Что такое определитель матрицы третьего порядка - формула, расчет, вычисление, решение

Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.

Вычисление определителей по правилу треугольника

Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка 1.png

Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».

Произведения, которые берутся со знаком «+»	Произведения, которые берутся со знаком «-»
$a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$	$a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}$
$a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}$	$a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21}$
$a_{13} \cdot a_{32} \cdot a_{21}$	$a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}$

На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.

Определитель может быть вычислен по формуле:

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$

$=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{32}\cdot a_{21}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}$ .

Примеры

Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.

Пример 1

Найти определитель $\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}$ по правилу треугольника.

По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:

$\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}=9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot3\cdot1-5\cdot4\cdot6-2\cdot7\cdot1-9\cdot8\cdot3=$

$=252+96+15-120-14-216=13$ .

Пример 2

Найти определитель $\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}$ по правилу треугольника.

Искомый определитель третьего порядка равен:

$\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}=$

$=2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot0\cdot6-(-4)\cdot(-3)\cdot1-1\cdot(-1)\cdot6-2\cdot5\cdot0=6+5-12+6=5$ .

При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».

Вычисление определителей по правилу Саррюса

Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.

Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.

Вычисления будем производить по следующей схеме:

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка 2.png

Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.

Произведения, которые берутся со знаком «+»	Произведения, которые берутся со знаком «-»
$a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$	$a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}$
$a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}$	$a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}$
$a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}$	$a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}$

В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}=$

$=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}$ .

Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.

Примеры

Пример 1

Найти определитель $\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}$ по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

$\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}\begin{matrix}9&2\\1&4\\6&3\end{matrix}=$

$=9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot1\cdot3-5\cdot4\cdot6-9\cdot8\cdot3-2\cdot1\cdot7=252+96+15-120-216-14=13$ .

Пример 2

Найти определитель $\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}$ по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

$\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}\begin{matrix}2&1\\6&-3\\1&0\end{matrix}=$

$=2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot6\cdot0-(-4)\cdot(-3)\cdot1-2\cdot5\cdot0-1\cdot6\cdot(-1)=6+5-12+6=5$ .

Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.

Минор и алгебраическое дополнение

Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.

Минор

Минором $M_{ij}$ к элементу $a_{ij}$ определителя n-го порядка называется определитель $(n-1)$ -го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием $i$ -той строки и $j$ -того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, $M_{11}$ получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, $M_{23}$ — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.

Алгоритм нахождения миноров:

вычеркиваем $i$ -ю строку;
вычеркиваем $j$ -й столбец;
записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Примеры

Пример 1

Найти миноры матрицы $F=\begin{pmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{pmatrix}$ .

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.

$M_{11}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\\color{green}1&4&8\\\color{green}6&3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4&8\\3&7\end{vmatrix}=4\cdot7-3\cdot8=28-24=4$ ,

$M_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\1&\color{green}4&8\\6&\color{green}3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}=1\cdot7-6\cdot8=7-48=-41$ ,

$M_{13}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\1&4&\color{green}8\\6&3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&4\\6&3\end{vmatrix}=1\cdot3-6\cdot4=3-24=-21$ ,

$M_{21}=\begin{vmatrix}\color{green}9&2&5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\\color{green}6&3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&5\\3&7\end{vmatrix}=2\cdot7-3\cdot5=14-15=-1$ ,

$M_{22}=\begin{vmatrix}9&\color{green}2&5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\6&\color{green}3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}=9\cdot7-6\cdot5=63-30=33$ ,

$M_{23}=\begin{vmatrix}9&2&\color{green}5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\6&3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&2\\6&3\end{vmatrix}=9\cdot3-6\cdot2=27-12=15$ ,

$M_{31}=\begin{vmatrix}\color{green}9&2&5\\\color{green}1&4&8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&5\\4&8\end{vmatrix}=2\cdot8-4\cdot5=16-20=-4$ ,

$M_{32}=\begin{vmatrix}9&\color{green}2&5\\1&\color{green}4&8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=9\cdot8-1\cdot5=72-5=67$ ,

$M_{33}=\begin{vmatrix}9&2&\color{green}5\\1&4&\color{green}8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&2\\1&4\end{vmatrix}=9\cdot4-1\cdot2=36-2=34$ .

Пример 2

Найти миноры матрицы $G=\begin{pmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{pmatrix}$ .

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.

