Если вы приступили к изучению данной темы, то вы уже знакомы с понятием определителя матрицы и умеете находить определители первого, второго и третьего порядка.
Прежде чем начать рассмотрение новой темы, рекомендуется повторить правило вычисления определителя по строке и столбцу, рассматривающееся в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка» , свойства определителей , а также нахождение миноров и алгебраических дополнений .
Разложение определителей по строкам или столбцам
Для вычисления определителей высших порядков применяется способ разложения определителя по строке или столбцу. Это позволяет представить детерминант в виде суммы произведений элементов какой-либо его строки или столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения. В таком случае вычисление определителя n n n -го порядка сводится к вычислению определителей n − 1 n-1 n − 1 -го порядка.
Пример 1
Найти определитель ∣ 3 2 4 5 4 − 3 2 − 4 5 − 2 − 3 − 7 − 3 4 2 9 ∣ \begin{vmatrix}3&2&4&5\\4&-3&2&-4\\5&-2&-3&-7\\-3&4&2&9\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 4 5 − 3 2 − 3 − 2 4 4 2 − 3 2 5 − 4 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ двумя способами:
по 2-й строке;
по 3-у столбцу.
1 способ. Разложим определитель 4-го порядка по строке №2 и вычислим его:
∣ 3 2 4 5 4 − 3 2 − 4 5 − 2 − 3 − 7 − 3 4 2 9 ∣ = 4 ( − 1 ) 2 + 1 ∣ 2 4 5 − 2 − 3 − 7 4 2 9 ∣ + ( − 3 ) ( − 1 ) 2 + 2 ∣ 3 4 5 5 − 3 − 7 − 3 2 9 ∣ + 2 ( − 1 ) 2 + 3 ∣ 3 2 5 5 − 2 − 7 − 3 4 9 ∣ + ( − 4 ) ( − 1 ) 2 + 4 ∣ 3 2 4 5 − 2 − 3 − 3 4 2 ∣ = \begin{vmatrix}3&2&4&5\\4&-3&2&-4\\5&-2&-3&-7\\-3&4&2&9\end{vmatrix}=4(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}2&4&5\\-2&-3&-7\\4&2&9\end{vmatrix}+(-3)(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}3&4&5\\5&-3&-7\\-3&2&9\end{vmatrix}+2(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}3&2&5\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}+(-4)(-1)^{2+4}\begin{vmatrix}3&2&4\\5&-2&-3\\-3&4&2\end{vmatrix}= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 4 5 − 3 2 − 3 − 2 4 4 2 − 3 2 5 − 4 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 ( − 1 ) 2 + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 2 4 4 − 3 2 5 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + ( − 3 ) ( − 1 ) 2 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 5 − 3 4 − 3 2 5 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 2 ( − 1 ) 2 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 5 − 3 2 − 2 4 5 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + ( − 4 ) ( − 1 ) 2 + 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 5 − 3 2 − 2 4 4 − 3 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =
= − 4 ∣ 2 4 5 − 2 − 3 − 7 4 2 9 ∣ − 3 ∣ 3 4 5 5 − 3 − 7 − 3 2 9 ∣ − 2 ∣ 3 2 5 5 − 2 − 7 − 3 4 9 ∣ − 4 ∣ 3 2 4 5 − 2 − 3 − 3 4 2 ∣ = − 4 ( − 54 − 20 − 112 + 60 + 28 + 72 ) − 3 ( − 81 + 50 + 84 − 45 + 42 − 180 ) − 2 ( − 54 + 100 + 42 − 30 + 84 − 90 ) − 4 ( − 12 + 80 + 18 − 24 + 36 − 20 ) = − 4 ( − 26 ) − 3 ( − 130 ) − 2 ⋅ 52 − 4 ⋅ 78 = 104 + 390 − 104 − 312 = 78 =-4\begin{vmatrix}2&4&5\\-2&-3&-7\\4&2&9\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}3&4&5\\5&-3&-7\\-3&2&9\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2&5\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}3&2&4\\5&-2&-3\\-3&4&2\end{vmatrix}=-4(-54-20-112+60+28+72)-3(-81+50+84-45+42-180)-2(-54+100+42-30+84-90)-4(-12+80+18-24+36-20)=-4(-26)-3(-130)-2\cdot52-4\cdot78=104+390-104-312=78 = − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 2 4 4 − 3 2 5 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 5 − 3 4 − 3 2 5 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 5 − 3 2 − 2 4 5 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 5 − 3 2 − 2 4 4 − 3 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 4 ( − 5 4 − 2 0 − 1 1 2 + 6 0 + 2 8 + 7 2 ) − 3 ( − 8 1 + 5 0 + 8 4 − 4 5 + 4 2 − 1 8 0 ) − 2 ( − 5 4 + 1 0 0 + 4 2 − 3 0 + 8 4 − 9 0 ) − 4 ( − 1 2 + 8 0 + 1 8 − 2 4 + 3 6 − 2 0 ) = − 4 ( − 2 6 ) − 3 ( − 1 3 0 ) − 2 ⋅ 5 2 − 4 ⋅ 7 8 = 1 0 4 + 3 9 0 − 1 0 4 − 3 1 2 = 7 8 .
