механика жидкости и газов [ДВГУПС]

Контрольная работа задачи 1-9 вариант 6

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

О. В. Акимов

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗОВ

Методическое пособие

по выполнению контрольной работы

Хабаровск

2018

2

УДК 532.(075.8)

ББК Ж123

А 391

Рецензент – доцент кафедры «Гидравлика и водоснабжение» ДВГУПС

А.Н. Ганус.

Акимов О. В.

А391 Механика жидкости и газов : метод. пособие по выполнению кон-трольной работы. – Хабаровск: ДВГУПС, 2018. – 31 с.: ил.

Методическое пособие соответствует рабочей программе дисциплины «Меха-ника жидкости и газов».

В пособии приведены краткие теоретические сведения и методические указа-ния по решению задач.

Пособие предназначено для студентов 2-го курса заочной формы обучения изучающих дисциплину «Механика жидкости и газов» по направлению 08.03.01 «Строительство».

УДК 532.(075.8)

ББК Ж123

 ДВГУПС, 2018

3

ОГЛАВЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛАВЛЕНИЕ .................................................................................................. 3

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................ 4

1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ ..................................................... 5

ЗАДАЧА 1 .................................................................................................................. 6

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ ................... 7

2.1. Гидростатическое давление ..................................................................... 7

2.2. Аналитический способ определения силы давления и центра давления ..................................................................................................................... 7

ЗАДАЧА 2 .................................................................................................................. 8

2.3. Графоаналитический способ определения силы давления и центра давления ................................................................................................................... 10

ЗАДАЧА 3 ................................................................................................................ 10

2.4. Определение сил гидростатического давления на криволинейные поверхности ............................................................................................................. 11

ЗАДАЧА 4 ................................................................................................................ 12

3. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ ..................................................................... 12

3.1. Гидравлические элементы потока ............................................................ 12

3.2. Уравнение Бернулли .................................................................................. 13

3.3. Два режима движения жидкости .............................................................. 14

3.4. Гидравлические сопротивления ............................................................... 14

ЗАДАЧА 5 ................................................................................................................ 16

ЗАДАЧА 6 ................................................................................................................ 17

ЗАДАЧА 7 ................................................................................................................ 21

4. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ МАЛЫЕ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ22

4.1. Истечение жидкости через малые отверстия в тонкой стенке .............. 22

4.2. Истечение жидкости через насадки ......................................................... 23

ЗАДАЧА 8 ................................................................................................................ 25

5. РАВНОМЕРНОЕ БЕЗНАПОРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛАХ ............................................................................................... 25

ЗАДАЧА 9. ............................................................................................................... 27

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 .................................................................................................... 29

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 .................................................................................................... 29

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 .................................................................................................... 29

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 .................................................................................................... 30

ПРИЛОЖЕНИЕ 5 .................................................................................................... 30

ПРИЛОЖЕНИЕ 6 .................................................................................................... 30

ПРИЛОЖЕНИЕ 7 .................................................................................................... 31

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................... 31

4

ВВЕДЕНИЕ

«Механика жидкости и газа» – один из фундаментальных общетехнических курсов в системе подготовки бакалавров направления 08.03.01 «Строительство». Предметом изучения курса являются основные законы равновесия и движения жидкости.

При изучении дисциплины студент должен выполнить контрольную работу. Контрольная работа охватывает наиболее важные разделы дисциплины и сущест-венно облегчает ее систематическое изучение.

Перед решением задач студент должен проработать соответствующий раздел по учебникам, приведенным в библиографическом списке [1-2].

Исходные данные для решения задач студент получает на кафедре.

При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться сле-дующим:

1. Работу следует оформлять рукописно или на компьютере на одной стороне листа. Это необходимо для рецензирования и исправлений. Страницы должны быть пронумерованы.

2. Записывать условие задачи с исходными данными и четко выполненными чертежами к задачам.

3. Решение задач вести поэтапно, с пояснениями каждого хода решения.

4. Перед вычислением искомых величин следует вначале написать расчетную формулу в буквенном выражении, затем подставить численные значения всех входящих в нее параметров и привести окончательный ответ.

5. У всех размерных величин должна быть проставлена размерность. Размер-ность величин выражается в Международной системе единиц СИ.

6. Значения всех коэффициентов следует обосновать ссылкой на таблицы, приведенные в тексте или в приложениях.

7. При построении расчетных графиков необходимо указывать величины, от-кладываемые по осям графика, с обозначением их размерностей.

8. Все отмеченные ошибки должны быть исправлены, а сделанные указания выполнены. Исправлять ошибки следует отдельно по каждой задаче на чистой стороне листа.

Контрольную работу, выполненную с вышеуказанными требованиями, сту-дент должен сдать на кафедру для регистрации и проверки.

Работа может быть зачтена только в том случае, если она не содержит прин-ципиальных и грубых арифметических ошибок.

К зачету по дисциплине студент допускается только после защиты им кон-трольной работы.

5

1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ

Жидкостью называется физическое тело, обладающее текучестью и весьма

малой изменяемостью своего объема.

Жидкость, как физическое тело, характеризуется физическими свойствами,

важнейшими из которых являются:

Плотность  – это масса единицы объема жидкости, кг/м3

W

m

  , (1.1)

где m – масса жидкости, кг; W – объем, м3.

Плотность жидкостей уменьшается с увеличением температуры. Исключение

представляет вода в диапазоне температур от 0 0С до 4 0С, когда ее плотность уве-

личивается, достигая, наибольшего значения при температуре 4 0С  1000

кг/м3.

Сопротивление жидкостей изменению своего объема под действием давления

и температуры характеризуется коэффициентами объемного сжатия и темпера-

турного расширения.

Коэффициент объемного сжатия W – это относительное изменение объема

жидкости при изменении давления на единицу, Па-1:

W p

W

W





  , (1.2)

где W – изменение объема, W , соответствующие изменению давления на ве-

личину p , м3.

Коэффициент температурного расширения t – это относительное измене-

ние объема жидкости при изменении температуры на один градус, 0С-1:

W t

W

t





  , (1.3)

где W – изменение объема W , соответствующее изменению температуры на

величину t , м3.

Для воды коэффициент температурного расширения t с возрастанием тем-

пературы и давления увеличивается.

Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению одной

части жидкости относительно другой. Вязкость проявляется только при движении

жидкости и сказывается на распределении скорости по живому сечению потока

(рис. 1.1.).

6

Согласно гипотезе Ньютона сила

внутреннего трения T в жидкостях про-

порциональна градиенту изменения ско-

рости

dy

du

, площади слоев S , зависит от

рода жидкости:

dy

du

T  S , (1.4)

где  – коэффициент динамической вяз-

кости, Па·с.

Если силу трения T отнести к единице площади соприкасающихся слоев, то

получится величина касательного напряжения, Н/м2

dy

du

   . (1.5)

В практике для характеристики вязкости жидкости применяют коэффициент

кинематической вязкости  . Коэффициент кинематической вязкости равен от-

ношению коэффициента динамической вязкости к плотности жидкости, м2/с:





  . (1.6)

Вязкость жидкости зависит от рода жидкости и от температуры. С повышени-

ем температуры вязкость жидкости уменьшается. Зависимость коэффициента ки-

нематической вязкости воды от температуры может определяться по

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 или по эмпирической формуле:

2

6

1 0,0337 0,000221

1,78 10

 t  t



 



. (1.7)

ЗАДАЧА 1

Участок трубопровода заполнен водой при атмосферном давлении. Требуется

определить повышение давления в трубопроводе при нагреве воды на t и за-

крытых задвижках на концах участка.

Примечание. Коэффициенты температурного расширения и объемного сжатия

принять

4 10 t  °С–1;

10

W 5 10    Па–1

Рис. 1.1. Эпюра скорости

dy

du

y

u

a

b

7

Указания к решению задачи 1

При решении задачи необходимо воспользоваться формулами для определе-

ния коэффициентов объемного сжатия и температурного расширения

W t

W

W p

W

t





 





 

0

W ; ,

где W – изменение начального объема, соответствующее изменению давления

на величину p , Па, или температуры на величину t , °С; W0 – начальный объ-

ем, занимаемый жидкостью, до ее нагрева, м3; W – начальный объем, занимае-

мый жидкостью при атмосферном давлении после ее нагрева, м3.

