Как вычислить определитель матрицы третьего порядка

Содержание

  1. 1. Вычисление определителей по правилу треугольника
    1. 1.1. Примеры
  2. 2. Вычисление определителей по правилу Саррюса
    1. 2.1. Примеры
  3. 3. Минор и алгебраическое дополнение
    1. 3.1. Минор
    2. 3.2. Примеры
    3. 3.3. Алгебраическое дополнение
    4. 3.4. Примеры
  4. 4. Вычисление определителя по строке или столбцу
    1. 4.1. Примеры
  5. 5. Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка»

Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.

Вычисление определителей по правилу треугольника

Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка 1.png

Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».

Произведения, которые берутся со знаком «+» Произведения, которые берутся со знаком «-»
a11a22a33a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} a13a22a31a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}
a12a23a31a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} a12a33a21a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21}
a13a32a21a_{13} \cdot a_{32} \cdot a_{21} a11a23a32a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}

На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.

Определитель может быть вычислен по формуле:

a11a12a13a21a22a23a31a32a33=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=

=a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21a13a22a31a12a33a21a11a23a32=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{32}\cdot a_{21}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{33}\cdot a_{21}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}.

Примеры

Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.

Пример 1

Найти определитель 925148637\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} по правилу треугольника.

По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:

925148637=947+286+531546271983=\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}=9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot3\cdot1-5\cdot4\cdot6-2\cdot7\cdot1-9\cdot8\cdot3=

=252+96+1512014216=13=252+96+15-120-14-216=13.

Пример 2

Найти определитель 214635101\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} по правилу треугольника.

Искомый определитель третьего порядка равен:

214635101=\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}=

=2(3)(1)+151+(4)06(4)(3)11(1)6250=6+512+6=5=2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot0\cdot6-(-4)\cdot(-3)\cdot1-1\cdot(-1)\cdot6-2\cdot5\cdot0=6+5-12+6=5.

При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».

Вычисление определителей по правилу Саррюса

Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.

Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.

Вычисления будем производить по следующей схеме:

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка 2.png

Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.

Произведения, которые берутся со знаком «+» Произведения, которые берутся со знаком «-»
a11a22a33a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} a13a22a31a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}
a12a23a31a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} a11a23a32a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}
a13a21a32a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} a12a21a33a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}

В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:

a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11a12a21a22a31a32=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}=

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12a21a33=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}.

Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.

Примеры

Пример 1

Найти определитель 925148637\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

925148637921463=\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}\begin{matrix}9&2\\1&4\\6&3\end{matrix}=

=947+286+513546983217=252+96+1512021614=13=9\cdot4\cdot7+2\cdot8\cdot6+5\cdot1\cdot3-5\cdot4\cdot6-9\cdot8\cdot3-2\cdot1\cdot7=252+96+15-120-216-14=13.

Пример 2

Найти определитель 214635101\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

214635101216310=\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}\begin{matrix}2&1\\6&-3\\1&0\end{matrix}=

=2(3)(1)+151+(4)60(4)(3)125016(1)=6+512+6=5=2\cdot(-3)\cdot(-1)+1\cdot5\cdot1+(-4)\cdot6\cdot0-(-4)\cdot(-3)\cdot1-2\cdot5\cdot0-1\cdot6\cdot(-1)=6+5-12+6=5.

Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.

Минор и алгебраическое дополнение

Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.

Минор

Минор

Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется определитель (n1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M11M_{11} получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, M23M_{23} — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.

Алгоритм нахождения миноров:

  1. вычеркиваем ii-ю строку;
  2. вычеркиваем jj-й столбец;
  3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Примеры

Пример 1

Найти миноры матрицы F=(925148637)F=\begin{pmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.