2 способ. Разложим определитель 4-го порядка по 3 столбцу и вычислим его:
∣ 3 2 4 5 4 − 3 2 − 4 5 − 2 − 3 − 7 − 3 4 2 9 ∣ = 4 ( − 1 ) 1 + 3 ∣ 4 − 3 − 4 5 − 2 − 7 − 3 4 9 ∣ + 2 ( − 1 ) 2 + 3 ∣ 3 2 5 5 − 2 − 7 − 3 4 9 ∣ + ( − 3 ) ( − 1 ) 3 + 3 ∣ 3 2 5 4 − 3 − 4 − 3 4 9 ∣ + 2 ( − 1 ) 4 + 3 ∣ 3 2 5 4 − 3 − 4 5 − 2 − 7 ∣ = \begin{vmatrix}3&2&4&5\\4&-3&2&-4\\5&-2&-3&-7\\-3&4&2&9\end{vmatrix}=4(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}4&-3&-4\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}+2(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}3&2&5\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}+(-3)(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}3&2&5\\4&-3&-4\\-3&4&9\end{vmatrix}+2(-1)^{4+3}\begin{vmatrix}3&2&5\\4&-3&-4\\5&-2&-7\end{vmatrix}= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 4 5 − 3 2 − 3 − 2 4 4 2 − 3 2 5 − 4 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 ( − 1 ) 1 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 5 − 3 − 3 − 2 4 − 4 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 2 ( − 1 ) 2 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 5 − 3 2 − 2 4 5 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + ( − 3 ) ( − 1 ) 3 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 4 − 3 2 − 3 4 5 − 4 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 2 ( − 1 ) 4 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 4 5 2 − 3 − 2 5 − 4 − 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =
= 4 ∣ 4 − 3 − 4 5 − 2 − 7 − 3 4 9 ∣ − 2 ∣ 3 2 5 5 − 2 − 7 − 3 4 9 ∣ − 3 ∣ 3 2 5 4 − 3 − 4 − 3 4 9 ∣ − 2 ∣ 3 2 5 4 − 3 − 4 5 − 2 − 7 ∣ = 4 ( − 72 − 80 − 63 + 24 + 112 + 135 ) − 2 ( − 54 + 100 + 42 − 30 + 84 − 90 ) − 3 ( − 81 + 80 + 24 − 45 + 48 − 72 ) − 2 ( 63 − 40 − 40 + 75 − 24 + 56 ) = 4 ⋅ 56 − 2 ⋅ 52 − 3 ⋅ ( − 45 ) − 2 ⋅ 90 = 224 − 104 + 138 − 180 = 78 =4\begin{vmatrix}4&-3&-4\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2&5\\5&-2&-7\\-3&4&9\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}3&2&5\\4&-3&-4\\-3&4&9\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2&5\\4&-3&-4\\5&-2&-7\end{vmatrix}=4(-72-80-63+24+112+135)-2(-54+100+42-30+84-90)-3(-81+80+24-45+48-72)-2(63-40-40+75-24+56)=4\cdot56-2\cdot52-3\cdot(-45)-2\cdot90=224-104+138-180=78 = 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 5 − 3 − 3 − 2 4 − 4 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 5 − 3 2 − 2 4 5 − 7 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 4 − 3 2 − 3 4 5 − 4 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 4 5 2 − 3 − 2 5 − 4 − 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 ( − 7 2 − 8 0 − 6 3 + 2 4 + 1 1 2 + 1 3 5 ) − 2 ( − 5 4 + 1 0 0 + 4 2 − 3 0 + 8 4 − 9 0 ) − 3 ( − 8 1 + 8 0 + 2 4 − 4 5 + 4 8 − 7 2 ) − 2 ( 6 3 − 4 0 − 4 0 + 7 5 − 2 4 + 5 6 ) = 4 ⋅ 5 6 − 2 ⋅ 5 2 − 3 ⋅ ( − 4 5 ) − 2 ⋅ 9 0 = 2 2 4 − 1 0 4 + 1 3 8 − 1 8 0 = 7 8 .
Метод понижения порядка
Для упрощения расчетов при вычислении определителей рекомендуется применять их свойства . Рассмотрим примеры вычисления определителей с применением их свойств.
Пример 1
Вычислить определитель
∣ 6 3 8 − 4 5 6 4 2 0 3 4 2 4 1 − 4 6 ∣ \begin{vmatrix}6&3&8&-4\\5&6&4&2\\0&3&4&2\\4&1&-4&6\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 5 0 4 3 6 3 1 8 4 4 − 4 − 4 2 2 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Вынесем из столбца №3 множитель 4:
∣ 6 3 8 − 4 5 6 4 2 0 3 4 2 4 1 − 4 6 ∣ = 4 ⋅ ∣ 6 3 2 − 4 5 6 1 2 0 3 1 2 4 1 − 1 6 ∣ \begin{vmatrix}6&3&8&-4\\5&6&4&2\\0&3&4&2\\4&1&-4&6\end{vmatrix}=4\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-4\\5&6&1&2\\0&3&1&2\\4&1&-1&6\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 5 0 4 3 6 3 1 8 4 4 − 4 − 4 2 2 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 5 0 4 3 6 3 1 2 1 1 − 1 − 4 2 2 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Вынесем из столбца №4 множитель 2:
4 ⋅ ∣ 6 3 2 − 4 5 6 1 2 0 3 1 2 4 1 − 1 6 ∣ = 4 ⋅ 2 ⋅ ∣ 6 3 2 − 2 5 6 1 1 0 3 1 1 4 1 − 1 3 ∣ = 8 ⋅ ∣ 6 3 2 − 2 5 6 1 1 0 3 1 1 4 1 − 1 3 ∣ 4\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-4\\5&6&1&2\\0&3&1&2\\4&1&-1&6\end{vmatrix}=4\cdot2\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-2\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix}=8\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-2\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix} 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 5 0 4 3 6 3 1 2 1 1 − 1 − 4 2 2 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 ⋅ 2 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 5 0 4 3 6 3 1 2 1 1 − 1 − 2 1 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 8 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 5 0 4 3 6 3 1 2 1 1 − 1 − 2 1 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -2:
8 ⋅ ∣ 6 3 2 − 2 5 6 1 1 0 3 1 1 4 1 − 1 3 ∣ = 8 ⋅ ∣ − 4 − 9 0 − 4 5 6 1 1 0 3 1 1 4 1 − 1 3 ∣ 8\cdot\begin{vmatrix}6&3&2&-2\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix}=8\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix} 8 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 5 0 4 3 6 3 1 2 1 1 − 1 − 2 1 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 8 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 5 0 4 − 9 6 3 1 0 1 1 − 1 − 4 1 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -1:
8 ⋅ ∣ − 4 − 9 0 − 4 5 6 1 1 0 3 1 1 4 1 − 1 3 ∣ = 8 ⋅ ∣ − 4 − 9 0 − 4 5 6 1 1 − 5 − 3 0 0 4 1 − 1 3 ∣ 8\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\0&3&1&1\\4&1&-1&3\end{vmatrix}=8\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\-5&-3&0&0\\4&1&-1&3\end{vmatrix} 8 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 5 0 4 − 9 6 3 1 0 1 1 − 1 − 4 1 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 8 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 5 − 5 4 − 9 6 − 3 1 0 1 0 − 1 − 4 1 0 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 1:
