Прямая на плоскости

Содержание

  1. 1. Общее уравнение прямой на плоскости
    1. 1.1. Пример 1
  2. 2. Уравнение прямой в отрезках
  3. 3. Нормальное уравнение прямой
  4. 4. Каноническое уравнение прямой
    1. 4.1. Пример 2
  5. 5. Тест по теме “Прямая на плоскости”

Общее уравнение прямой на плоскости

«Школьное» уравнение прямой y=kx+by=kx+b не является уравнением прямой общего вида, так как не может задать вертикальные прямые, как, например, прямую x=1x=1, параллельную оси ординат.

Общим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида
Ax+By+C=0Ax+By+C=0.

Вектор N=(AB)\vec{N}={A\choose B} на плоскости с декартовыми координатами AA и BB является вектором нормали прямой Ax+By+C=0Ax+By+C=0, то есть перпендикулярен данной прямой.

прямая на плосоксти 1.png

Пример 1

Общее уравнение прямой, проходящей через точку M(x0,y0)M(x_0,y_0), перпендикулярно вектору (AB){A\choose B} получается из уравнения

A(xx0)+B(yy0)=0, A(x-x_0)+B(y-y_0)=0,

то есть имеет вид

Ax+By(Ax0+By0)=0. Ax+By-(Ax_0+By_0)=0.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая Ax+By+C=0Ax+By+C=0 пересекает обе координатных оси, причем в разных точках. Это равносильно тому, что все три числа A,BA,B и CC ненулевые. В этом случае уравнение Ax+By+C=0Ax+By+C=0 можно записать как

xC/A+yC/B=1. \frac{x}{-C/A}+\frac{y}{-C/B}=1.

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида

xa+yb=1. \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.

Точка пересечения данной прямой с осью OxOx имеет абсциссу, равную aa. Тогда как точка пересечения с осью OyOy имеет ординату bb.

прямая на плоскости 2.png

Нормальное уравнение прямой

Нормальным уравнением прямой называется уравнение вида

xcosφ+ysinφ=d. x\cos\varphi+y\sin\varphi=d.

Здесь dd – расстояние от прямой до начала координат, а угол φ\varphi определяется наклоном вектора нормали данной прямой.

прямая на плскости 3.png

Каноническое уравнение прямой

Каноническим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида

xx0k=yy0l. \frac{x-x_0}{k}=\frac{y-y_0}{l}.

Здесь (x0,y0)(x_0,y_0) – координаты произвольной точки на прямой, а (kl){k\choose l} – координаты направляющего вектора прямой, то есть вектора, параллельного прямой.

В случае, когда k=0k=0 (соответственно, l=0l=0) прямая параллельна оси ординат и имеет вид x=x0x=x_0 (соответственно, параллельна оси абсцисс, y=y0y=y_0).

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки AA и BB удобно записывать в каноническом виде. При этом (x0,y0)(x_0,y_0) – координаты любой из точек, а (kl){k\choose l} – координаты вектора AB\overrightarrow{AB}.

Пример 2

Уравнение прямой, проходящей через точки A(2,0)A(-2,0) и B(3,4)B(3,4) имеет каноническую запись

x(2)3(2)=y040, \frac{x-(-2)}{3-(-2)}=\frac{y-0}{4-0},

то есть

x+25=y4. \frac{x+2}{5}=\frac{y}{4}.

Последнее уравнение может быть приведено к общему виду

4x5y+8=0, 4x-5y+8=0,

или записано как уравнение в отрезках

x2+y8/5=1. \frac{x}{-2}+\frac{y}{8/5}=1.

На рисунке направляющий вектор изображен красным цветом.

прямая на плоскости 4.png

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме “Прямая на плоскости”

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир