избавиться от неопределённостями различного вида. Проиллюстрируем использование формулы Тейлора на примере вычисления предела функции с неопределенностью вида $\left( \dfrac {0} {0}\right)$.

Пример 1

Вычислим, используя формулу Тейлора, предел:

$\lim\limits_{x \to 1 } \dfrac {e^{x}-e \cos{(x-1)}}{\sin {(x-1)}}$

Заменим ${e^{x}}$ и тригонометрические функции их разложениями в степенные ряды в окрестности $x_0=1$, находим:

$\lim\limits_{x \to 1 } \dfrac {e^{x}-e \cos{(x-1)}}{\sin {(x-1)}}=\lim\limits_{x \to 1} \dfrac {\left(e+e(x-1)+\dfrac{e(x-1)^2}{2!}+\dfrac{e(x-1)^3}{3!} +\ldots \right)-e\left( 1-\dfrac{(x-1)^2}{2!}+ \ldots \right)} {(x-1)-\dfrac{(x-1)^3}{3!}+ \ldots}= e\lim\limits_{x \to 1 } \dfrac {(x-1)+(x-1)^2+ \dfrac{(x-1)^3}{6}+\ldots} {(x-1)- \dfrac{(x-1)^3}{6}+\ldots} =e \lim\limits_{x \to 1 } \dfrac {1+(x-1) +\dfrac{(x-1)^2}{6}+\ldots} {1- \dfrac{(x-1)^2}{6}+\ldots} =e$

Не знаете, сколько стоит статья по математике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Тест по теме «Формула и ряд Тейлора»