механика жидкости и газов [ДВГУПС]
расширения и объемного сжатия принять 4 10 t °С–1; 10 W 5 10 Па–1 Рис. 1.1. Эпюра скорости dy du y u a b 7 Указания к решению задачи 1 При решении задачи необходимо воспользоваться формулами для определе-
Высшая математика Вариант 10 (8 заданий)
gradz в точке A; 2) производную z в точке A по направлению вектора a. 2. Дана функция z = ln(x + e-y). Показать, что . 3. Дана функция z = xy + 2y2 – 2x и две точки A(1; 2) и В(0,97; 2,03).Требуется:
Вычислить значения частных производных функции z=z(x, y), заданной неявно, в данной точке M0 ( x0 ; y0 ;z0) :…
Вычислить значения частных производных функции z=z(x, y), заданной неявно, в данной точке M0 ( x0 ; y0 ;z0) : xy = z^2 -1 M0 (0;1;-1)
Ответ на вопрос
Дано уравнение, задающее функцию неявно:
xy = z^2 - 1Найдем частные производные функции z по x и по y.Для этого продифференцируем обе части уравнения по x:
y dz/dx = 2z dz/dxdz/dx = (y * z) / 2z = y / 2Аналогично продифференцируем обе части уравнения по y:
x dz/dy = 2z dz/dydz/dy = (x * z) / 2z = x / 2Теперь найдем значения частных производных в точке M0 (0;1;-1):
dz/dx |_M0 = 1 / 2
dz/dy |_M0 = 0 / 2 = 0Таким образом, значение частной производной функции z по x в точке M0 равно 1/2, а по y равно 0.
Еще
Дана функция Z=f(x,y) и две точки А(x0,y0) и B(x1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить…
Дана функция Z=f(x,y) и две точки А(x0,y0) и B(x1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближѐнное значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точке A и
Ответ на вопрос
1) z1 = 74.98 + 83.03 - 4.98*3.03 ≈ 39.86 + 24.24 - 15.08 ≈ 48.022) Приближенное значение z1 можно найти используя дифференциал функции:
dz = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
dz = (7 - y)dx + (8 - x)dy
dz = (7 - 3.03) (-0.02) + (8 - 4.98) (0.03)
dz ≈ 3.97(-0.02) + 3.020.03 ≈ -0.0794 + 0.0906 ≈ 0.0112Тогда z1 ≈ z0 + dz ≈ 24.08 + 0.0112 ≈ 24.093) Относительная погрешность при замене приращения функции её дифференциалом:
| (48.02 - 24.09) / 48.02 | * 100% ≈ 49.95%4) Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(5,3,24):
z = f(x0,y0) + ∂f/∂x (x-x0) + ∂f/∂y (y-y0)
z = 24 + (7 - 3) (x-5) + (8 - 3) (y-3)
z = 24 + 4(x-5) + 5(y-3)
z = 4x + 5y - 16
Еще
Z=f(x,y) и две точки А(x0,y0) и B(x1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближѐнное…
Z=f(x,y) и две точки А(x0,y0) и B(x1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближѐнное значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точке A и заменив приращение
Ответ на вопрос
1) Вычислим значение z1 в точке B(4.98,3.03):z1 = 74.98 + 83.03 - 4.98*3.03
z1 = 34.86 + 24.24 - 15.0694
z1 = 43.03062) Вычислим приближенное значение z1 функции в точке B, используя значение z0 в точке A(5,3) и дифференциал:dz = ∂z/∂xdx + ∂z/∂ydy
dz = (7 - y)dx + (8 - x)dy
dz = (7 - 3)dx + (8 - 5)dy
dz = 4dx + 3dyТеперь подставим значения dx = -0.02 и dy = 0.03 для перехода от точки A к точке B:dz = 4(-0.02) + 30.03
dz = -0.08 + 0.09
dz = 0.01Теперь можем использовать это значение для аппроксимации z1:z1 ≈ z0 + dz
z1 ≈ z0 + 0.01
z1 ≈ 313) Оценим относительную погрешность при замене приращения функции ее дифференциалом:Относительная погрешность = |(точное значение - приближенное значение) / точное значение| * 100%Относительная погрешность = |43.0306 - 31| / 43.0306 * 100%
Относительная погрешность ≈ 27.95%4) Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(x0,y0,z0):Уравнение плоскости: z = ∂z/∂x(x-x0) + ∂z/∂y(y-y0) + z0Вычислим частные производные функции z=f(x,y):∂z/∂x = 7 - y
∂z/∂y = 8 - xПодставим значения частных производных и точки C(5,3,z0) в уравнение:z = (7-3)(x-5) + (8-5)(y-3) + z0
z = 4x - 20 + 3y - 9 + z0
z = 4x + 3y - 29 + z0Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(5,3,z0) будет z = 4x + 3y - 29 + z0.
Еще