Обратная матрица

Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:

$A = \begin{pmatrix} 1& -2 & 0\\ \ 3 & 4 & 2\\ \ -1& 3& 1 \\ \end{pmatrix}$

Решение

Вычислим детерминант:

$\det A = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 4 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 3 \\ \end{vmatrix} = 8$

Так как $\det A \neq 0$, то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.

Посчитаем алгебраические дополнение:

$A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = -2,$

$A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix} = -5,$

$A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 3 \\ \end{vmatrix} = 13$,

$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 2$,

$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1$,

$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{vmatrix} = -1$,

$A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 4 & 2 \\ \end{vmatrix} = -4$,

$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix} = -2$,

$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} = 10.$

Обратная матрица:

$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} -2 & 2 & -4 \\ -5 & 1 & -2 \\ 13 & -1 & 10 \\ \end{pmatrix}$

Найдите обратную матрицу для матрицы:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ -2 & 5 \\ \end{pmatrix}$

Решение

$\det A= 11 \neq 0 \rightarrow A^{-1}$ – существует.

$A_{11} = (-1)^ {1+1} \cdot 5 = 5$,

$A_{12} = (-1)^ {1+2} \cdot (-2) = 2$,

$A_{21} = (-1)^ {2+1} \cdot 3 = -3$,

$A_{22} = (-1)^ {2+2} \cdot 1 = 1.$

Ответ:

$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Найти матрицу $K^{-1}$, если $K=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$.

Из матрицы $K$ второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&3\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&3\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-3\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

$K^{-1}=\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}$.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

$K\cdot K^{-1}=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+3\cdot0&1\cdot(-3)+3\cdot1\\0\cdot1+1\cdot0&0\cdot(-3)+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Найти матрицу $F^{-1}$, если $F=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&3&3\end{pmatrix}$.

Из матрицы $F$ третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1&0\\0&1&0\\0&3&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1&0\\0&1&0\\0&3&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&3&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&3&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-3&1\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Умножим строку №3 на $\frac{1}{3}$:

$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-3&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\end{pmatrix}$.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

$F^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-1&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

$F\cdot F^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&3&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&-1&\frac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.

Значит, обратная матрица найдена правильно.