задачки 1-7

1 задание

В новом офисе на этаже 200 рабочих мест (пронумерованных числами от 1 до 200), над каждым из которых есть личное освещение: оно может или гореть, или нет. На этаже есть три странных выключателя. Первый выключатель меняет состояние освещённости (если свет горел - только перестаёт, если не горел - начинает гореть) над всеми 200 рабочими местами. Второй - над всеми номерами с нечётными номерами. Третий - над всеми номерами, дающими остаток 2 при делении на 3. Во время вечеринки пара сотрудников решили устроить «дискотеку»: бездумно нажимали на эти три выключателя, суммарно сделав 1000 нажатий. Перед вечеринкой все рабочие мета были освещены. После - места 33 и 34 не были освещены. А сколько мест были освещены после вечеринки?

2 задание

Жора три раза выбирает наугад число из набора 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (он может выбирать одно и то же число несколько раз). Какова вероятность, что Жора сможет в некотором порядке использовать выбранные числа как коэффициенты квадратного трёхчлена, у которого 2 различных действительных корня? Ответ дайте в виде натурального числа или несократимой дроби, например, 7/5.

3 задание

Саша выбрал п непересекающихся троек чисел из чисел от 1 до 500 так, что в каждой тройке одно число равно произведению двух других. Тройка - это три разных числа. При каком наибольшем п это возможно?

4 задание

Среди 2020 студентов, пришедших на стажировку, некоторые между собой знакомы (знакомства взаимны; новые знакомства по ходу задачи не появляются; считаем, что человек не знаком сам с собой). Известно, что для любой группы студентов среди них найдётся один, который в выбранной группе знает не более 583 человек. Какое наибольшее количество пар знакомых может быть среди студентов?

5 задание

Для натурального числа п обозначим через f(n) количество натуральных чисел т таких, что НОД(п,m)2 = HOK(n,m). Найдите наименьшее натуральное п для которого f(n) > 20.

6 задание

Напомним, что последовательность Фибоначчи определяется рекуррентно: Fo = 0, F1 = 1 и

Fk-1 = Fk + Fk 1 для всех k > 1. Сумма (фото)

единственным образом представляется в виде

Fn - 5Fn + 10Fn - 10 F4 + 5Fn5 - Fn

Найдите n1, n2, ...,n6 … В ответ укажите их суммy.

7 задание

Аня хочет купить себе машину. Из 2020 вариантов, предложенных консультантом, Ане нужно выбрать всего одну. Консультант пронумеровала все машины по тому, насколько они подходят А не: от 1 до 2020, где 1 - лучше всего подходит, 2020 - меньше всего подходит. Просто так взять первую - целиком довериться мнению одного человека, поэтому Аня придумала следующую схему. Все машины делятся наугад на 20 групп по 101 машине в каждой, из каждой выбирается наиболее подходящий автомобиль, а из этих 20 вариантов выбирается один наугад. Найдите математическое ожидание номера машины, которую купит Аня. Ответ дайте в виде натурального числа или несократимой дроби, например, 7/5.