$M_{11}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\\color{green}6&-3&5\\\color{green}1&0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-3&5\\0&-1\end{vmatrix}=(-3)\cdot(-1)-0\cdot5=3-0=3$ ,

$M_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\6&\color{green}-3&5\\1&\color{green}0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&5\\1&-1\end{vmatrix}=6\cdot(-1)-1\cdot5=-6-5=-11$ ,

$M_{13}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\6&-3&\color{green}5\\1&0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&-3\\1&0\end{vmatrix}=6\cdot0-1\cdot(-3)=0+3=3$ ,

$M_{21}=\begin{vmatrix}\color{green}2&1&-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\\color{green}1&0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-4\\0&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot(-4)=-1-0=-1$ ,

$M_{22}=\begin{vmatrix}2&\color{green}1&-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\1&\color{green}0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-4\\1&-1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot(-4)=-2+4=2$ ,

$M_{23}=\begin{vmatrix}2&1&\color{green}-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\1&0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot0-1\cdot1=0-1=-1$ ,

$M_{31}=\begin{vmatrix}\color{green}2&1&-4\\\color{green}6&-3&5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&-4\\-3&5\end{vmatrix}=1\cdot5-(-3)\cdot(-4)=5-12=-7$ ,

$M_{32}=\begin{vmatrix}2&\color{green}1&-4\\6&\color{green}-3&5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}=2\cdot5-6\cdot(-4)=10+24=34$ ,

$M_{33}=\begin{vmatrix}2&1&\color{green}-4\\6&-3&\color{green}5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=2\cdot(-3)-6\cdot1=-6-6=-12$ .

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ к элементу $a_{ij}$ определителя $n$ -го порядка называется число $A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$ ,

где $i$ , $j$ — соответствующие строка и столбец,

$M_{ij}$ — минор к элементу $a_{ij}$ .

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:

найти сумму номеров строки $(i)$ и столбца $(j)$ ;
найти минор $M_{ij}$ по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу $A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$ .

Примеры

Пример 1

Найти алгебраические дополнения матрицы $F=\begin{pmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{pmatrix}$ .

$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}= (-1)^{2}\cdot\begin{vmatrix}4&8\\3&7\end{vmatrix}=4$ ,

$A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}= (-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}=41$ ,

$A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}= (-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}1&4\\6&3\end{vmatrix}=-21$ ,

$A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}= (-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\3&7\end{vmatrix}=1$ ,

$A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}= (-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}=33$ ,

$A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}= (-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}9&2\\6&3\end{vmatrix}=-15$ ,

$A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\4&8\end{vmatrix}=-4$ ,

$A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=-67$ ,

$A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}9&2\\1&4\end{vmatrix}=34$ .

Пример 2

Найти алгебраические дополнения матрицы $G=\begin{pmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{pmatrix}$ .

$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}=(-1)^{2}\cdot\begin{vmatrix}-3&5\\0&-1\end{vmatrix}=3$ ,

$A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}6&5\\1&-1\end{vmatrix}=11$ ,

$A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}6&-3\\1&0\end{vmatrix}=3$ ,

$A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}1&-4\\0&-1\end{vmatrix}=1$ ,

$A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}2&-4\\1&-1\end{vmatrix}=2$ ,

$A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=1$ ,

$A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}1&-4\\-3&5\end{vmatrix}=-7$ ,

$A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}=-34$ ,

$A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=-12$ .

Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.

Вычисление определителя по строке или столбцу

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:

находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.

Примеры

Пример 1

Найти определитель $\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}$ по 2 столбцу.

$\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}=2\cdot A_{12}+4\cdot A_{22}+3\cdot$

$A_{32}=2(-1)^{3}M_{12}+4(-1)^{4}M_{22}+3(-1)^{5}M_{32}=2(-1)^{3}\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}+4(-1)^{4}\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}+3(-1)^{5}\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=$

$=-2\cdot(-41)+4\cdot33-3\cdot67=82+132-201=13$ .

Пример 2

Найти определитель $\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}$ по 3 строке.

$\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}=1\cdot A_{31}+0\cdot A_{32}-1\cdot A_{33}=1(-1)^{4}M_{31}+0(-1)^{5}M_{32}-1(-1)^{6}M_{33}=$

$=1(-1)^{4}\begin{vmatrix}1&-4\\-3&5\end{vmatrix}+0(-1)^{5}\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}-1(-1)^{6}\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=-7+0+12=5$ .

Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка

Вычисление определителей по правилу треугольника

Примеры

Вычисление определителей по правилу Саррюса

Примеры

Минор и алгебраическое дополнение

Минор

Примеры

Алгебраическое дополнение

Примеры

Вычисление определителя по строке или столбцу

Примеры

Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка»

Комментарии
0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка

Вычисление определителей по правилу треугольника

Примеры

Вычисление определителей по правилу Саррюса

Примеры

Минор и алгебраическое дополнение

Минор

Примеры

Алгебраическое дополнение

Примеры

Вычисление определителя по строке или столбцу

Примеры

Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка»

Комментарии 0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
0