8 ⋅ ∣ − 4 − 9 0 − 4 5 6 1 1 − 5 − 3 0 0 4 1 − 1 3 ∣ = 8 ⋅ ∣ − 4 − 9 0 − 4 5 6 1 1 − 5 − 3 0 0 9 7 0 4 ∣ 8\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\-5&-3&0&0\\4&1&-1&3\end{vmatrix}=8\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\-5&-3&0&0\\9&7&0&4\end{vmatrix} 8 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 5 − 5 4 − 9 6 − 3 1 0 1 0 − 1 − 4 1 0 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 8 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 5 − 5 9 − 9 6 − 3 7 0 1 0 0 − 4 1 0 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Разложим определитель по столбцу №3:
8 ⋅ ∣ − 4 − 9 0 − 4 5 6 1 1 − 5 − 3 0 0 9 7 0 4 ∣ = 8 ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) 2 + 3 ∣ − 4 − 9 − 4 − 5 − 3 0 9 7 4 ∣ = 8 ⋅ ( − 1 ) 5 ∣ − 4 − 9 − 4 − 5 − 3 0 9 7 4 ∣ = − 8 ∣ − 4 − 9 − 4 − 5 − 3 0 9 7 4 ∣ 8\cdot\begin{vmatrix}-4&-9&0&-4\\5&6&1&1\\-5&-3&0&0\\9&7&0&4\end{vmatrix}=8\cdot1\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}-4&-9&-4\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}=8\cdot(-1)^{5}\begin{vmatrix}-4&-9&-4\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}=-8\begin{vmatrix}-4&-9&-4\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix} 8 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 5 − 5 9 − 9 6 − 3 7 0 1 0 0 − 4 1 0 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 8 ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) 2 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 − 5 9 − 9 − 3 7 − 4 0 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 8 ⋅ ( − 1 ) 5 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 − 5 9 − 9 − 3 7 − 4 0 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 − 5 9 − 9 − 3 7 − 4 0 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на 1:
− 8 ∣ − 4 − 9 − 4 − 5 − 3 0 9 7 4 ∣ = − 8 ∣ 5 − 2 0 − 5 − 3 0 9 7 4 ∣ -8\begin{vmatrix}-4&-9&-4\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}=-8\begin{vmatrix}5&-2&0\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix} − 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 − 5 9 − 9 − 3 7 − 4 0 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 5 9 − 2 − 3 7 0 0 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Разложим определитель по столбцу №3 и вычислим его:
− 8 ∣ 5 − 2 0 − 5 − 3 0 9 7 4 ∣ = − 8 ⋅ 4 ⋅ ( − 1 ) 3 + 3 ∣ 5 − 2 − 5 − 3 ∣ = − 32 ⋅ ( − 1 ) 6 ∣ 5 − 2 − 5 − 3 ∣ = − 32 ∣ 5 − 2 − 5 − 3 ∣ -8\begin{vmatrix}5&-2&0\\-5&-3&0\\9&7&4\end{vmatrix}=-8\cdot4\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}5&-2\\-5&-3\end{vmatrix}=-32\cdot(-1)^{6}\begin{vmatrix}5&-2\\-5&-3\end{vmatrix}=-32\begin{vmatrix}5&-2\\-5&-3\end{vmatrix} − 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 5 9 − 2 − 3 7 0 0 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 8 ⋅ 4 ⋅ ( − 1 ) 3 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 5 − 2 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 3 2 ⋅ ( − 1 ) 6 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 5 − 2 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 3 2 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 5 − 2 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 1:
− 32 ∣ 5 − 2 − 5 − 3 ∣ = − 32 ∣ 5 − 2 0 − 5 ∣ -32\begin{vmatrix}5&-2\\-5&-3\end{vmatrix}=-32\begin{vmatrix}5&-2\\0&-5\end{vmatrix} − 3 2 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 5 − 2 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 3 2 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 0 − 2 − 5 ∣ ∣ ∣ ∣ .
Разложим определитель по столбцу №1 и заменим определитель 1-го порядка единственным его элементом:
− 32 ∣ 5 − 2 0 − 5 ∣ = − 32 ⋅ 5 ⋅ ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ ( − 5 ) = − 32 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ ( − 5 ) = 800 -32\begin{vmatrix}5&-2\\0&-5\end{vmatrix}=-32\cdot5\cdot(-1)^{1+1}\cdot(-5)=-32\cdot5\cdot1\cdot(-5)=800 − 3 2 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 0 − 2 − 5 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 3 2 ⋅ 5 ⋅ ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ ( − 5 ) = − 3 2 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ ( − 5 ) = 8 0 0 .
Пример 2
Вычислить определитель
∣ 4 4 − 1 0 − 1 8 2 3 7 5 2 3 3 2 5 7 3 2 1 2 2 1 1 2 1 7 6 6 5 7 2 1 1 2 2 1 ∣ \begin{vmatrix}4&4&-1&0&-1&8\\2&3&7&5&2&3\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 2 3 1 1 2 4 3 2 2 7 1 − 1 7 5 2 6 1 0 5 7 1 6 2 − 1 2 3 1 5 2 8 3 2 2 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №1 строку №4, умноженную на -4:
∣ 4 4 − 1 0 − 1 8 2 3 7 5 2 3 3 2 5 7 3 2 1 2 2 1 1 2 1 7 6 6 5 7 2 1 1 2 2 1 ∣ = ∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 2 3 7 5 2 3 3 2 5 7 3 2 1 2 2 1 1 2 1 7 6 6 5 7 2 1 1 2 2 1 ∣ \begin{vmatrix}4&4&-1&0&-1&8\\2&3&7&5&2&3\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\2&3&7&5&2&3\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 2 3 1 1 2 4 3 2 2 7 1 − 1 7 5 2 6 1 0 5 7 1 6 2 − 1 2 3 1 5 2 8 3 2 2 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 2 3 1 1 2 − 4 3 2 2 7 1 − 9 7 5 2 6 1 − 4 5 7 1 6 2 − 5 2 3 1 5 2 0 3 2 2 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №2 строку №4, умноженную на -2:
∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 2 3 7 5 2 3 3 2 5 7 3 2 1 2 2 1 1 2 1 7 6 6 5 7 2 1 1 2 2 1 ∣ = ∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 0 − 1 3 3 0 − 1 3 2 5 7 3 2 1 2 2 1 1 2 1 7 6 6 5 7 2 1 1 2 2 1 ∣ \begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\2&3&7&5&2&3\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 2 3 1 1 2 − 4 3 2 2 7 1 − 9 7 5 2 6 1 − 4 5 7 1 6 2 − 5 2 3 1 5 2 0 3 2 2 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 3 1 1 2 − 4 − 1 2 2 7 1 − 9 3 5 2 6 1 − 4 3 7 1 6 2 − 5 0 3 1 5 2 0 − 1 2 2 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №3 строку №4, умноженную на -3:
∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 0 − 1 3 3 0 − 1 3 2 5 7 3 2 1 2 2 1 1 2 1 7 6 6 5 7 2 1 1 2 2 1 ∣ = ∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 0 − 1 3 3 0 − 1 0 − 4 − 1 4 0 − 4 1 2 2 1 1 2 1 7 6 6 5 7 2 1 1 2 2 1 ∣ \begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\3&2&5&7&3&2\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 3 1 1 2 − 4 − 1 2 2 7 1 − 9 3 5 2 6 1 − 4 3 7 1 6 2 − 5 0 3 1 5 2 0 − 1 2 2 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 0 1 1 2 − 4 − 1 − 4 2 7 1 − 9 3 − 1 2 6 1 − 4 3 4 1 6 2 − 5 0 0 1 5 2 0 − 1 − 4 2 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на -1:
∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 0 − 1 3 3 0 − 1 0 − 4 − 1 4 0 − 4 1 2 2 1 1 2 1 7 6 6 5 7 2 1 1 2 2 1 ∣ = ∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 0 − 1 3 3 0 − 1 0 − 4 − 1 4 0 − 4 1 2 2 1 1 2 0 5 4 5 4 5 2 1 1 2 2 1 ∣ \begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\1&7&6&6&5&7\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\0&5&4&5&4&5\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 0 1 1 2 − 4 − 1 − 4 2 7 1 − 9 3 − 1 2 6 1 − 4 3 4 1 6 2 − 5 0 0 1 5 2 0 − 1 − 4 2 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 0 1 0 2 − 4 − 1 − 4 2 5 1 − 9 3 − 1 2 4 1 − 4 3 4 1 5 2 − 5 0 0 1 4 2 0 − 1 − 4 2 5 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №6 строку №4, умноженную на -2:
∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 0 − 1 3 3 0 − 1 0 − 4 − 1 4 0 − 4 1 2 2 1 1 2 0 5 4 5 4 5 2 1 1 2 2 1 ∣ = ∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 0 − 1 3 3 0 − 1 0 − 4 − 1 4 0 − 4 1 2 2 1 1 2 0 5 4 5 4 5 0 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ \begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\0&5&4&5&4&5\\2&1&1&2&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\0&5&4&5&4&5\\0&-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 0 1 0 2 − 4 − 1 − 4 2 5 1 − 9 3 − 1 2 4 1 − 4 3 4 1 5 2 − 5 0 0 1 4 2 0 − 1 − 4 2 5 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 0 1 0 0 − 4 − 1 − 4 2 5 − 3 − 9 3 − 1 2 4 − 3 − 4 3 4 1 5 0 − 5 0 0 1 4 0 0 − 1 − 4 2 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Разложим определитель по 1 столбцу:
∣ 0 − 4 − 9 − 4 − 5 0 0 − 1 3 3 0 − 1 0 − 4 − 1 4 0 − 4 1 2 2 1 1 2 0 5 4 5 4 5 0 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ = 1 ⋅ ( − 1 ) 4 + 1 ∣ − 4 − 9 − 4 − 5 0 − 1 3 3 0 − 1 − 4 − 1 4 0 − 4 5 4 5 4 5 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ = − ∣ − 4 − 9 − 4 − 5 0 − 1 3 3 0 − 1 − 4 − 1 4 0 − 4 5 4 5 4 5 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ \begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\\0&-1&3&3&0&-1\\0&-4&-1&4&0&-4\\1&2&2&1&1&2\\0&5&4&5&4&5\\0&-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}-4&-9&-4&-5&0\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-4&-9&-4&-5&0\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 0 1 0 0 − 4 − 1 − 4 2 5 − 3 − 9 3 − 1 2 4 − 3 − 4 3 4 1 5 0 − 5 0 0 1 4 0 0 − 1 − 4 2 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 ⋅ ( − 1 ) 4 + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 − 1 − 4 5 − 3 − 9 3 − 1 4 − 3 − 4 3 4 5 0 − 5 0 0 4 0 0 − 1 − 4 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 − 1 − 4 5 − 3 − 9 3 − 1 4 − 3 − 4 3 4 5 0 − 5 0 0 4 0 0 − 1 − 4 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -1:
− ∣ − 4 − 9 − 4 − 5 0 − 1 3 3 0 − 1 − 4 − 1 4 0 − 4 5 4 5 4 5 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ = − ∣ 0 − 8 − 8 − 5 4 − 1 3 3 0 − 1 − 4 − 1 4 0 − 4 5 4 5 4 5 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ -\begin{vmatrix}-4&-9&-4&-5&0\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 − 1 − 4 5 − 3 − 9 3 − 1 4 − 3 − 4 3 4 5 0 − 5 0 0 4 0 0 − 1 − 4 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 1 − 4 5 − 3 − 8 3 − 1 4 − 3 − 8 3 4 5 0 − 5 0 0 4 0 4 − 1 − 4 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -4:
− ∣ 0 − 8 − 8 − 5 4 − 1 3 3 0 − 1 − 4 − 1 4 0 − 4 5 4 5 4 5 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ = − ∣ 0 − 8 − 8 − 5 4 − 1 3 3 0 − 1 0 − 13 − 8 0 0 5 4 5 4 5 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ -\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\-4&-1&4&0&-4\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 1 − 4 5 − 3 − 8 3 − 1 4 − 3 − 8 3 4 5 0 − 5 0 0 4 0 4 − 1 − 4 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 1 0 5 − 3 − 8 3 − 1 3 4 − 3 − 8 3 − 8 5 0 − 5 0 0 4 0 4 − 1 0 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 5:
− ∣ 0 − 8 − 8 − 5 4 − 1 3 3 0 − 1 0 − 13 − 8 0 0 5 4 5 4 5 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ = − ∣ 0 − 8 − 8 − 5 4 − 1 3 3 0 − 1 0 − 13 − 8 0 0 0 19 20 4 0 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ -\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\5&4&5&4&5\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\0&19&20&4&0\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 1 0 5 − 3 − 8 3 − 1 3 4 − 3 − 8 3 − 8 5 0 − 5 0 0 4 0 4 − 1 0 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 1 0 0 − 3 − 8 3 − 1 3 1 9 − 3 − 8 3 − 8 2 0 0 − 5 0 0 4 0 4 − 1 0 0 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим у строке №5 строку №2, умноженную на -3:
