Ранее мы рассматривали различные методы вычисления определителей высших порядков, одним из которых является метод понижения порядка определителя. Остановимся на нем более подробно.
Перед изучением данной темы рекомендуется повторить свойства определителей.
Необходимо помнить, что определитель 1-го порядка — это число.
Вычисление определителя по данному методу сводится к следующим действиям:
- В некоторой строке (или столбце) при помощи свойств определителей делаем все элементы кроме одного равными нулю.
- Раскладываем определитель по элементам этой строки (или столбца). В результате чего получаем определитель меньшего порядка.
- В случае если порядок полученного определителя больше единицы, то действия №1 и №2 повторяем. В противном случае вычисления заканчиваются.
Рассмотрим примеры вычисления определителя методом понижения порядка.
Пример 1
Найти определитель ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2131 −13−21 1−12−1 −1−1−31 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №1 строку №4, умноженную на -2:
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2131 −13−21 1−12−1 −1−1−31 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣ 0131 −33−21 3−12−1 −3−1−31 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №2 строку №4, умноженную на -1:
∣∣∣∣∣∣∣∣ 0131 −33−21 3−12−1 −3−1−31 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣ 0031 −32−21 302−1 −3−2−31 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №3 строку №4, умноженную на -3:
∣∣∣∣∣∣∣∣ 0031 −32−21 302−1 −3−2−31 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣ 0001 −32−51 305−1 −3−2−61 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №1:
∣∣∣∣∣∣∣∣ 0001 −32−51 305−1 −3−2−61 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =1⋅(−1)4+1∣∣∣∣∣∣ −32−5 305 −3−2−6 ∣∣∣∣∣∣ =1⋅(−1)5∣∣∣∣∣∣ −32−5 305 −3−2−6 ∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣ −32−5 305 −3−2−6 ∣∣∣∣∣∣ .
Вынесем из строки №1 множитель 3:
−∣∣∣∣∣∣ −32−5 305 −3−2−6 ∣∣∣∣∣∣ =−3∣∣∣∣∣∣ −12−5 105 −1−2−6 ∣∣∣∣∣∣ .
Вынесем из строки №2 множитель 2:
−3∣∣∣∣∣∣ −12−5 105 −1−2−6 ∣∣∣∣∣∣ =−3⋅2∣∣∣∣∣∣ −11−5 105 −1−1−6 ∣∣∣∣∣∣ =−6∣∣∣∣∣∣ −11−5 105 −1−1−6 ∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:
−6∣∣∣∣∣∣ −11−5 105 −1−1−6 ∣∣∣∣∣∣ =−6∣∣∣∣∣∣ 01−5 105 −2−1−6 ∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 5:
−6∣∣∣∣∣∣ 01−5 105 −2−1−6 ∣∣∣∣∣∣ =−6∣∣∣∣∣∣ 010 105 −2−1−11 ∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №1:
−6∣∣∣∣∣∣ 010 105 −2−1−11 ∣∣∣∣∣∣ =−6⋅1⋅(−1)2+1∣∣∣∣ 15 −2−11 ∣∣∣∣ =−6⋅1⋅(−1)3∣∣∣∣ 15 −2−11 ∣∣∣∣ =6∣∣∣∣ 15 −2−11 ∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -5:
6∣∣∣∣ 15 −2−11 ∣∣∣∣ =6∣∣∣∣ 10 −2−1 ∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №1:
6∣∣∣∣ 10 −2−1 ∣∣∣∣ =6⋅1⋅(−1)1+1⋅(−1)=6⋅(−1)2⋅(−1)=−6.
Пример 2
Найти определитель
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −502653 −7004−40 −24−2610−2 200−110 −2−5215143 1600−560 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №1 строку №5, умноженную на -2:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −502653 −7004−40 −24−2610−2 200−110 −2−5215143 1600−560 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −1502653 1004−40 −224−2610−2 000−110 −30−5215143 400−560 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на 1:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −1502653 1004−40 −224−2610−2 000−110 −30−5215143 400−560 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −15026113 100400 −224−2616−2 000−100 −30−5215293 400−510 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Разложить определитель по столбцу №4:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −15026113 100400 −224−2616−2 000−100 −30−5215293 400−510 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =(−1)⋅(−1)4+4∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −1502113 10000 −224−216−2 −30−52293 40010 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =(−1)⋅(−1)8∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −1502113 10000 −224−216−2 −30−52293 40010 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −1502113 10000 −224−216−2 −30−52293 40010 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №2:
−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −1502113 10000 −224−216−2 −30−52293 40010 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =−1⋅1⋅(−1)1+2∣∣∣∣∣∣∣∣ 02113 4−216−2 −52293 0010 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =−1⋅1⋅(−1)3∣∣∣∣∣∣∣∣ 02113 4−216−2 −52293 0010 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣ 02113 4−216−2 −52293 0010 ∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №4:
∣∣∣∣∣∣∣∣ 02113 4−216−2 −52293 0010 ∣∣∣∣∣∣∣∣ =1⋅(−1)3+4∣∣∣∣∣∣ 023 4−2−2 −523 ∣∣∣∣∣∣ =1⋅(−1)7∣∣∣∣∣∣ 023 4−2−2 −523 ∣∣∣∣∣∣ =−∣∣∣∣∣∣ 023 4−2−2 −523 ∣∣∣∣∣∣ .
Вынесем из строки №2 множитель 2:
−∣∣∣∣∣∣ 023 4−2−2 −523 ∣∣∣∣∣∣ =−2∣∣∣∣∣∣ 013 4−1−2 −513 ∣∣∣∣∣∣ .
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:
−2∣∣∣∣∣∣ 013 4−1−2 −513 ∣∣∣∣∣∣ =−2∣∣∣∣∣∣ 010 4−11 −510 ∣∣∣∣∣∣ .
Разложим определитель по столбцу №1:
−2∣∣∣∣∣∣ 010 4−11 −510 ∣∣∣∣∣∣ =−2⋅1⋅(−1)2+1∣∣∣∣ 41 −50 ∣∣∣∣ =−2⋅1⋅(−1)3∣∣∣∣ 41 −50 ∣∣∣∣ =2∣∣∣∣ 41 −50 ∣∣∣∣ .
Разложим определитель по строке №2:
2∣∣∣∣ 41 −50 ∣∣∣∣ =2⋅1⋅(−1)2+1⋅(−5)=2⋅1⋅(−1)3⋅(−5)=2⋅(−1)⋅(−5)=10.
Данный метод может применяться для вычисления определителей любого порядка.
На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!
Комментарии