Из этих формул находится искомая величина p при изменении температуры

на заданную величину t .

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ

2.1. Гидростатическое давление

Гидростатическим давлением называется сжимающее напряжение, возни-

кающее в жидкости находящейся состоянии покоя.

Если на жидкость действует только сила тяжести, то абсолютное гидростати-

ческое давление в точке на глубине h определяется по формуле, Па

p  p0  gh , (2.1)

где p0 – давление на свободной поверхности жидкости, Па; gh – весовое дав-

ление, Па.

Разность абсолютного и атмосферного давления называется избыточным или

манометрическим давлением.

Недостаток абсолютного давления до атмосферного называется вакуумметри-

ческим давлением или вакуумом.

2.2. Аналитический способ определения силы давления и центра

давления

Задача сводится к определению величины

силы давления и точки ее приложения.

На рис 2.1 показана плоская стенка AB,

наклоненная под углом  к горизонту. Слева

от стенки находится жидкость. Центр тяжести

поверхности расположен в точке C, точка

приложения силы давления в D, расстояние от

Рис. 2.1 этих точек до свободной поверхности по вер-

h

hC

hD

H



P

A

B

C

D

p0

8

тикали – через hC и hD.

Сила избыточного гидростатического давления на плоскую поверхность вы-

ражается произведением гидростатического давления в центре тяжести по-

верхности pС на ее площадь , Н

P  pC  или P  ghC . (2.2)

Направлена сила по нормали к плоскости поверхности.

Глубина погружения центра давления определяется по формуле, м





  2

C

C

D C sin

h

I

h h , (2.3)

где IC – момент инерции смоченной площади стенки относительно горизонталь-

ной оси, проходящей через центр тяжести этой площади, м4.

Уравнение (2.3) показывает, что центр давления D всегда лежит ниже центра

тяжести C, только при горизонтальном положении плоской поверхности центр

тяжести и центр давления совпадают.

ЗАДАЧА 2

Определить коэффициент устойчивости,

относительно ребра О, подпорной стенки, сво-

бодно покоящейся на непроницаемом основа-

нии рис. 2.4. Расчет выполнить для 1 погонного

метра (п. м.) стенки. Плотность стенки с ,

плотность воды в 1000 кг/м3; ускорение

свободного падения g  9,81 м/с2.

Требуется определить:

1. Силы избыточного гидростатического

давления на 1 погонный метр длины стенки.

2. Положение центров давления.

3. Запас устойчивости k подпорной стенки

на опрокидывание.

Указания к решению задачи 2

Силы избыточного гидростатического давления на плоскую стенку вычисля-

ются по

P  pC  или

P  ghC . (2.2).

Глубина погружения центров давления определяется по выше.

Для плоской прямоугольной фигуры момент инерции смоченной плоской

площадки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести,

определяется по формуле, м4

Рис. 2.4

t

H

h

O

c1

c2

G2

G1

P1

P2

l1

l2

hD1

hD2

a1

a2х

a2у

t2



9

12

3

i

i

bl

I  .

где b – ширина прямоугольника равная 1 п. м.; l – высота прямоугольника, м.

Определив силы избыточного гидростатического давления P1, P2 и точки их

приложения hD1 и hD2 можно найти опрокидывающие моменты, создаваемые

силами гидростатического давления относительно точки О, Н∙м:

Mопр1  P1a1; Mопр 2  P2x a2x P2y a2y .

Плечи опрокидывающих моментов равны, м:

a1  H hD1; a2x H hD2;





 

tg

h h

a у t

D2

2 .

Удерживающие моменты создаваемые силами тяжести относительно точки О

равны, Н∙м:

Mудi Gi ci ,

где G – вес элементов подпорной стенки, Н; с – плечи удерживающих момен-

тов, м.

Силы тяжести элементов подпорной стенки равны, Н

Gi  c gWi ,

где W – объем элемента подпорной стенки, м3.

Плечи удерживающих моментов вычисляются по формулам, м:

2

1

t

c  ,

 

t t

t t t t

с



 



2

2

2 2

2

3

1

,

где t – основания трапеций, м.

