Если вы приступили к изучению данной темы, то вы уже знакомы с понятием определителя матрицы и умеете находить определители первого, второго и третьего порядка.
Прежде чем начать рассмотрение новой темы, рекомендуется повторить правило вычисления определителя по строке и столбцу, рассматривающееся в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка», свойства определителей, а также нахождение миноров и алгебраических дополнений.
Разложение определителей по строкам или столбцам
Для вычисления определителей высших порядков применяется способ разложения определителя по строке или столбцу. Это позволяет представить детерминант в виде суммы произведений элементов какой-либо его строки или столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения. В таком случае вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей n−1-го порядка.
Пример 1
Найти определитель ∣∣∣∣∣∣∣∣ 345−3 2−3−24 42−32 5−4−79 ∣∣∣∣∣∣∣∣ двумя способами:
- по 2-й строке;
- по 3-у столбцу.
1 способ. Разложим определитель 4-го порядка по строке №2 и вычислим его:
∣∣∣∣∣∣∣∣ 345−3 2−3−24 42−32 5−4−79 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =4(−1)2+1∣∣∣∣∣∣ 2−24 4−32 5−79 ∣∣∣∣∣∣ +(−3)(−1)2+2∣∣∣∣∣∣ 35−3 4−32 5−79 ∣∣∣∣∣∣ +2(−1)2+3∣∣∣∣∣∣ 35−3 2−24 5−79 ∣∣∣∣∣∣ +(−4)(−1)2+4∣∣∣∣∣∣ 35−3 2−24 4−32 ∣∣∣∣∣∣ =
=−4∣∣∣∣∣∣ 2−24 4−32 5−79 ∣∣∣∣∣∣ −3∣∣∣∣∣∣ 35−3 4−32 5−79 ∣∣∣∣∣∣ −2∣∣∣∣∣∣ 35−3 2−24 5−79 ∣∣∣∣∣∣ −4∣∣∣∣∣∣ 35−3 2−24 4−32 ∣∣∣∣∣∣ =−4(−54−20−112+60+28+72)−3(−81+50+84−45+42−180)−2(−54+100+42−30+84−90)−4(−12+80+18−24+36−20)=−4(−26)−3(−130)−2⋅52−4⋅78=104+390−104−312=78.
2 способ. Разложим определитель 4-го порядка по 3 столбцу и вычислим его:
∣∣∣∣∣∣∣∣ 345−3 2−3−24 42−32 5−4−79 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =4(−1)1+3∣∣∣∣∣∣ 45−3 −3−24 −4−79 ∣∣∣∣∣∣ +2(−1)2+3∣∣∣∣∣∣ 35−3 2−24 5−79 ∣∣∣∣∣∣ +(−3)(−1)3+3∣∣∣∣∣∣ 34−3 2−34 5−49 ∣∣∣∣∣∣ +2(−1)4+3∣∣∣∣∣∣ 345 2−3−2 5−4−7 ∣∣∣∣∣∣ =
=4∣∣∣∣∣∣ 45−3 −3−24 −4−79 ∣∣∣∣∣∣ −2∣∣∣∣∣∣ 35−3 2−24 5−79 ∣∣∣∣∣∣ −3∣∣∣∣∣∣ 34−3 2−34 5−49 ∣∣∣∣∣∣ −2∣∣∣∣∣∣ 345 2−3−2 5−4−7 ∣∣∣∣∣∣ =4(−72−80−63+24+112+135)−2(−54+100+42−30+84−90)−3(−81+80+24−45+48−72)−2(63−40−40+75−24+56)=4⋅56−2⋅52−3⋅(−45)−2⋅90=224−104+138−180=78.
Метод понижения порядка
Для упрощения расчетов при вычислении определителей рекомендуется применять их свойства. Рассмотрим примеры вычисления определителей с применением их свойств.
