Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости

«Школьное» уравнение прямой $y=kx+b$ не является уравнением прямой общего вида, так как не может задать вертикальные прямые, как, например, прямую $x=1$, параллельную оси ординат.

Общим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида
$Ax+By+C=0$.

Вектор $\vec{N}={A\choose B}$ на плоскости с декартовыми координатами $A$ и $B$ является вектором нормали прямой $Ax+By+C=0$, то есть перпендикулярен данной прямой.

Пример 1

Общее уравнение прямой, проходящей через точку $M(x_0,y_0)$, перпендикулярно вектору ${A\choose B}$ получается из уравнения

$A(x-x_0)+B(y-y_0)=0,$

то есть имеет вид

$Ax+By-(Ax_0+By_0)=0.$

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая $Ax+By+C=0$ пересекает обе координатных оси, причем в разных точках. Это равносильно тому, что все три числа $A,B$ и $C$ ненулевые. В этом случае уравнение $Ax+By+C=0$ можно записать как

$\frac{x}{-C/A}+\frac{y}{-C/B}=1.$

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$

Точка пересечения данной прямой с осью $Ox$ имеет абсциссу, равную $a$. Тогда как точка пересечения с осью $Oy$ имеет ординату $b$.

Нормальное уравнение прямой

Нормальным уравнением прямой называется уравнение вида

$x\cos\varphi+y\sin\varphi=d.$

Здесь $d$ – расстояние от прямой до начала координат, а угол $\varphi$ определяется наклоном вектора нормали данной прямой.

Каноническое уравнение прямой

Каноническим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида

$\frac{x-x_0}{k}=\frac{y-y_0}{l}.$

Здесь $(x_0,y_0)$ – координаты произвольной точки на прямой, а ${k\choose l}$ – координаты направляющего вектора прямой, то есть вектора, параллельного прямой.

В случае, когда $k=0$ (соответственно, $l=0$) прямая параллельна оси ординат и имеет вид $x=x_0$ (соответственно, параллельна оси абсцисс, $y=y_0$).

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $A$ и $B$ удобно записывать в каноническом виде. При этом $(x_0,y_0)$ – координаты любой из точек, а ${k\choose l}$ – координаты вектора $\overrightarrow{AB}$.

Пример 2

Уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2,0)$ и $B(3,4)$ имеет каноническую запись

$\frac{x-(-2)}{3-(-2)}=\frac{y-0}{4-0},$

то есть

$\frac{x+2}{5}=\frac{y}{4}.$

Последнее уравнение может быть приведено к общему виду

$4x-5y+8=0,$

или записано как уравнение в отрезках

$\frac{x}{-2}+\frac{y}{8/5}=1.$

На рисунке направляющий вектор изображен красным цветом.

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме “Прямая на плоскости”