Обратная матрица - формула, расчет, вычисление, решение

Содержание

1. Онлайн-калькулятор
- 1.1. Формула для вычисления обратной матрицы
2. Метод элементарных преобразований
- 2.1. Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований

Матрица $B$ является обратной матрицей к квадратной матрице $A$ , если $AB = BA = E$ .
Из определения можно понять, что обратная матрица $B$ будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица $A$ (иначе какое-либо из произведений $AB$ или $BA$ будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы $A$ определяется так: $A^{-1}$ . Можно утверждать, что если $A^{-1}$ существует, то $AA^{-1} = A^{-1} A= E$ .
Также легко видеть, что $(A^{-1})^{-1} = A$ .

Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.

Онлайн-калькулятор

Квадратную матрицу $A$ можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы $A$ равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.

Важно

В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.

Формула для вычисления обратной матрицы

Обратную матрицу $A^{-1}$ к матрице $A$ можно найти по формуле:

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^*$

$\det A$ — определитель матрицы $A,$

$A^*$ — транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице $A.$

Задача 1

Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:

$A = \begin{pmatrix} 1& -2 & 0\\ \ 3 & 4 & 2\\ \ -1& 3& 1 \\ \end{pmatrix}$

Решение

Вычислим детерминант:

$\det A = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 4 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 3 \\ \end{vmatrix} = 8$

Так как $\det A \neq 0$ , то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.

Посчитаем алгебраические дополнение:

$A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = -2,$

$A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix} = -5,$

$A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 3 \\ \end{vmatrix} = 13$ ,

$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 2$ ,

$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1$ ,

$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{vmatrix} = -1$ ,

$A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 4 & 2 \\ \end{vmatrix} = -4$ ,

$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix} = -2$ ,

$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = 10.$

Обратная матрица:

$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} -2 & 2 & -4 \\ -5 & 1 & -2 \\ 13 & -1 & 10 \\ \end{pmatrix}$

Важно

Чтобы избежать ошибок, необходимо сделать проверку: для этого нужно посчитать произведение первоначальной матрицы на конечную. Если в результате получится единичная матрица, то вы нашли обратную матрицу безошибочно.

Задача 2

Найдите обратную матрицу для матрицы:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ -2 & 5 \\ \end{pmatrix}$

Решение

$\det A= 11 \neq 0 \rightarrow A^{-1}$ – существует.

$A_{11} = (-1)^ {1+1} \cdot 5 = 5$ ,

$A_{12} = (-1)^ {1+2} \cdot (-2) = 2$ ,

$A_{21} = (-1)^ {2+1} \cdot 3 = -3$ ,

$A_{22} = (-1)^ {2+2} \cdot 1 = 1.$

Ответ:

$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Нами был рассмотрен способ нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований

Из исходной матрицы $A$ и единичной матрицы $E$ того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида $\begin{pmatrix}A|E\end{pmatrix}$ .
С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: $\begin{pmatrix}E|A^{-1}\end{pmatrix}$ .
Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.

Задача 1

Найти матрицу $K^{-1}$ , если $K=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ .

Из матрицы $K$ второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&3\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$ .

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&3\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-3\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$ .

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

$K^{-1}=\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}$ .

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

$K\cdot K^{-1}=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+3\cdot0&1\cdot(-3)+3\cdot1\\0\cdot1+1\cdot0&0\cdot(-3)+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ .

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Задача 2

Найти матрицу $F^{-1}$ , если $F=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&3&3\end{pmatrix}$ .

Из матрицы $F$ третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1&0\\0&1&0\\0&3&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$ .

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1&0\\0&1&0\\0&3&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&3&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$ .

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&3&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-3&1\end{matrix}\end{pmatrix}$ .

Умножим строку №3 на $\frac{1}{3}$ :

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-3&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\end{pmatrix}$ .

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

$F^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-1&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ .

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

$F\cdot F^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&3&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-1&\frac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Выполнение контрольных работ на заказ недорого от профильных авторов на бирже Студворк!