Пример 1
Вычислить определитель
∣∣∣∣∣∣∣∣ 6504 3631 844−4 −4226 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Вынесем из столбца №3 множитель 4:
∣∣∣∣∣∣∣∣ 6504 3631 844−4 −4226 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =4⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ 6504 3631 211−1 −4226 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Вынесем из столбца №4 множитель 2:
4⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ 6504 3631 211−1 −4226 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =4⋅2⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ 6504 3631 211−1 −2113 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =8⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ 6504 3631 211−1 −2113 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -2:
8⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ 6504 3631 211−1 −2113 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =8⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ −4504 −9631 011−1 −4113 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -1:
8⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ −4504 −9631 011−1 −4113 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =8⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ −45−54 −96−31 010−1 −4103 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 1:
8⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ −45−54 −96−31 010−1 −4103 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =8⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ −45−59 −96−37 0100 −4104 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №3:
8⋅∣∣∣∣∣∣∣∣ −45−59 −96−37 0100 −4104 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =8⋅1⋅(−1)2+3∣∣∣∣∣∣ −4−59 −9−37 −404 ∣∣∣∣∣∣ =8⋅(−1)5∣∣∣∣∣∣ −4−59 −9−37 −404 ∣∣∣∣∣∣ =−8∣∣∣∣∣∣ −4−59 −9−37 −404 ∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на 1:
−8∣∣∣∣∣∣ −4−59 −9−37 −404 ∣∣∣∣∣∣ =−8∣∣∣∣∣∣ 5−59 −2−37 004 ∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №3 и вычислим его:
−8∣∣∣∣∣∣ 5−59 −2−37 004 ∣∣∣∣∣∣ =−8⋅4⋅(−1)3+3∣∣∣∣ 5−5 −2−3 ∣∣∣∣ =−32⋅(−1)6∣∣∣∣ 5−5 −2−3 ∣∣∣∣ =−32∣∣∣∣ 5−5 −2−3 ∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 1:
−32∣∣∣∣ 5−5 −2−3 ∣∣∣∣ =−32∣∣∣∣ 50 −2−5 ∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №1 и заменим определитель 1-го порядка единственным его элементом:
−32∣∣∣∣ 50 −2−5 ∣∣∣∣ =−32⋅5⋅(−1)1+1⋅(−5)=−32⋅5⋅1⋅(−5)=800.
Пример 2
Вычислить определитель
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 423112 432271 −175261 057162 −123152 832271 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №1 строку №4, умноженную на -4:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 423112 432271 −175261 057162 −123152 832271 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 023112 −432271 −975261 −457162 −523152 032271 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №2 строку №4, умноженную на -2:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 023112 −432271 −975261 −457162 −523152 032271 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 003112 −4−12271 −935261 −437162 −503152 0−12271 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №3 строку №4, умноженную на -3:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 003112 −4−12271 −935261 −437162 −503152 0−12271 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 000112 −4−1−4271 −93−1261 −434162 −500152 0−1−4271 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на -1:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 000112 −4−1−4271 −93−1261 −434162 −500152 0−1−4271 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 000102 −4−1−4251 −93−1241 −434152 −500142 0−1−4251 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №6 строку №4, умноженную на -2:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 000102 −4−1−4251 −93−1241 −434152 −500142 0−1−4251 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 000100 −4−1−425−3 −93−124−3 −434150 −500140 0−1−425−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по 1 столбцу:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 000100 −4−1−425−3 −93−124−3 −434150 −500140 0−1−425−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1⋅(−1)4+1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −4−1−45−3 −93−14−3 −43450 −50040 0−1−45−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −4−1−45−3 −93−14−3 −43450 −50040 0−1−45−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -1:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −4−1−45−3 −93−14−3 −43450 −50040 0−1−45−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0−1−45−3 −83−14−3 −83450 −50040 4−1−45−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -4:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0−1−45−3 −83−14−3 −83450 −50040 4−1−45−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0−105−3 −83−134−3 −83−850 −50040 4−105−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 5:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0−105−3 −83−134−3 −83−850 −50040 4−105−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0−100−3 −83−1319−3 −83−8200 −50040 4−100−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим у строке №5 строку №2, умноженную на -3:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0−100−3 −83−1319−3 −83−8200 −50040 4−100−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0−1000 −83−1319−12 −83−820−9 −50040 4−1000 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по 1 столбцу:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0−1000 −83−1319−12 −83−820−9 −50040 4−1000 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−(−1)⋅(−1)2+1∣∣∣∣∣∣∣∣ −8−1319−12 −8−820−9 −5040 4000 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =(−1)3∣∣∣∣∣∣∣∣ −8−1319−12 −8−820−9 −5040 4000 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣ −8−1319−12 −8−820−9 −5040 4000 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Вынесем множитель -3 из строки №4:
−∣∣∣∣∣∣∣∣ −8−1319−12 −8−820−9 −5040 4000 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−(−3)∣∣∣∣∣∣∣∣ −8−13194 −8−8203 −5040 4000 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =3∣∣∣∣∣∣∣∣ −8−13194 −8−8203 −5040 4000 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по 4 столбцу:
3∣∣∣∣∣∣∣∣ −8−13194 −8−8203 −5040 4000 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =3⋅4⋅(−1)1+4∣∣∣∣∣∣ −13194 −8203 040 ∣∣∣∣∣∣ =12⋅(−1)5∣∣∣∣∣∣ −13194 −8203 040 ∣∣∣∣∣∣ =−12∣∣∣∣∣∣ −13194 −8203 040 ∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №3 и вычислим его:
−12∣∣∣∣∣∣ −13194 −8203 040 ∣∣∣∣∣∣ =−12⋅4⋅(−1)2+3∣∣∣∣ −134 −83 ∣∣∣∣ =−48⋅(−1)5∣∣∣∣ −134 −83 ∣∣∣∣ =48∣∣∣∣ −134 −83 ∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:
48∣∣∣∣ −134 −83 ∣∣∣∣ =48∣∣∣∣ −14 13 ∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 4:
48∣∣∣∣ −14 13 ∣∣∣∣ =48∣∣∣∣ −10 17 ∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №1 и заменим определитель 1-го порядка единственным его элементом:
48∣∣∣∣ −10 17 ∣∣∣∣ =48⋅(−1)⋅(−1)1+1⋅7=48⋅(−1)⋅1⋅7=−336.
Приведение к треугольному виду
Данный метод состоит в том, чтобы привести определитель к треугольному виду, а затем вычислить произведение элементов, стоящих на главной диагонали.
Пример 1
Вычислить определитель ∣∣∣∣∣∣∣∣ 43−22 −2213 0−23−6 51−1−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Поменяем местами строки №1 и №3:
∣∣∣∣∣∣∣∣ 43−22 −2213 0−23−6 51−1−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣ −2342 12−23 3−20−6 −115−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №4 строку №1, умноженную на 1:
−∣∣∣∣∣∣∣∣ −2342 12−23 3−20−6 −115−3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣ −2340 12−24 3−20−3 −115−4 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 2:
−∣∣∣∣∣∣∣∣ −2340 12−24 3−20−3 −115−4 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣ −2300 1204 3−26−3 −113−4 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Умножим строку №2 на 2:
∣∣∣∣∣∣∣∣ −2300 1204 3−26−3 −113−4 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−21 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2600 1404 3−46−3 −123−4 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 3:
−21 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2600 1404 3−46−3 −123−4 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−21 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2000 1704 356−3 −1−13−4 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Умножим строку №4 на 7:
−21 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2000 1704 356−3 −1−13−4 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−21 ⋅71 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2000 17028 356−21 −1−13−28 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на -4:
−21 ⋅71 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2000 17028 356−21 −1−13−28 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−21 ⋅71 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2000 1700 356−41 −1−13−24 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Поменяем местами столбцы №3 и №4:
−21 ⋅71 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2000 1700 356−41 −1−13−24 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =21 ⋅71 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2000 1700 −1−13−24 356−41 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на 8 и вычислим определитель:
21 ⋅71 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2000 1700 −1−13−24 356−41 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =21 ⋅71 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2000 1700 −1−130 3567 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =21 ⋅71 ⋅(−2)⋅7⋅3⋅7=−21.
Пример 2
Вычислить определитель
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 7171−7 608−10 9−29−2−9 46−142 −46−65−2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Поменяем местами строки №1 и №4:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 7171−7 608−10 9−29−2−9 46−142 −46−65−2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1177−7 −10860 −2−299−9 46−142 56−6−4−2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Поменяем местами строки №3 и №5:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1177−7 −10860 −2−299−9 46−142 56−6−4−2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 11−777 −10068 −2−2−999 4624−1 56−2−4−6 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Поменяем местами столбцы №4 и №5:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 11−777 −10068 −2−2−999 4624−1 56−2−4−6 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 11−777 −10068 −2−2−999 56−2−4−6 4624−1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -1:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 11−777 −10068 −2−2−999 56−2−4−6 4624−1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10−777 −11068 −20−999 51−2−4−6 4224−1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на 1:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10−777 −11068 −20−999 51−2−4−6 4224−1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10−707 −11068 −20−909 51−2−6−6 4226−1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №5 строку №3, умноженную на 1:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10−707 −11068 −20−909 51−2−6−6 4226−1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10−700 −11068 −20−900 51−2−6−8 42261 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 7:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10−700 −11068 −20−900 51−2−6−8 42261 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10000 −11−768 −20−2300 5133−6−8 423061 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 7:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10000 −11−768 −20−2300 5133−6−8 423061 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10000 −11068 −20−2300 5140−6−8 424461 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Вынесем из строки №4 множитель 6:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10000 −11068 −20−2300 5140−6−8 424461 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−6∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10000 −11018 −20−2300 5140−1−8 424411 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на -8:
−6∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10000 −11018 −20−2300 5140−1−8 424411 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−6∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10000 −11010 −20−2300 5140−10 42441−7 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на -1 и вычислим определитель:
−6∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10000 −11010 −20−2300 5140−10 42441−7 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−6∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 10000 −11000 −20−2300 5140−20 4244−1−7 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−6⋅1⋅1⋅(−23)⋅(−2)⋅(−7)=1932.
Мы рассмотрели наиболее распространенные методы вычисления определителей высших порядков. Каждый из них может применяться для их нахождения.
На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!
Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы высших порядков»
Комментарии