M11=925148637=4837=4738=2824=4M_{11}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\\color{green}1&4&8\\\color{green}6&3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4&8\\3&7\end{vmatrix}=4\cdot7-3\cdot8=28-24=4,

M12=925148637=1867=1768=748=41M_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\1&\color{green}4&8\\6&\color{green}3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}=1\cdot7-6\cdot8=7-48=-41,

M13=925148637=1463=1364=324=21M_{13}=\begin{vmatrix}\color{green}9&\color{green}2&\color{green}5\\1&4&\color{green}8\\6&3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&4\\6&3\end{vmatrix}=1\cdot3-6\cdot4=3-24=-21,

M21=925148637=2537=2735=1415=1M_{21}=\begin{vmatrix}\color{green}9&2&5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\\color{green}6&3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&5\\3&7\end{vmatrix}=2\cdot7-3\cdot5=14-15=-1,

M22=925148637=9567=9765=6330=33M_{22}=\begin{vmatrix}9&\color{green}2&5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\6&\color{green}3&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}=9\cdot7-6\cdot5=63-30=33,

M23=925148637=9263=9362=2712=15M_{23}=\begin{vmatrix}9&2&\color{green}5\\\color{green}1&\color{green}4&\color{green}8\\6&3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&2\\6&3\end{vmatrix}=9\cdot3-6\cdot2=27-12=15,

M31=925148637=2548=2845=1620=4M_{31}=\begin{vmatrix}\color{green}9&2&5\\\color{green}1&4&8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&5\\4&8\end{vmatrix}=2\cdot8-4\cdot5=16-20=-4,

M32=925148637=9518=9815=725=67M_{32}=\begin{vmatrix}9&\color{green}2&5\\1&\color{green}4&8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=9\cdot8-1\cdot5=72-5=67,

M33=925148637=9214=9412=362=34M_{33}=\begin{vmatrix}9&2&\color{green}5\\1&4&\color{green}8\\\color{green}6&\color{green}3&\color{green}7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9&2\\1&4\end{vmatrix}=9\cdot4-1\cdot2=36-2=34.

Пример 2

Найти миноры матрицы G=(214635101)G=\begin{pmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.

M11=214635101=3501=(3)(1)05=30=3M_{11}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\\color{green}6&-3&5\\\color{green}1&0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-3&5\\0&-1\end{vmatrix}=(-3)\cdot(-1)-0\cdot5=3-0=3,

M12=214635101=6511=6(1)15=65=11M_{12}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\6&\color{green}-3&5\\1&\color{green}0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&5\\1&-1\end{vmatrix}=6\cdot(-1)-1\cdot5=-6-5=-11,

M13=214635101=6310=601(3)=0+3=3M_{13}=\begin{vmatrix}\color{green}2&\color{green}1&\color{green}-4\\6&-3&\color{green}5\\1&0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&-3\\1&0\end{vmatrix}=6\cdot0-1\cdot(-3)=0+3=3,

M21=214635101=1401=1(1)0(4)=10=1M_{21}=\begin{vmatrix}\color{green}2&1&-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\\color{green}1&0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-4\\0&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot(-4)=-1-0=-1,

M22=214635101=2411=2(1)1(4)=2+4=2M_{22}=\begin{vmatrix}2&\color{green}1&-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\1&\color{green}0&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-4\\1&-1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot(-4)=-2+4=2,

M23=214635101=2110=2011=01=1M_{23}=\begin{vmatrix}2&1&\color{green}-4\\\color{green}6&\color{green}-3&\color{green}5\\1&0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot0-1\cdot1=0-1=-1,

M31=214635101=1435=15(3)(4)=512=7M_{31}=\begin{vmatrix}\color{green}2&1&-4\\\color{green}6&-3&5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&-4\\-3&5\end{vmatrix}=1\cdot5-(-3)\cdot(-4)=5-12=-7,

M32=214635101=2465=256(4)=10+24=34M_{32}=\begin{vmatrix}2&\color{green}1&-4\\6&\color{green}-3&5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}=2\cdot5-6\cdot(-4)=10+24=34,

M33=214635101=2163=2(3)61=66=12M_{33}=\begin{vmatrix}2&1&\color{green}-4\\6&-3&\color{green}5\\\color{green}1&\color{green}0&\color{green}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=2\cdot(-3)-6\cdot1=-6-6=-12.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется число Aij=(1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij},

где ii, jj — соответствующие строка и столбец,

MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:

  1. найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
  2. найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
  3. подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}.

Примеры

Пример 1

Найти алгебраические дополнения матрицы F=(925148637)F=\begin{pmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{pmatrix}.

