Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.
Вычисление определителей по правилу треугольника
Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:
Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».
| Произведения, которые берутся со знаком «+» | Произведения, которые берутся со знаком «-» |
|---|---|
| a11⋅a22⋅a33a11⋅a22⋅a33 | a13⋅a22⋅a31a13⋅a22⋅a31 |
| a12⋅a23⋅a31a12⋅a23⋅a31 | a12⋅a33⋅a21a12⋅a33⋅a21 |
| a13⋅a32⋅a21a13⋅a32⋅a21 | a11⋅a23⋅a32a11⋅a23⋅a32 |
На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.
Определитель может быть вычислен по формуле:
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=
=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a32⋅a21−a13⋅a22⋅a31−a12⋅a33⋅a21−a11⋅a23⋅a32=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a32⋅a21−a13⋅a22⋅a31−a12⋅a33⋅a21−a11⋅a23⋅a32.
Примеры
Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.
Найти определитель ∣925148637∣∣925148637∣ по правилу треугольника.
По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:
∣925148637∣=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅3⋅1−5⋅4⋅6−2⋅7⋅1−9⋅8⋅3=∣925148637∣=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅3⋅1−5⋅4⋅6−2⋅7⋅1−9⋅8⋅3=
=252+96+15−120−14−216=13=252+96+15−120−14−216=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣∣21−46−3510−1∣ по правилу треугольника.
Искомый определитель третьего порядка равен:
∣21−46−3510−1∣=∣21−46−3510−1∣=
=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅0⋅6−(−4)⋅(−3)⋅1−1⋅(−1)⋅6−2⋅5⋅0=6+5−12+6=5=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅0⋅6−(−4)⋅(−3)⋅1−1⋅(−1)⋅6−2⋅5⋅0=6+5−12+6=5.
При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».
Вычисление определителей по правилу Саррюса
Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.
Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.
Вычисления будем производить по следующей схеме:
Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.
| Произведения, которые берутся со знаком «+» | Произведения, которые берутся со знаком «-» |
|---|---|
| a11⋅a22⋅a33a11⋅a22⋅a33 | a13⋅a22⋅a31a13⋅a22⋅a31 |
| a12⋅a23⋅a31a12⋅a23⋅a31 | a11⋅a23⋅a32a11⋅a23⋅a32 |
| a13⋅a21⋅a32a13⋅a21⋅a32 | a12⋅a21⋅a33a12⋅a21⋅a33 |
В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣a11a12a21a22a31a32=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣a11a12a21a22a31a32=
=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32−a13⋅a22⋅a31−a11⋅a23⋅a32−a12⋅a21⋅a33=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32−a13⋅a22⋅a31−a11⋅a23⋅a32−a12⋅a21⋅a33.
Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.
Примеры
Найти определитель ∣925148637∣∣925148637∣ по правилу Саррюса.
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣925148637∣921463=∣925148637∣921463=
=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅1⋅3−5⋅4⋅6−9⋅8⋅3−2⋅1⋅7=252+96+15−120−216−14=13=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅1⋅3−5⋅4⋅6−9⋅8⋅3−2⋅1⋅7=252+96+15−120−216−14=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣∣21−46−3510−1∣ по правилу Саррюса.
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣21−46−3510−1∣216−310=∣21−46−3510−1∣216−310=
=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅6⋅0−(−4)⋅(−3)⋅1−2⋅5⋅0−1⋅6⋅(−1)=6+5−12+6=5=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅6⋅0−(−4)⋅(−3)⋅1−2⋅5⋅0−1⋅6⋅(−1)=6+5−12+6=5.
Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.
Минор и алгебраическое дополнение
Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.
Минор
Минором MijMij к элементу aijaij определителя n-го порядка называется определитель (n−1)(n−1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.
Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M11M11 получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, M23M23 — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров:
- вычеркиваем ii-ю строку;
- вычеркиваем jj-й столбец;
- записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.
Примеры
Найти миноры матрицы F=(925148637)F=(925148637).
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M11=∣925148637∣=∣4837∣=4⋅7−3⋅8=28−24=4M11=∣925148637∣=∣4837∣=4⋅7−3⋅8=28−24=4,
M12=∣925148637∣=∣1867∣=1⋅7−6⋅8=7−48=−41M12=∣925148637∣=∣1867∣=1⋅7−6⋅8=7−48=−41,
M13=∣925148637∣=∣1463∣=1⋅3−6⋅4=3−24=−21M13=∣925148637∣=∣1463∣=1⋅3−6⋅4=3−24=−21,
M21=∣925148637∣=∣2537∣=2⋅7−3⋅5=14−15=−1M21=∣925148637∣=∣2537∣=2⋅7−3⋅5=14−15=−1,
M22=∣925148637∣=∣9567∣=9⋅7−6⋅5=63−30=33M22=∣925148637∣=∣9567∣=9⋅7−6⋅5=63−30=33,
M23=∣925148637∣=∣9263∣=9⋅3−6⋅2=27−12=15M23=∣925148637∣=∣9263∣=9⋅3−6⋅2=27−12=15,
M31=∣925148637∣=∣2548∣=2⋅8−4⋅5=16−20=−4M31=∣925148637∣=∣2548∣=2⋅8−4⋅5=16−20=−4,
M32=∣925148637∣=∣9518∣=9⋅8−1⋅5=72−5=67M32=∣925148637∣=∣9518∣=9⋅8−1⋅5=72−5=67,
M33=∣925148637∣=∣9214∣=9⋅4−1⋅2=36−2=34M33=∣925148637∣=∣9214∣=9⋅4−1⋅2=36−2=34.
Найти миноры матрицы G=(21−46−3510−1)G=(21−46−3510−1).
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M11=∣21−46−3510−1∣=∣−350−1∣=(−3)⋅(−1)−0⋅5=3−0=3M11=∣21−46−3510−1∣=∣−350−1∣=(−3)⋅(−1)−0⋅5=3−0=3,
M12=∣21−46−3510−1∣=∣651−1∣=6⋅(−1)−1⋅5=−6−5=−11M12=∣21−46−3510−1∣=∣651−1∣=6⋅(−1)−1⋅5=−6−5=−11,
M13=∣21−46−3510−1∣=∣6−310∣=6⋅0−1⋅(−3)=0+3=3M13=∣21−46−3510−1∣=∣6−310∣=6⋅0−1⋅(−3)=0+3=3,
M21=∣21−46−3510−1∣=∣1−40−1∣=1⋅(−1)−0⋅(−4)=−1−0=−1M21=∣21−46−3510−1∣=∣1−40−1∣=1⋅(−1)−0⋅(−4)=−1−0=−1,
M22=∣21−46−3510−1∣=∣2−41−1∣=2⋅(−1)−1⋅(−4)=−2+4=2M22=∣21−46−3510−1∣=∣2−41−1∣=2⋅(−1)−1⋅(−4)=−2+4=2,
M23=∣21−46−3510−1∣=∣2110∣=2⋅0−1⋅1=0−1=−1M23=∣21−46−3510−1∣=∣2110∣=2⋅0−1⋅1=0−1=−1,
M31=∣21−46−3510−1∣=∣1−4−35∣=1⋅5−(−3)⋅(−4)=5−12=−7M31=∣21−46−3510−1∣=∣1−4−35∣=1⋅5−(−3)⋅(−4)=5−12=−7,
M32=∣21−46−3510−1∣=∣2−465∣=2⋅5−6⋅(−4)=10+24=34M32=∣21−46−3510−1∣=∣2−465∣=2⋅5−6⋅(−4)=10+24=34,
M33=∣21−46−3510−1∣=∣216−3∣=2⋅(−3)−6⋅1=−6−6=−12M33=∣21−46−3510−1∣=∣216−3∣=2⋅(−3)−6⋅1=−6−6=−12.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением AijAij к элементу aijaij определителя nn-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅MijAij=(−1)i+j⋅Mij,
где ii, jj — соответствующие строка и столбец,
MijMij — минор к элементу aijaij.
Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:
- найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
- найти минор MijMij по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
- подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijAij=(−1)i+j⋅Mij.
Примеры
Найти алгебраические дополнения матрицы F=(925148637)F=(925148637).
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣4837∣=4A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣4837∣=4,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣1867∣=41A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣1867∣=41,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣1463∣=−21A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣1463∣=−21,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣2537∣=1A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣2537∣=1,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣9567∣=33,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣9263∣=−15,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣2548∣=−4,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣9518∣=−67,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣9214∣=34.
Найти алгебраические дополнения матрицы G=(21−46−3510−1).
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣−350−1∣=3,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣651−1∣=11,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣6−310∣=3,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣1−40−1∣=1,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣2−41−1∣=2,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣2110∣=1,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣1−4−35∣=−7,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣2−465∣=−34,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣216−3∣=−12.
Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.
Вычисление определителя по строке или столбцу
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:
- находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
- находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
- находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.
Примеры
Найти определитель ∣925148637∣ по 2 столбцу.
∣925148637∣=2⋅A12+4⋅A22+3⋅
A32=2(−1)3M12+4(−1)4M22+3(−1)5M32=2(−1)3∣1867∣+4(−1)4∣9567∣+3(−1)5∣9518∣=
=−2⋅(−41)+4⋅33−3⋅67=82+132−201=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣ по 3 строке.
∣21−46−3510−1∣=1⋅A31+0⋅A32−1⋅A33=1(−1)4M31+0(−1)5M32−1(−1)6M33=
=1(−1)4∣1−4−35∣+0(−1)5∣2−465∣−1(−1)6∣216−3∣=−7+0+12=5.
Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.
На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!
Комментарии