Запас устойчивости на опрокидывание равен отношению удерживающего мо-

мента относительно точки О к опрокидывающему моменту:







опр

уд

M

M

k .

10

2.3. Графоаналитический способ определения силы давления и

центра давления

Сила гидростатического давления на прямоугольную фигуру может быть

выражена произведением площади эпюры гидростатического давления F на ши-

рину фигуры b.

Вектор силы давления P проходит через центр тяжести эпюры гидростатиче-

ского давления. Пересечение вектора силы давления с поверхностью, в пределах

которой действует давление, определяет положение центра давления D.

Центр тяжести треугольной эпюры давления расположен в точке пересечения

медиан треугольника.

Варианты определения центра тяжести эпюр давления трапецеидальной фор-

мы графическими методами показаны на рис. 2.2.

Центр тяжести эпюры давления

Медиана трапеции

a

a

b

b

Рис. 2.2

ЗАДАЧА 3

Решить задачу 2 используя для нахождения сил гидростатического давления и

плеч опрокидывающих моментов графический способ.

Указания к решению задачи 3

По формуле (2.1) определяются избыточные гидростатические давления на

глубинах h и H . Вычерчивается стенка (рис. 2.4) в масштабе 1:50. Строятся

эпюры гидростатического давления. Величины избыточных давлений на эпюрах

можно откладывать в масштабе 1:10 000.

Вычисляются площади эпюр. Силы гидростатического давления равны соот-

ветствующим площадям эпюр.

Определяются центры тяжести эпюр. Центр тяжести эпюры имеющей вид

трапеции находится одним из способов, приведенных на рис. 2.2. Через центры

тяжести эпюр проводятся нормально к стенке линии действия сил гидростатиче-

ского давления. Из точки О на линии действия сил опускаются перпендикуляры.

Полученные отрезки являются плечами опрокидывающих моментов.

11

2.4. Определение сил гидростатического давления на криволинейные

поверхности

В общем случае для определения силы гидростатического давления по вели-

чине и направлению достаточно вычислить ее проекции на взаимно перпендику-

лярные направления, например на оси координат. В этом случае величина силы

гидростатического давления определяется по формуле, Н

2 2

P  Px  Py . (2.4)

Направление силы давления определяется углом, образуемым вектором силы

и горизонтальной плоскостью

x

y

P

P

tg  . (2.5)

Горизонтальная составляющая силы гидростатического давления на криво-

линейную поверхность равна силе давления на вертикальную проекцию криволи-

нейной поверхности и проходит через центр давления вертикальной проекции

Px  ghС y . (2.6)

Вертикальная составляющая силы гидростатиче-

ского давления на криволинейную поверхность равна ве-

су жидкости в объеме тела давления

Py  gW . (2.7)

Объем W называется телом давления и представля-

ет собой объем, ограниченный криволинейной поверх-

ностью AB, проекцией ее на плоскость свободной по-

верхности AО и проекцией на вертикальную плоскость

BO (см. рис. 2.3.)

Направление вертикальной составляющей Py (вверх или вниз) определяется

взаимным расположением жидкости и поверхности. Если тело давления образо-

вано жидкостью (положительное тело давления), то вертикальная составляющая

направлена вниз, если же тело давления находится вне жидкости (отрицательное

тело давления), то Py направлена вверх. Вертикальная составляющая силы давле-

ния жидкости на криволинейную поверхность проходит через центр тяжести тела

давления.

W

X p0=pат

O

B

Y



A

P Py

Px



y

Рис. 2.3

12

ЗАДАЧА 4

Заменить в условии задачи 2 наклонную стенку цилиндрической стенкой ра-

диусом H  h (см. рис. 2.4). Найти момент, создаваемый силой гидростатическо-

го давления действующей на криволинейную поверхность.

Указания к решению задачи 4:

По формуле (2.6) находится горизонтальная

составляющая силы гидростатического давле-

ния действующей на цилиндрическую поверх-

ность. Глубина погружения центра тяжести ци-

линдрической поверхности, используемая в

этой формуле, м

2 2

С

H h H h

h h







  .

Вычисляется вертикальная составляющая

силы гидростатического давления действую-

щей на цилиндрическую поверхность по выше.

Объем тела давления равен площади тела дав-

ления (рис. 2.4) умноженной на 1 п. м.

По выше определяется величина силы гидростатического давления дейст-

вующей на цилиндрическую поверхность.

По выше рассчитывается угол между направлением действия силы и горизон-

тальной плоскостью. Линия действия силы проходит через центр кривизны ци-

линдрической поверхности.

Из геометрических соображений находится величина плеча a момента созда-

ваемого силой гидростатического давления, м

   

P

t H h P H h P

a

  y   x

 .

Вычисляется величина момента создаваемого силой гидростатического давле-

ния, Н∙м

Mопр  P a.

3. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

3.1. Гидравлические элементы потока

Основными гидравлическими элементами потока являются: площадь живого

сечения, смоченный периметр и гидравлический радиус.

Тело давления

t

H

h

O

P

H-h

a

Px

Py



Рис.2.4.

13

Живым сечением потока называется поперечное сечение потока, проведенное

нормально направлению движения жидкости. Площадь живого сечения обознача-

ется .

Смоченным периметром  , м, называется длина части периметра живого се-

чения, на которой поток соприкасается с твердыми стенками.

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения к

смоченному периметру, м





R  . (3.1)

Расходом жидкости Q называется количество жидкости, протекающее через

данное сечение потока в единицу времени. Расход равен произведению площади

живого сечения на среднюю скорость, м3/с

Q  v . (3.2)

3.2. Уравнение Бернулли

Основной задачей гидроди-

намики является изучение зако-

нов движения жидкости. Дви-

жение жидкости характеризует-

ся скоростями движения частиц

и давлением в отдельных точ-

ках потока.

Взаимосвязь между гидро-

динамическим давлением и

скоростью движущейся жидко-

сти и геометрической высотой в

различных сечениях потока ус-

танавливает уравнение Д. Бер-

нулли (см. рис. 3.1).

Для потока реальной жид-

кости уравнение Д. Бернулли

имеет вид

,

2 2

2

2 2 2

2

2

1 1 1

1 hw

g

v

g

p

z

g

v

g

p

z 







 







 (3.3) z1

l

z2 hw

E

E

P

P

g

p



1

g

p



2

g

v

2

2

1 1

g

v

2

2

2 2

О О

Рис. 3.1

14

где z1 и z2 – геометрические высоты (удельные, т.е. отнесенные к единице веса

жидкости, потенциальные энергии положения), м;

g

p



1 и

g

p



2 – удельные потен-

циальные энергии давления, м;

g

v

2

2

1 1

и

g

v

2

2

2 2

– скоростные напоры (удельные

кинетические энергии), м; hw – потери напора (удельная энергия, затрачиваемая

на преодоление сопротивления движению), м; p1 и p2 – гидродинамические

давления, Па; v1 и v2 – средние скорости движения жидкости в рассматривае-

мых сечениях, м/с; 1 и 2 – коэффициенты кинетической энергии, величина ко-

торых зависит от степени неравномерности распределения скоростей по живому

сечению потока (при турбулентном режиме движения  принимается равным

1,05 – 1,1).

3.3. Два режима движения жидкости

Существуют два основных режима движения жидкости: ламинарный и турбу-

лентный. При ламинарном движении жидкость движется струйками или слоями

без перемешивания. При турбулентном движении «струйчатость» движения

жидкости нарушается: наряду с главным движением вдоль потока частицы со-

вершают сложное движение в поперечном направлении.

Для определения режима движения жидкости используется критерий Рей-

нольдса





v D

Re , (3.4)

где v – средняя скорость движения жидкости, м/с; D – диаметр трубопровода, м;

 – коэффициент кинематической вязкости, м2/с.

Число Рейнольдса, при котором происходит смена режима движения жидко-

сти, называется критическим. Критическое число Рейнольдса равно 2320. Если

Re  2320, то наблюдается ламинарный режим, в противном случае – турбу-

лентный.