A11=(1)1+1M11=(1)24837=4A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}= (-1)^{2}\cdot\begin{vmatrix}4&8\\3&7\end{vmatrix}=4,

A12=(1)1+2M12=(1)31867=41A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}= (-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}=41,

A13=(1)1+3M13=(1)41463=21A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}= (-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}1&4\\6&3\end{vmatrix}=-21,

A21=(1)2+1M21=(1)32537=1A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}= (-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\3&7\end{vmatrix}=1,

A22=(1)2+2M22=(1)49567=33A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}= (-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}=33,

A23=(1)2+3M23=(1)59263=15A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}= (-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}9&2\\6&3\end{vmatrix}=-15,

A31=(1)3+1M31=(1)42548=4A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}2&5\\4&8\end{vmatrix}=-4,

A32=(1)3+2M32=(1)59518=67A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=-67,

A33=(1)3+3M33=(1)69214=34A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}9&2\\1&4\end{vmatrix}=34.

Пример 2

Найти алгебраические дополнения матрицы G=(214635101)G=\begin{pmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{pmatrix}.

A11=(1)1+1M11=(1)23501=3A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot M_{11}=(-1)^{2}\cdot\begin{vmatrix}-3&5\\0&-1\end{vmatrix}=3,

A12=(1)1+2M12=(1)36511=11A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}6&5\\1&-1\end{vmatrix}=11,

A13=(1)1+3M13=(1)46310=3A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot M_{13}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}6&-3\\1&0\end{vmatrix}=3,

A21=(1)2+1M21=(1)31401=1A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot M_{21}=(-1)^{3}\cdot\begin{vmatrix}1&-4\\0&-1\end{vmatrix}=1,

A22=(1)2+2M22=(1)42411=2A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot M_{22}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}2&-4\\1&-1\end{vmatrix}=2,

A23=(1)2+3M23=(1)52110=1A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=1,

A31=(1)3+1M31=(1)41435=7A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot M_{31}=(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix}1&-4\\-3&5\end{vmatrix}=-7,

A32=(1)3+2M32=(1)52465=34A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}=-34,

A33=(1)3+3M33=(1)62163=12A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot M_{33}=(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=-12.

Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.

Вычисление определителя по строке или столбцу

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:

  1. находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
  2. находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
  3. находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.

Примеры

Пример 1

Найти определитель 925148637\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix} по 2 столбцу.

925148637=2A12+4A22+3\begin{vmatrix}9&2&5\\1&4&8\\6&3&7\end{vmatrix}=2\cdot A_{12}+4\cdot A_{22}+3\cdot

A32=2(1)3M12+4(1)4M22+3(1)5M32=2(1)31867+4(1)49567+3(1)59518=A_{32}=2(-1)^{3}M_{12}+4(-1)^{4}M_{22}+3(-1)^{5}M_{32}=2(-1)^{3}\begin{vmatrix}1&8\\6&7\end{vmatrix}+4(-1)^{4}\begin{vmatrix}9&5\\6&7\end{vmatrix}+3(-1)^{5}\begin{vmatrix}9&5\\1&8\end{vmatrix}=

=2(41)+433367=82+132201=13=-2\cdot(-41)+4\cdot33-3\cdot67=82+132-201=13.

Пример 2

Найти определитель 214635101\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix} по 3 строке.

214635101=1A31+0A321A33=1(1)4M31+0(1)5M321(1)6M33=\begin{vmatrix}2&1&-4\\6&-3&5\\1&0&-1\end{vmatrix}=1\cdot A_{31}+0\cdot A_{32}-1\cdot A_{33}=1(-1)^{4}M_{31}+0(-1)^{5}M_{32}-1(-1)^{6}M_{33}=

=1(1)41435+0(1)524651(1)62163=7+0+12=5=1(-1)^{4}\begin{vmatrix}1&-4\\-3&5\end{vmatrix}+0(-1)^{5}\begin{vmatrix}2&-4\\6&5\end{vmatrix}-1(-1)^{6}\begin{vmatrix}2&1\\6&-3\end{vmatrix}=-7+0+12=5.

Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка»

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир