Дипломная работа по теме "Применение неравенств о средних значениях в задачах на уроках математики"

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БЫЛА ОЦЕНЕНА НА "ОТЛИЧНО"!

Актуальность выбранной темы: несмотря на свою познавательную, методическую и педагогическую важность, в программах по математике общеобразовательной школы уделяется не достаточное место и внимание теории средних величин и неравенств о них, хотя это представляет собой мощный инструмент, особенно при решении задач повышенной сложности и олимпиадного уровня.

Объект исследования – методика обучения математике в школе.

Предмет исследования – доказательства неравенств о средних и их применения.

Цель работы – изучить понятия средних величин и разработать план части олимпиадного курса.

Для достижения цели были выделены следующие задачи:

1.   изучить литературу;

2.   изучить определения и свойства средних величин;

3.   рассмотреть геометрическую иллюстрацию неравенств о средних;

4.   рассмотреть применение неравенств о средних;

5.   разработка планов части олимпиадного курса.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав и библиографического списка. В первой главе выявлены сущность средних величин и общие принципы применения, рассмотрены виды средних величин и сфера их применения на конкретных примерах. В данной главе предложены теоремы о средних величинах, а так же их доказательства. Приведены утверждения с доказательствами и лемма. Во второй главе проведен анализ учебной литературы. На основе анализа разработана часть программы олимпиадного кружка. Определены цель и задачи кружка, определены темы занятий и разработано содержание олимпиадного кружка. Разработаны конспекты уроков, а так же контрольное занятие на проверку усвоения материала.

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1 НЕРАВЕНСТВА О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ 6

1.1 Определения средних величин 6

1.2 Другие средние величины в математике 11

1.3 Свойства неравенств о средних для двух чисел 14

1.4 Метод Штурма 16

1.5 Неравенство Коши 17

1.6 Доказательство неравенства для среднего арифметического и среднего квадратичного 18

1.7 Геометрическая иллюстрация неравенств о средних 19

1.8 Неравенства о средних в алгебраических задачах 23

1.8.1 Задачи на сравнение чисел 23

1.8.2 Задачи на доказательство неравенств 24

1.8.3 Решение неравенств 26

1.8.4 Применения неравенств о средних к исследованию функций 27

1.9 Неравенства о средних в геометрии 28

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА МЕТОДИЧЕСКОЙ ЧАСТИ 31

2.1 Средние величины в школьных учебниках математики 31

2.2 Разработка части программы олимпиадного кружка 34

2.3 Разработка планов занятий 36

2.3.1 Конспект урока по теме «Знакомство со средними величинами» 37

2.3.2 Конспект урока по теме «Сравнение средних величин» 40

2.3.3 Конспект урока по теме «Сравнение средних значений в алгебраических и геометрических задачах» 43

2.3.4 Конспект урока «Итоговое занятие. Контрольная работа» 47

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 48

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 50

1.     Алгебра. 7 класс: Учебник для общеобразовательных организаций / Дорофеев Г.В., Суворова С.В. и др.; 2-е изд., М.: Просвещение, 2014. 287 с.

2.     Алгебра. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.М. и др. 19-е изд., М.: Просвещение, 2012. 255 с.

3.     Алгебра. 8 класс: Учебник для общеобразовательных организаций / Дорофеев Г.В., Суворова С.В. и др.; 3-е изд., М.: Просвещение, 2016. 320 с.

4.     Алгебра. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г. 12-е изд., М.: Мнемозина, 2010. 215 с.

5.     Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.М. и др. 17 -е изд., М.: Просвещение, 2012. 287 с.

6.     Алгебра. 9 класс: Учеб. пособие для учащихся школ с углубленным изучением математики / Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др.; Под ред. Виленкина Н.Я., М.: Просвещение, 2006. 384с.

7.     Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных организаций / Дорофеев Г.В., Суворова С.В. и др.; Под ред. Дорофеева Г.В., 5- е изд., М.: Просвещение, 2010. 304 с.

8.     Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных организаций / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.; Под ред. Теляковского С.А., 21-е изд., М.: Просвещение, 2014. 271 с.

9.     Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / Мордкович А. Г. и др.; 12-е., М.: Мнемозина, 2010. 

10.  Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных организаций / Никольский С.М., Потапов М.К. и др.; М.: Просвещение, 2016. 330 с.

11.  Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных организаций / Никольский СМ., Потапов М.Н. и др., М.: Просвещение, 2014. 335 c.

12.  Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебник для углублённого изучения математики / Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. 13-е изд., М.: Мнемозина, 2006. 355 с.

13.  Алгебра и начала анализа: учеб. Для 8-9 кл. общеобразовательных учреждений / Алимов Ш. А. и др., М: Просвещение, 2007.

14.  Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. средней школы / Колмогоров А. Н. и др., М.: Просвещение, 1990.

15.  Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 класса общеобразовательного учреждения / Колмогоров А.Н., Абрамов A.M., Дудницын Ю.П. и др.; Под ред. Колмогорова А.Н. 17-е изд., М.: Просвещение, 2008. 384с.

16.  Алгебра и начала анализа, 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., М.: Мнемозина, 2004.

17.  Геометрия. 7 – 9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. 2-е изд., М.: Просвещение, 2014. - 383 с.

18.  Геометрия в 7-9 классах: Преподавание курса геометрии по учебнику Погорелова А.В. «Геометрия: 7-9» / Березина Л.Ю., Мельникова Н.Б., Мищенко Т.М. и др.- 2-е изд., перераб. и доп. М.: Экзамен, 2008. - 431 с.

19.  Геометрия. 7 – 9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений / Шарыгин И.Ф. 2-е изд., М.: Дрофа, 2012. 462 с.

20.  Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум: Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М.

21.  Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. / Звавич Л.И. и др. М.2002.

22.  Как решают нестандартные задачи / Белов А. Я., Ковальджи А. К. Под ред. В. О. Бугаенко. 4-е изд., стереотип. М.: МЦНМО. 2008. 96 с.

23.  Классические средние в арифметике и геометрии / Блинков А. Д. 2-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, 2013. 168 с.: ил.

24.  Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных организаций: в 2 ч. Ч. 2 / Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. 37-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2019. 199 с.

25.  Математика. 5 класс: Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / Зубарева И.И., Мордкович А.Г. 9-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009. 270 с.

26.  Математика. 6 класс. Часть 1 / Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. 2-е изд., перераб. М.: Издательство «Ювента», 2010. 112 с.

27.  Математика: Пособие для поступающих в вузы. / Моденов В. П., М.: ООО» Издательство Новая Волна», 2002.

28.  Неравенства. Методы доказательств. / Седракян Н. М., Авоян А. М. / перевод с армянского Григоряна Г. В., М.: ФИЗМАТЛИТ,2002. 256 с.

29.  Неравенства для средних. / Фалин Г.И., Фалин А. И., изд. Дом ”Первое Сентября ”, 2006, №10, стр.25-36.

30.  Пособие по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие / Кутасов А. Д. и др. М.: Наука, 1988.

31.  Сборник конкурсных задач по математике / Говоров В. М., Дыбов П. Т., Мирошин Н. В., Смирнова С. Ф. М., 2006.

32.  Серия: «Библиотека «Математическое просвещение»»: Неравенства / Соловьёв Ю. П.М.: МЦНМО, 2005. 16 с.: ил.

33.  Специальный курс элементарной алгебры. / Новоселов С. И., М.: Высшая школа, 1962.

34.  Федеральные Государственные образовательные стандарты (ФГОС) 2 поколение. Концепция федеральных Государственных образовательных стандартов общего образования. М.: 2019.

35.  ФГОС, 2 поколение. Примерные программы общего образования. Математика (10-11 классы).

36.  Что такое математика? / Курант Р., Роббинс Г. 3-e изд., испр. и доп. М.: МЦНМО, 2001. 568 с.

37.  Элементарная математика: Учеб. пособие для старшеклассников и абитуриентов. Часть 1. Теория чисел. Алгебра / Хорошилова Е.В., М.: Изд-во Моск. Ун-та, 2010. 472 с.

38.  Введение в неравенства: / Бэккенбах Э., Беллман Р. / Уч.- изд. л. 6,75. Изд. № 1/3353.

39.  Inequalities: Edwin F. Beckenbach and Richard Bellman / Springer – Verlag Berlin Gottingen Heidelberg 1961

40.  Inequalities: Edwin F. Beckenbach and Richard Bellman 267с.