3.4. Гидравлические сопротивления

Потери напора делятся на два вида:

1. потери напора по длине hl, пропорциональные длине потока и обусловлен-

ные силами трения между жидкостью и стенками трубопровода;

15

2. местные потери напора hм – потери сосредоточенные на коротких участках

потока и обусловленные резкими деформациями потока, изменением скорости

потока по величине и направлению.

Потери напора по длине определяются по формуле Дарси, м

g

v

D

l

hl

2

2

  , (3.5)

где  – коэффициент гидравлического трения в трубах, l – длина трубопровода,

м; D – расчетный внутренний диаметр трубопровода, м.

Коэффициент гидравлического трения может быть найден по формуле

Д. А. Альтшуля

0,25

Re

68

11 , 0 





 

  

D

э , (3.6)

где э – эквивалентная шероховатость, м.

Эквивалентная шероховатость – это искусственная равномерная зернистая

шероховатость с таким диаметром зерен, при котором в области квадратичного

сопротивления значение коэффициента гидравлического трения равно его значе-

нию при естественной шероховатости.

Величина равная отношению потерь напора по длине к длине потока называ-

ется гидравлическим уклоном

l

h

I  l . (3.7)

Местные потери напора определяются по формуле Вейсбаха, м

g

v

hм

2

2

  , (3.8)

где  – коэффициент местного сопротивления.

Если D1  D2 (т.е. имеет место случай внезапного расширения потока) коэф-

фициент местного сопротивления определяется по формуле

2

1

2 1 





 











  . (3.9)

Если D1  D2 (т.е. внезапное сжатие потока)

 





 









  

1

0,5 1 2 . (3.10)

16

В случае выхода из трубы в резервуар больших размеров коэффициент мест-

ного сопротивления равен 1, а в случае входа в трубу 0,5.

Местные потери напора в случае внезапного расширения потока могут также

определяться по формуле Борда, м

 

g

v v

hвр

2

2

1  2

 . (3.11)

Потери напора в трубопроводах также могут определяться по формуле

2

hw  KмAK1lQ , (3.12)

где Kм – коэффициент учитывающий местные сопротивления; A – удельное

сопротивление трубы, работающей в квадратичной области сопротивления, для

неновых стальных и чугунных труб значение принимается по ПРИЛОЖЕНИЕ 2,

с2/м6; K1 – поправочный коэффициент, учитывающий неквадратичность зависи-

мости потерь напора от средней скорости движения воды в трубе.

Для не новых стальных и чугунных труб:

если скорость v 1,2 м/с, то K1 1;

если скорость v 1,2 м/с, то значение K1 определяется интерполяцией

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. или по формуле

0,3

1

0,867

1 852 , 0 







 

v

K . (3.13)

ЗАДАЧА 5

Определить давление p2, если расход, проте-

кающий по трубопроводу Q, диаметры труб D1 и

D2 и давление в начале трубопровода p1. Схема

трубопровода приведена на рис. 3.2.

Указание к решению задачи 5:

Для определения давления p2 необходимо для сечений 1–1 и 2–2 составить

уравнение Д. Бернулли. Плоскость сравнения 0–0 следует провести по оси трубо-

провода

1 2

2

2 2 2

2

2

1 1 1

1

2 2

 







 







 h

g

v

g

p

z

g

v

g

p

z

0 0 Q

1

1

2

2

D1

D2

Рис. 3.2.

17

где z1, z2 – удельные энергии положения, так как плоскость сравнения проведена

по оси трубопровода z1  z2  0, м; p1, p2 – давление в центрах тяжести живых

сечений 1-1 и 2–2, м; v1, v2 – средние скорости движения жидкости в живых се-

чениях 1-1 и 2–2, м/с; 1, 2 – коэффициенты кинетической энергии, принять

равными 1; h1–2 – потери напора при внезапном расширении, определяемые по

выше

Следовательно, уравнение Д. Бернулли можно записать:

 

g

v v

g

v

g

p

g

v

g

p

2 2 2

2

1 2

2

2 2

2

1 1 

 



 



.

Из данного уравнения выразить p2.

Средние скорости потока определяются из выше.

