Свойства определителя матрицы

Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Было рассмотрено вычисление определителей первого, второго, третьего и высших порядков. Познакомимся со свойствами определителей, позволяющими значительно упростить их вычисление.

Ряды определителя

Под рядами определителя будем понимать строки и столбцы.

Свойства определителя матрицы

Значение определителя останется прежним, если заменить его строки столбцами (т.е. при транспонировании).

Это свойство можно обозначить следующим образом: $|A|=|A^{T}|$. В общем виде оно выглядит так:

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn}\end{vmatrix}$.

Пример 1

$\begin{vmatrix}10&15\\14&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}10&14\\15&2\end{vmatrix}=-190$.

Пример 2

$\begin{vmatrix}10&11&-7\\3&-8&14\\15&19&21\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}10&3&15\\11&-8&19\\-7&14&21\end{vmatrix}=-3962$.

Если переставить два параллельных ряда, то определитель изменит свой знак.

Пример 1

Переставим местами строки №1 и №3 и вычислим определитель:

$\begin{vmatrix}-15&29&-37\\19&14&-11\\-5&-12&8\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-5&-12&8\\19&14&-11\\-15&29&-37\end{vmatrix}=3333$.

Пример 2

Переставим местами столбцы №1 и №2 и вычислим определитель:

$\begin{vmatrix}-15&29&-37\\19&14&-11\\-5&-12&8\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}29&-15&-37\\14&19&-11\\-12&-5&8\end{vmatrix}=3333$.

Определитель равен нулю, если среди его рядов есть два одинаковых ряда.

Пример 1

Определитель содержит две одинаковые строки: №1 и №3:

$\begin{vmatrix}11&17&9\\25&14&2\\11&17&9\end{vmatrix}=0$.

Пример 2

Определитель содержит два одинаковых столбца: №1 и №2:

$\begin{vmatrix}25&25&45\\19&19&34\\39&39&22\end{vmatrix}=0$.

Определитель равен нулю, если среди его рядов есть два пропорциональных ряда.

Пример 1

Определитель содержит две пропорциональных строки – №1 и №3:

$\begin{vmatrix}10&15&26\\5&7&11\\20&30&52\end{vmatrix}=0$.

Пример 2

Определитель содержит два пропорциональных столбца – №2 и №3:

$\begin{vmatrix}5&3&9\\15&4&12\\9&7&21\end{vmatrix}=0$.

Определитель, содержащий ряд, состоящий из нулей, равен нулю.

Пример 1

$\begin{vmatrix}11&8&25\\0&0&0\\19&14&32\end{vmatrix}=0$.

Пример 2

$\begin{vmatrix}9&17&0\\25&14&0\\13&16&0\end{vmatrix}=0$.

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Пример 1

Вынесем общий множитель — 5 из строки №2 и вычислим определитель:

$\begin{vmatrix}19&15&37\\5&25&40\\13&18&10\end{vmatrix}=5\cdot\begin{vmatrix}19&15&37\\1&5&8\\13&18&10\end{vmatrix}=5\cdot(-2115)=-10575$.

Пример 2

Вынесем общий множитель — число 7 из столбца №1 и вычислим определитель:

$\begin{vmatrix}7&28&11\\14&13&9\\21&10&45\end{vmatrix}=7\cdot\begin{vmatrix}1&28&11\\2&13&9\\3&10&45\end{vmatrix}=7\cdot(-1478)=-10346$.

В случае если все элементы некоторого ряда определителя представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть записан как сумма двух определителей, у которых элементы рассматриваемого ряда равны соответствующим слагаемым, а остальные элементы одни и те же.

Пример 1

Представим в виде суммы двух слагаемых элементы второй строки и вычислим определитель:

$\begin{vmatrix}1&3&5\\2&6&8\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&5\\1+1&4+2&5+3\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&5\\1&4&5\\3&5&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&3&5\\1&2&3\\3&5&1\end{vmatrix}=-14+6=-8$.

Пример 2

Представим в виде суммы двух слагаемых элементы столбца №2 и вычислим определитель:

$\begin{vmatrix}1&5&3\\1&6&8\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2+3&3\\1&3+3&8\\3&2+3&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\1&3&8\\3&2&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&3&3\\1&3&8\\3&3&1\end{vmatrix}=12+30=42$.

Значение определителя останется прежним, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, предварительно умножив их на любое число.

Пример 1

К элементам строки №3 прибавим элементы строки №1, умноженные на -3:

$\begin{vmatrix}1&3&-2\\2&-1&1\\3&2&-5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&-2\\2&-1&1\\0&-7&1\end{vmatrix}=28$.

Пример 2

К элементам столбца №3 прибавим элементы столбца №1, умноженные на -4:

$\begin{vmatrix}1&5&4\\2&4&8\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&5&0\\2&4&0\\3&5&-11\end{vmatrix}=66$.

Данные свойства могут применяться для нахождения определителей любого порядка. Их знание и применение значительно упростит процесс вычисления детерминантов.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Тест по теме «Свойства определителя матрицы»