− ∣ 0 − 8 − 8 − 5 4 − 1 3 3 0 − 1 0 − 13 − 8 0 0 0 19 20 4 0 − 3 − 3 0 0 − 3 ∣ = − ∣ 0 − 8 − 8 − 5 4 − 1 3 3 0 − 1 0 − 13 − 8 0 0 0 19 20 4 0 0 − 12 − 9 0 0 ∣ -\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\0&19&20&4&0\\-3&-3&0&0&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\0&19&20&4&0\\0&-12&-9&0&0\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 1 0 0 − 3 − 8 3 − 1 3 1 9 − 3 − 8 3 − 8 2 0 0 − 5 0 0 4 0 4 − 1 0 0 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 1 0 0 0 − 8 3 − 1 3 1 9 − 1 2 − 8 3 − 8 2 0 − 9 − 5 0 0 4 0 4 − 1 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Разложим определитель по 1 столбцу:
− ∣ 0 − 8 − 8 − 5 4 − 1 3 3 0 − 1 0 − 13 − 8 0 0 0 19 20 4 0 0 − 12 − 9 0 0 ∣ = − ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) 2 + 1 ∣ − 8 − 8 − 5 4 − 13 − 8 0 0 19 20 4 0 − 12 − 9 0 0 ∣ = ( − 1 ) 3 ∣ − 8 − 8 − 5 4 − 13 − 8 0 0 19 20 4 0 − 12 − 9 0 0 ∣ = − ∣ − 8 − 8 − 5 4 − 13 − 8 0 0 19 20 4 0 − 12 − 9 0 0 ∣ -\begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\\-1&3&3&0&-1\\0&-13&-8&0&0\\0&19&20&4&0\\0&-12&-9&0&0\end{vmatrix}=-(-1)\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\-12&-9&0&0\end{vmatrix}=(-1)^{3}\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\-12&-9&0&0\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\-12&-9&0&0\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 1 0 0 0 − 8 3 − 1 3 1 9 − 1 2 − 8 3 − 8 2 0 − 9 − 5 0 0 4 0 4 − 1 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) 2 + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 8 − 1 3 1 9 − 1 2 − 8 − 8 2 0 − 9 − 5 0 4 0 4 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ( − 1 ) 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 8 − 1 3 1 9 − 1 2 − 8 − 8 2 0 − 9 − 5 0 4 0 4 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 8 − 1 3 1 9 − 1 2 − 8 − 8 2 0 − 9 − 5 0 4 0 4 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Вынесем множитель -3 из строки №4:
− ∣ − 8 − 8 − 5 4 − 13 − 8 0 0 19 20 4 0 − 12 − 9 0 0 ∣ = − ( − 3 ) ∣ − 8 − 8 − 5 4 − 13 − 8 0 0 19 20 4 0 4 3 0 0 ∣ = 3 ∣ − 8 − 8 − 5 4 − 13 − 8 0 0 19 20 4 0 4 3 0 0 ∣ -\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\-12&-9&0&0\end{vmatrix}=-(-3)\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\4&3&0&0\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\4&3&0&0\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 8 − 1 3 1 9 − 1 2 − 8 − 8 2 0 − 9 − 5 0 4 0 4 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ( − 3 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 8 − 1 3 1 9 4 − 8 − 8 2 0 3 − 5 0 4 0 4 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 8 − 1 3 1 9 4 − 8 − 8 2 0 3 − 5 0 4 0 4 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Разложим определитель по 4 столбцу:
3 ∣ − 8 − 8 − 5 4 − 13 − 8 0 0 19 20 4 0 4 3 0 0 ∣ = 3 ⋅ 4 ⋅ ( − 1 ) 1 + 4 ∣ − 13 − 8 0 19 20 4 4 3 0 ∣ = 12 ⋅ ( − 1 ) 5 ∣ − 13 − 8 0 19 20 4 4 3 0 ∣ = − 12 ∣ − 13 − 8 0 19 20 4 4 3 0 ∣ 3\begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\\-13&-8&0&0\\19&20&4&0\\4&3&0&0\end{vmatrix}=3\cdot4\cdot(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}-13&-8&0\\19&20&4\\4&3&0\end{vmatrix}=12\cdot(-1)^{5}\begin{vmatrix}-13&-8&0\\19&20&4\\4&3&0\end{vmatrix}=-12\begin{vmatrix}-13&-8&0\\19&20&4\\4&3&0\end{vmatrix} 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 8 − 1 3 1 9 4 − 8 − 8 2 0 3 − 5 0 4 0 4 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 3 ⋅ 4 ⋅ ( − 1 ) 1 + 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 1 9 4 − 8 2 0 3 0 4 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 2 ⋅ ( − 1 ) 5 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 1 9 4 − 8 2 0 3 0 4 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 1 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 1 9 4 − 8 2 0 3 0 4 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Разложим определитель по столбцу №3 и вычислим его:
− 12 ∣ − 13 − 8 0 19 20 4 4 3 0 ∣ = − 12 ⋅ 4 ⋅ ( − 1 ) 2 + 3 ∣ − 13 − 8 4 3 ∣ = − 48 ⋅ ( − 1 ) 5 ∣ − 13 − 8 4 3 ∣ = 48 ∣ − 13 − 8 4 3 ∣ -12\begin{vmatrix}-13&-8&0\\19&20&4\\4&3&0\end{vmatrix}=-12\cdot4\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}-13&-8\\4&3\end{vmatrix}=-48\cdot(-1)^{5}\begin{vmatrix}-13&-8\\4&3\end{vmatrix}=48\begin{vmatrix}-13&-8\\4&3\end{vmatrix} − 1 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 1 9 4 − 8 2 0 3 0 4 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 1 2 ⋅ 4 ⋅ ( − 1 ) 2 + 3 ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 4 − 8 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = − 4 8 ⋅ ( − 1 ) 5 ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 4 − 8 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 8 ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 4 − 8 3 ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:
48 ∣ − 13 − 8 4 3 ∣ = 48 ∣ − 1 1 4 3 ∣ 48\begin{vmatrix}-13&-8\\4&3\end{vmatrix}=48\begin{vmatrix}-1&1\\4&3\end{vmatrix} 4 8 ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 4 − 8 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 8 ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 4 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 4:
48 ∣ − 1 1 4 3 ∣ = 48 ∣ − 1 1 0 7 ∣ 48\begin{vmatrix}-1&1\\4&3\end{vmatrix}=48\begin{vmatrix}-1&1\\0&7\end{vmatrix} 4 8 ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 4 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 8 ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 0 1 7 ∣ ∣ ∣ ∣ .