ЗАДАЧА 6

Из открытого резервуара, в

котором поддерживается посто-

янный уровень, по стальному

трубопроводу (эквивалентная

шероховатость э 1 мм), со-

стоящему из труб различного

диаметра D и различной длины

l , вытекает в атмосферу вода,

расход которой Q и температу-

ра t ºС (рис. 3.3). Коэффициент

кинетической энергии принять

равным 1,1.

Требуется:

1. Определить скорости дви-

жения воды и потери напора (по

длине и местные) на каждом участке трубопровода.

2. Установить величину напора Н в резервуаре.

3. Построить напорную и пьезометрическую линии, с соблюдением масштаба.

Указания к решению задачи 6:

Эта задача решается на основе применения уравнения Д. Бернулли.

Решение задачи выполняется в следующем порядке:

1. Составляется уравнение Д. Бернулли в общем, виде для сечений 0–0 (на

свободной поверхности жидкости в резервуаре) и сечения 3–3 (на выходе потока

из трубы). При написании уравнения Д. Бернулли следует помнить, что индексы у

l1

0 0

O1

Q

Q

pат

3

3

O1

pат

D1 D2 D3

l2 l3

H

Рис.3.3

18

всех членов уравнения должны соответствовать номерам рассматриваемых сече-

ний. Например, величины, относящиеся к сечению 0–0, следует обозначать z0,

p0, 0, v0, а к сечению 3–3 – z3, p3, 3, v3.

0 3

2

3 3 3

3

2

0 0 0

0

2 2

 







 







 h

g

v

g

p

z

g

v

g

p

z

2. Намечается горизонтальная плоскость сравнения. При горизонтальном тру-

бопроводе плоскость сравнения проводится по оси трубопровода. После этого ус-

танавливается, чему равно каждое слагаемое, входящее в уравнение Д. Бернулли,

применительно к условиям решаемой задачи. Например, z0  H (искомая вели-

чина напора в резервуаре); p0  pат (атмосферное давление); v0  0 (скорость

движения воды в сечении 0–0) и так далее.

3. После подстановки всех найденных величин в уравнение Д. Бернулли и его

преобразования записывается расчетное уравнение в буквенном выражении для

определения искомой величины H.

4. Определяются скорости движения воды на каждом участке из выше.

5. По скоростям движения воды вычисляются числа Рейнольдса, и устанавли-

вается режим движения на каждом участке. Значение кинематического коэффи-

циента вязкости  определяют по ПРИЛОЖЕНИЕ 1или по выше в зависимости от

температуры.

6. Определяются потери напора по длине каждого участка (

l1 h ,

l2 h ,

l3 h ) и в

каждом местном сопротивлении (вход воды из резервуара hвх, внезапное расши-

рение hвр и внезапное сужение hвс).

Потери напора по длине определяются по выше. Значения коэффициентов

гидравлического сопротивления вычисляются по выше предварительно вычислив

числа Рейнольдса выше.

При вычислении потери напора на вход в трубу коэффициент местного сопро-

тивления вх равен 0,5.

Потери напора при внезапном сужении потока вычисляют по выше. Значение

коэффициента местного сопротивления при внезапном сужении трубопровода вс

берется в зависимости от степени сужения n (отношения площади трубы в узком

сечении к площади трубы в широком сечении) по ПРИЛОЖЕНИЕ 5.

Потери напора при внезапном расширении потока определяются по выше.

7. После определения потерь напора по длине и в местных сопротивлениях

вычисляется искомая величина – напор Н в резервуаре.

 



 hl hм

g

v

H

2

2

3 3 .

19

8. Строится напорная линия. Напорная линия показывает, как изменяется пол-

ный напор: (полная удельная энергия) по длине потока. Значения Н откладыва-

ются вертикально вверх от осевой линии трубопровода.

При построении напорной линии нужно вертикалями выделить расчетные

участки. Таких участков в данной задаче будет три. Далее в произвольно выбран-

ном вертикальном масштабе откладывается от осевой линии величина найденного

уровня жидкости в резервуаре Н. Проводя по этому уровню горизонтальную ли-

нию, получаем линию исходного (первоначального) напора. От уровня жидкости

в резервуаре по вертикали, отвечающей сечению при входе жидкости в трубопро-

вод, откладывается в масштабе вниз отрезок, равный потере напора при входе

жидкости в трубу (потеря напора в местном сопротивлении hвх). На участке l1

имеет место потеря напора по длине трубопровода

l1 h . Для получения точки,

принадлежащей напорной линии в конце участка l1, нужно от линии полного на-

пора после входа жидкости в трубу отложить по вертикали в конце участка l1

вниз в масштабе отрезок, соответствующий потере напора на этом участке

l1 h .

