Понятие минора и алгебраического дополнения было рассмотрено нами в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка». В данной статье разберем тему более подробно, а также научимся вычислять миноры и алгебраические дополнения матриц высших порядков.
Сначала рекомендуется повторить вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.
Минор
Минором Mij к элементу aij определителя n-го порядка называется определитель (n−1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.
Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M12 получается вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца, M34 — вычеркиванием 3-й строки и 4-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров
- вычеркиваем i-ю строку;
- вычеркиваем j-й столбец;
- записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.
Пример 1
Найти минор M34 к элементу a34 определителя ∣21−23−121213−1543−31∣.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.
M34=∣21−23−121213−1543−31∣=∣21−2−12143−3∣=2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3=−12+4+6+16−3−6=5.
Пример 2
Найти миноры матрицы K=(03−122100−2−102−5711).
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.
M11=(03−122100−2−102−5711)=∣100−102711∣=1⋅(−1)1+1∣0211∣=1⋅(−1)2∣0211∣=∣0211∣=1⋅(−1)2+1⋅2=1⋅(−1)3⋅2=−2,
M12=(03−122100−2−102−5711)=∣200−202−511∣=2⋅(−1)1+1∣0211∣=2⋅(−1)2∣0211∣=2∣0211∣=2⋅(−1)2+1⋅2=2⋅(−1)3⋅2=−4,
M13=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−12−571∣=2⋅(−1)⋅1+0⋅7⋅(−2)+1⋅2⋅(−5)−0⋅(−1)⋅(−5)−2⋅2⋅7−1⋅1⋅(−2)=−2−10−28+2=−38,
M14=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−10−571∣=1⋅(−1)3+3∣21−2−1∣=0,
M21=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12−102711∣=3⋅0⋅1+2⋅1⋅(−1)+(−1)⋅2⋅7−2⋅0⋅7−(−1)⋅1⋅(−1)−3⋅2⋅1=−2−14−1−6=−23,
M22=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12−202−511∣=0⋅0⋅1+(−1)⋅2⋅(−5)+2⋅1⋅(−2)−2⋅0⋅(−5)−(−1)⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅1=10−4−2=4,
M23=(03−122100−2−102−5711)=∣032−2−12−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅2⋅(−5)+2⋅7⋅(−2)−2⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅7=−30−28−10+6=−62,
M24=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1−2−10−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅(−2)−(−1)⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅0⋅7=14+5+6=25,
M31=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100711∣=1⋅(−1)2+1∣−1211∣=1⋅(−1)3∣−1211∣=−∣−1211∣=−(−1−2)=3,
M32=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−511∣=2⋅(−1)2+1∣−1211∣=2⋅(−1)3∣−1211∣=−2∣−1211∣=−2(−1−2)=6,
M33=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+2⋅7⋅2−2⋅1⋅(−5)−0⋅0⋅7−3⋅1⋅2=28+10−6=32,
M34=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅2−(−1)⋅1⋅(−5)−3⋅1⋅2−0⋅0⋅7=−14−5−6=−25,
M41=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100−102∣=1⋅(−1)2+1∣−1202∣=1⋅(−1)3∣−1202∣=−∣−1202∣=−(−1)⋅(−1)1+1⋅2=1⋅(−1)2⋅2=2,
M42=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−202∣=2⋅(−1)2+1∣−1202∣=2⋅(−1)3∣−1202∣=−2∣−1202∣=−2⋅(−1)⋅(−1)1+1⋅2=2⋅(−1)2⋅2=4,
M43=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−2−12∣=0⋅1⋅2+3⋅0⋅(−2)+2⋅(−1)⋅2−2⋅1⋅(−2)−3⋅2⋅2−0⋅0⋅(−1)=−4+4−12=−12,
M44=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−2−10∣=0.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij определителя n-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅Mij, где i,j — соответствующие строка и столбец, а Mij — минор к элементу aij.
Алгоритм нахождения алгебраических дополнений
- найти сумму номеров строки (i) и столбца (j);
- найти минор Mij по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
- подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅Mij.
Пример 1
Найти алгебраическое дополнение A34 к элементу a34 определителя
∣21−23−121213−1543−31∣.
A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)7⋅∣21−23−121213−1543−31∣=−∣21−2−12143−3∣=−(2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3)=−(−12+4+6+16−3−6)=−5.
Пример 2
Найти алгебраические дополнения матрицы K=(03−122100−2−102−5711).
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)1+1⋅∣100−102711∣=(−1)2∣100−102711∣=∣100−102711∣=−2,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)1+2⋅∣200−202−511∣=(−1)3⋅∣200−202−511∣=−∣200−202−511∣=−(−4)=4,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)1+3⋅∣210−2−12−571∣=(−1)4⋅∣210−2−12−571∣=∣210−2−12−571∣=−38,
A14=(−1)1+4⋅M14=(−1)1+4⋅∣210−2−10−571∣=(−1)5⋅∣210−2−10−571∣=−∣210−2−10−571∣=0,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)2+1⋅∣3−12−102711∣=(−1)3⋅∣3−12−102711∣=−∣3−12−102711∣=−(−23)=23,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)2+2⋅∣0−12−202−511∣=(−1)4⋅∣0−12−202−511∣=∣0−12−202−511∣=4,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)2+3⋅∣032−2−12−571∣=(−1)5⋅∣032−2−12−571∣=−∣032−2−12−571∣=−(−62)=62,
A24=(−1)2+4⋅M24=(−1)2+4⋅∣03−1−2−10−571∣=(−1)6⋅∣03−1−2−10−571∣=∣03−1−2−10−571∣=25,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)3+1⋅∣3−12100711∣=(−1)4⋅∣3−12100711∣=∣3−12100711∣=3,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)3+2⋅∣0−12200−511∣=(−1)5⋅∣0−12200−511∣=−∣0−12200−511∣=−6,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)3+3⋅∣032210−571∣=(−1)6⋅∣032210−571∣=∣032210−571∣=32,
A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)3+4⋅∣03−1210−571∣=(−1)7⋅∣03−1210−571∣=−∣03−1210−571∣=−(−25)=25,
A41=(−1)4+1⋅M41=(−1)4+1⋅∣3−12100−102∣=(−1)5⋅∣3−12100−102∣=−∣3−12100−102∣=−2,
A42=(−1)4+2⋅M42=(−1)4+2⋅∣0−12200−202∣=(−1)6⋅∣0−12200−202∣=∣0−12200−202∣=4,
A43=(−1)4+3⋅M43=(−1)4+3⋅∣032210−2−12∣=(−1)7⋅∣032210−2−12∣=−∣032210−2−12∣=−(−12)=12,
A44=(−1)4+4⋅M44=(−1)4+4⋅∣03−1210−2−10∣=(−1)8⋅∣03−1210−2−10∣=∣03−1210−2−10∣=0.
На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!
Комментарии