Разложим определитель по столбцу №1 и заменим определитель 1-го порядка единственным его элементом:
48 ∣ − 1 1 0 7 ∣ = 48 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ 7 = 48 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ 7 = − 336 48\begin{vmatrix}-1&1\\0&7\end{vmatrix}=48\cdot(-1)\cdot(-1)^{1+1}\cdot7=48\cdot(-1)\cdot1\cdot7=-336
4 8 ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 0 1 7 ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 8 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ 7 = 4 8 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ 7 = − 3 3 6 .
Приведение к треугольному виду
Данный метод состоит в том, чтобы привести определитель к треугольному виду, а затем вычислить произведение элементов, стоящих на главной диагонали.
Пример 1
Вычислить определитель ∣ 4 − 2 0 5 3 2 − 2 1 − 2 1 3 − 1 2 3 − 6 − 3 ∣ \begin{vmatrix}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\-2&1&3&-1\\2&3&-6&-3\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 3 − 2 2 − 2 2 1 3 0 − 2 3 − 6 5 1 − 1 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Поменяем местами строки №1 и №3:
∣ 4 − 2 0 5 3 2 − 2 1 − 2 1 3 − 1 2 3 − 6 − 3 ∣ = − ∣ − 2 1 3 − 1 3 2 − 2 1 4 − 2 0 5 2 3 − 6 − 3 ∣ \begin{vmatrix}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\-2&1&3&-1\\2&3&-6&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\4&-2&0&5\\2&3&-6&-3\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 3 − 2 2 − 2 2 1 3 0 − 2 3 − 6 5 1 − 1 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 3 4 2 1 2 − 2 3 3 − 2 0 − 6 − 1 1 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №4 строку №1, умноженную на 1:
− ∣ − 2 1 3 − 1 3 2 − 2 1 4 − 2 0 5 2 3 − 6 − 3 ∣ = − ∣ − 2 1 3 − 1 3 2 − 2 1 4 − 2 0 5 0 4 − 3 − 4 ∣ -\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\4&-2&0&5\\2&3&-6&-3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\4&-2&0&5\\0&4&-3&-4\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 3 4 2 1 2 − 2 3 3 − 2 0 − 6 − 1 1 5 − 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 3 4 0 1 2 − 2 4 3 − 2 0 − 3 − 1 1 5 − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 2:
− ∣ − 2 1 3 − 1 3 2 − 2 1 4 − 2 0 5 0 4 − 3 − 4 ∣ = − ∣ − 2 1 3 − 1 3 2 − 2 1 0 0 6 3 0 4 − 3 − 4 ∣ -\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\4&-2&0&5\\0&4&-3&-4\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\0&0&6&3\\0&4&-3&-4\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 3 4 0 1 2 − 2 4 3 − 2 0 − 3 − 1 1 5 − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 3 0 0 1 2 0 4 3 − 2 6 − 3 − 1 1 3 − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Умножим строку №2 на 2:
∣ − 2 1 3 − 1 3 2 − 2 1 0 0 6 3 0 4 − 3 − 4 ∣ = − 1 2 ∣ − 2 1 3 − 1 6 4 − 4 2 0 0 6 3 0 4 − 3 − 4 ∣ \begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\3&2&-2&1\\0&0&6&3\\0&4&-3&-4\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\6&4&-4&2\\0&0&6&3\\0&4&-3&-4\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 3 0 0 1 2 0 4 3 − 2 6 − 3 − 1 1 3 − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 2 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 6 0 0 1 4 0 4 3 − 4 6 − 3 − 1 2 3 − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 3:
− 1 2 ∣ − 2 1 3 − 1 6 4 − 4 2 0 0 6 3 0 4 − 3 − 4 ∣ = − 1 2 ∣ − 2 1 3 − 1 0 7 5 − 1 0 0 6 3 0 4 − 3 − 4 ∣ -\frac{1}{2}\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\6&4&-4&2\\0&0&6&3\\0&4&-3&-4\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\0&7&5&-1\\0&0&6&3\\0&4&-3&-4\end{vmatrix} − 2 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 6 0 0 1 4 0 4 3 − 4 6 − 3 − 1 2 3 − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 2 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 0 0 0 1 7 0 4 3 5 6 − 3 − 1 − 1 3 − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Умножим строку №4 на 7:
− 1 2 ∣ − 2 1 3 − 1 0 7 5 − 1 0 0 6 3 0 4 − 3 − 4 ∣ = − 1 2 ⋅ 1 7 ∣ − 2 1 3 − 1 0 7 5 − 1 0 0 6 3 0 28 − 21 − 28 ∣ -\frac{1}{2}\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\0&7&5&-1\\0&0&6&3\\0&4&-3&-4\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\0&7&5&-1\\0&0&6&3\\0&28&-21&-28\end{vmatrix} − 2 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 0 0 0 1 7 0 4 3 5 6 − 3 − 1 − 1 3 − 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 2 1 ⋅ 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 0 0 0 1 7 0 2 8 3 5 6 − 2 1 − 1 − 1 3 − 2 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на -4:
− 1 2 ⋅ 1 7 ∣ − 2 1 3 − 1 0 7 5 − 1 0 0 6 3 0 28 − 21 − 28 ∣ = − 1 2 ⋅ 1 7 ∣ − 2 1 3 − 1 0 7 5 − 1 0 0 6 3 0 0 − 41 − 24 ∣ -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\0&7&5&-1\\0&0&6&3\\0&28&-21&-28\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\0&7&5&-1\\0&0&6&3\\0&0&-41&-24\end{vmatrix} − 2 1 ⋅ 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 0 0 0 1 7 0 2 8 3 5 6 − 2 1 − 1 − 1 3 − 2 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 2 1 ⋅ 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 0 0 0 1 7 0 0 3 5 6 − 4 1 − 1 − 1 3 − 2 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Поменяем местами столбцы №3 и №4:
− 1 2 ⋅ 1 7 ∣ − 2 1 3 − 1 0 7 5 − 1 0 0 6 3 0 0 − 41 − 24 ∣ = 1 2 ⋅ 1 7 ∣ − 2 1 − 1 3 0 7 − 1 5 0 0 3 6 0 0 − 24 − 41 ∣ -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\begin{vmatrix}-2&1&3&-1\\0&7&5&-1\\0&0&6&3\\0&0&-41&-24\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\begin{vmatrix}-2&1&-1&3\\0&7&-1&5\\0&0&3&6\\0&0&-24&-41\end{vmatrix} − 2 1 ⋅ 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 0 0 0 1 7 0 0 3 5 6 − 4 1 − 1 − 1 3 − 2 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 1 ⋅ 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 0 0 0 1 7 0 0 − 1 − 1 3 − 2 4 3 5 6 − 4 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на 8 и вычислим определитель:
1 2 ⋅ 1 7 ∣ − 2 1 − 1 3 0 7 − 1 5 0 0 3 6 0 0 − 24 − 41 ∣ = 1 2 ⋅ 1 7 ∣ − 2 1 − 1 3 0 7 − 1 5 0 0 3 6 0 0 0 7 ∣ = 1 2 ⋅ 1 7 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 7 = − 21 \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\begin{vmatrix}-2&1&-1&3\\0&7&-1&5\\0&0&3&6\\0&0&-24&-41\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\begin{vmatrix}-2&1&-1&3\\0&7&-1&5\\0&0&3&6\\0&0&0&7\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}\cdot(-2)\cdot7\cdot3\cdot7=-21 2 1 ⋅ 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 0 0 0 1 7 0 0 − 1 − 1 3 − 2 4 3 5 6 − 4 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 1 ⋅ 7 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 0 0 0 1 7 0 0 − 1 − 1 3 0 3 5 6 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 1 ⋅ 7 1 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 7 = − 2 1 .
Пример 2
Вычислить определитель
∣ 7 6 9 4 − 4 1 0 − 2 6 6 7 8 9 − 1 − 6 1 − 1 − 2 4 5 − 7 0 − 9 2 − 2 ∣ \begin{vmatrix}7&6&9&4&-4\\1&0&-2&6&6\\7&8&9&-1&-6\\1&-1&-2&4&5\\-7&0&-9&2&-2\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 7 1 7 1 − 7 6 0 8 − 1 0 9 − 2 9 − 2 − 9 4 6 − 1 4 2 − 4 6 − 6 5 − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Поменяем местами строки №1 и №4:
∣ 7 6 9 4 − 4 1 0 − 2 6 6 7 8 9 − 1 − 6 1 − 1 − 2 4 5 − 7 0 − 9 2 − 2 ∣ = − ∣ 1 − 1 − 2 4 5 1 0 − 2 6 6 7 8 9 − 1 − 6 7 6 9 4 − 4 − 7 0 − 9 2 − 2 ∣ \begin{vmatrix}7&6&9&4&-4\\1&0&-2&6&6\\7&8&9&-1&-6\\1&-1&-2&4&5\\-7&0&-9&2&-2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&-1&-2&4&5\\1&0&-2&6&6\\7&8&9&-1&-6\\7&6&9&4&-4\\-7&0&-9&2&-2\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 7 1 7 1 − 7 6 0 8 − 1 0 9 − 2 9 − 2 − 9 4 6 − 1 4 2 − 4 6 − 6 5 − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 7 7 − 7 − 1 0 8 6 0 − 2 − 2 9 9 − 9 4 6 − 1 4 2 5 6 − 6 − 4 − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Поменяем местами строки №3 и №5:
− ∣ 1 − 1 − 2 4 5 1 0 − 2 6 6 7 8 9 − 1 − 6 7 6 9 4 − 4 − 7 0 − 9 2 − 2 ∣ = ∣ 1 − 1 − 2 4 5 1 0 − 2 6 6 − 7 0 − 9 2 − 2 7 6 9 4 − 4 7 8 9 − 1 − 6 ∣ -\begin{vmatrix}1&-1&-2&4&5\\1&0&-2&6&6\\7&8&9&-1&-6\\7&6&9&4&-4\\-7&0&-9&2&-2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-1&-2&4&5\\1&0&-2&6&6\\-7&0&-9&2&-2\\7&6&9&4&-4\\7&8&9&-1&-6\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 7 7 − 7 − 1 0 8 6 0 − 2 − 2 9 9 − 9 4 6 − 1 4 2 5 6 − 6 − 4 − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 − 7 7 7 − 1 0 0 6 8 − 2 − 2 − 9 9 9 4 6 2 4 − 1 5 6 − 2 − 4 − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Поменяем местами столбцы №4 и №5:
∣ 1 − 1 − 2 4 5 1 0 − 2 6 6 − 7 0 − 9 2 − 2 7 6 9 4 − 4 7 8 9 − 1 − 6 ∣ = − ∣ 1 − 1 − 2 5 4 1 0 − 2 6 6 − 7 0 − 9 − 2 2 7 6 9 − 4 4 7 8 9 − 6 − 1 ∣ \begin{vmatrix}1&-1&-2&4&5\\1&0&-2&6&6\\-7&0&-9&2&-2\\7&6&9&4&-4\\7&8&9&-1&-6\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\1&0&-2&6&6\\-7&0&-9&-2&2\\7&6&9&-4&4\\7&8&9&-6&-1\end{vmatrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 − 7 7 7 − 1 0 0 6 8 − 2 − 2 − 9 9 9 4 6 2 4 − 1 5 6 − 2 − 4 − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 − 7 7 7 − 1 0 0 6 8 − 2 − 2 − 9 9 9 5 6 − 2 − 4 − 6 4 6 2 4 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -1:
− ∣ 1 − 1 − 2 5 4 1 0 − 2 6 6 − 7 0 − 9 − 2 2 7 6 9 − 4 4 7 8 9 − 6 − 1 ∣ = − ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 − 7 0 − 9 − 2 2 7 6 9 − 4 4 7 8 9 − 6 − 1 ∣ -\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\1&0&-2&6&6\\-7&0&-9&-2&2\\7&6&9&-4&4\\7&8&9&-6&-1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\-7&0&-9&-2&2\\7&6&9&-4&4\\7&8&9&-6&-1\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 − 7 7 7 − 1 0 0 6 8 − 2 − 2 − 9 9 9 5 6 − 2 − 4 − 6 4 6 2 4 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 − 7 7 7 − 1 1 0 6 8 − 2 0 − 9 9 9 5 1 − 2 − 4 − 6 4 2 2 4 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на 1:
− ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 − 7 0 − 9 − 2 2 7 6 9 − 4 4 7 8 9 − 6 − 1 ∣ = − ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 − 7 0 − 9 − 2 2 0 6 0 − 6 6 7 8 9 − 6 − 1 ∣ -\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\-7&0&-9&-2&2\\7&6&9&-4&4\\7&8&9&-6&-1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\-7&0&-9&-2&2\\0&6&0&-6&6\\7&8&9&-6&-1\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 − 7 7 7 − 1 1 0 6 8 − 2 0 − 9 9 9 5 1 − 2 − 4 − 6 4 2 2 4 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 − 7 0 7 − 1 1 0 6 8 − 2 0 − 9 0 9 5 1 − 2 − 6 − 6 4 2 2 6 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №5 строку №3, умноженную на 1:
− ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 − 7 0 − 9 − 2 2 0 6 0 − 6 6 7 8 9 − 6 − 1 ∣ = − ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 − 7 0 − 9 − 2 2 0 6 0 − 6 6 0 8 0 − 8 1 ∣ -\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\-7&0&-9&-2&2\\0&6&0&-6&6\\7&8&9&-6&-1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\-7&0&-9&-2&2\\0&6&0&-6&6\\0&8&0&-8&1\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 − 7 0 7 − 1 1 0 6 8 − 2 0 − 9 0 9 5 1 − 2 − 6 − 6 4 2 2 6 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 − 7 0 0 − 1 1 0 6 8 − 2 0 − 9 0 0 5 1 − 2 − 6 − 8 4 2 2 6 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 7:
− ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 − 7 0 − 9 − 2 2 0 6 0 − 6 6 0 8 0 − 8 1 ∣ = − ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 0 − 7 − 23 33 30 0 6 0 − 6 6 0 8 0 − 8 1 ∣ -\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\-7&0&-9&-2&2\\0&6&0&-6&6\\0&8&0&-8&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\0&-7&-23&33&30\\0&6&0&-6&6\\0&8&0&-8&1\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 − 7 0 0 − 1 1 0 6 8 − 2 0 − 9 0 0 5 1 − 2 − 6 − 8 4 2 2 6 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 0 0 − 1 1 − 7 6 8 − 2 0 − 2 3 0 0 5 1 3 3 − 6 − 8 4 2 3 0 6 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 7:
− ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 0 − 7 − 23 33 30 0 6 0 − 6 6 0 8 0 − 8 1 ∣ = − ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 0 0 − 23 40 44 0 6 0 − 6 6 0 8 0 − 8 1 ∣ -\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\0&-7&-23&33&30\\0&6&0&-6&6\\0&8&0&-8&1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\0&0&-23&40&44\\0&6&0&-6&6\\0&8&0&-8&1\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 0 0 − 1 1 − 7 6 8 − 2 0 − 2 3 0 0 5 1 3 3 − 6 − 8 4 2 3 0 6 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 0 0 − 1 1 0 6 8 − 2 0 − 2 3 0 0 5 1 4 0 − 6 − 8 4 2 4 4 6 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Вынесем из строки №4 множитель 6:
− ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 0 0 − 23 40 44 0 6 0 − 6 6 0 8 0 − 8 1 ∣ = − 6 ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 0 0 − 23 40 44 0 1 0 − 1 1 0 8 0 − 8 1 ∣ -\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\0&0&-23&40&44\\0&6&0&-6&6\\0&8&0&-8&1\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\0&0&-23&40&44\\0&1&0&-1&1\\0&8&0&-8&1\end{vmatrix} − ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 0 0 − 1 1 0 6 8 − 2 0 − 2 3 0 0 5 1 4 0 − 6 − 8 4 2 4 4 6 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 0 0 − 1 1 0 1 8 − 2 0 − 2 3 0 0 5 1 4 0 − 1 − 8 4 2 4 4 1 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на -8:
− 6 ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 0 0 − 23 40 44 0 1 0 − 1 1 0 8 0 − 8 1 ∣ = − 6 ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 0 0 − 23 40 44 0 1 0 − 1 1 0 0 0 0 − 7 ∣ -6\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\0&0&-23&40&44\\0&1&0&-1&1\\0&8&0&-8&1\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\0&0&-23&40&44\\0&1&0&-1&1\\0&0&0&0&-7\end{vmatrix} − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 0 0 − 1 1 0 1 8 − 2 0 − 2 3 0 0 5 1 4 0 − 1 − 8 4 2 4 4 1 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 0 0 − 1 1 0 1 0 − 2 0 − 2 3 0 0 5 1 4 0 − 1 0 4 2 4 4 1 − 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на -1 и вычислим определитель:
− 6 ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 0 0 − 23 40 44 0 1 0 − 1 1 0 0 0 0 − 7 ∣ = − 6 ∣ 1 − 1 − 2 5 4 0 1 0 1 2 0 0 − 23 40 44 0 0 0 − 2 − 1 0 0 0 0 − 7 ∣ = − 6 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ( − 23 ) ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 7 ) = 1932 -6\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\0&0&-23&40&44\\0&1&0&-1&1\\0&0&0&0&-7\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\\0&1&0&1&2\\0&0&-23&40&44\\0&0&0&-2&-1\\0&0&0&0&-7\end{vmatrix}=-6\cdot1\cdot1\cdot(-23)\cdot(-2)\cdot(-7)=1932 − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 0 0 − 1 1 0 1 0 − 2 0 − 2 3 0 0 5 1 4 0 − 1 0 4 2 4 4 1 − 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 − 2 0 − 2 3 0 0 5 1 4 0 − 2 0 4 2 4 4 − 1 − 7 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 6 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ( − 2 3 ) ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 7 ) = 1 9 3 2 .
Мы рассмотрели наиболее распространенные методы вычисления определителей высших порядков. Каждый из них может применяться для их нахождения.
На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!
Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы высших порядков»
Тест: 3 вопроса
Показать ответы
Приведения к треугольному виду
Приведение к треугольному виду
Разложение определителей по строкам или столбцам
Приведение к треугольному виду
Комментарии