Затем от точки полного напора в конце участка l1 откладывается в масштабе отре-

зок, соответствующий потере напора в местном сопротивлении, и так до конца

трубопровода. Соединяя точки полного напора в каждом сечении, получим на-

порную линию.

Пьезометрическая линия показывает, как изменяется пьезометрический напор

(удельная потенциальная энергия), по длине потока. Удельная потенциальная

энергия меньше полной удельной энергии на величину удельной кинетической

энергии

g

v

2

2 

. Поэтому, чтобы построить пьезометрическую линию, нужно вы-

числить на каждом участке величину

g

v

2

2 

в начале и в конце каждого участка и

соединяя полученные точки, строим пьезометрическую линию.

Графики напорной и пьезометрической линий будут построены правильно в

том случае, если при их построении были выдержаны принятые вертикальный и

горизонтальный масштабы, а также верно вычислены все потери напора и все

скоростные напоры

g

v

2

2 

.

Для того чтобы проверить правильность построения напорной и пьезометри-

ческой линий, необходимо помнить следующее:

Напорная линия вниз по течению всегда убывает. Нигде и никогда напорная

линия не может вниз по течению возрастать.

Поскольку потеря энергии потока на трение зависит от скорости движения

жидкости, интенсивность потери напора (потеря напора на единицу длины или

20

гидравлический уклон) будет больше на том участке, где скорость больше. Сле-

довательно, на участках с меньшими диаметрами и большими скоростями наклон

напорной и пьезометрической линии будет больше.

В отличие от напорной пьезометрическая линия может вниз по течению как

убывать, так и возрастать (при переходе с меньшего сечения на большее).

В пределах каждого участка пьезометрическая линия должна быть параллель-

на напорной, поскольку в пределах каждого участка постоянна величина

g

v

2

2 

.

На тех участках, где скорость больше, расстояние между напорной и пьезо-

метрической линиями больше.

Как бы ни изменялась пьезометрическая линия по длине потока при выходе

его в атмосферу (свободное истечение), она неизбежно должна приходить в центр

тяжести выходного сечения. Это происходит потому, что пьезометрическая линия

показывает изменение избыточного давления по длине трубопровода, которое в

выходном сечении равно нулю, поскольку в выходном сечении абсолютное дав-

ление равно атмосферному.

После построения напорной и пьезометрической линий на графике показыва-

ют все потери напора и все скоростные напоры с указанием их численных значе-

ний. Примерный вид графика приведен на рис. 3.4.

21

ЗАДАЧА 7

Назначить диаметр трубопровода D и определить необходимую высоту водо-

напорной башни Hб в точке A (рис. 3.5) для обеспечения расчетной подачи воды

с расходом Q потребителю в точке B по трубопроводу длиной l , при разности

отметок земли в точках A и B, равной z и минимальном свободном напоре в точ-

hм1=39

Напорная линия

Пьезометрическая линия

l1=3000 l2=10000 l3=2000

hl1=348

hм2=27

hl2=114

hм3=79

hl3=841

87

2

2

1 



g

v

15

2

2

2 



g

v

233

2

2

3 



g

v

H=1682

Рис. 3.4.

22

ке B равном Hсв . Определить ве-

личину свободного напора при уве-

личении расхода на 20 %.

Примечание. Трубы чугунные,

потери напора в местных сопротив-

лениях принять равными 10 % от

потерь напора по длине.

Указания к решению задачи 7

1. Диаметр трубопровода назна-

чается по предельным расходам,

представленным в ПРИЛОЖЕНИЕ 4

2. Определяется скорость дви-

жения воды из выше.

3. Вычисляются по вышепотери напора на участке трубопровода hw от точки

А до точки B.

4. Необходимая высота водонапорной башни в соответствии с рис 3.5 равна, м

Hб hw Hсв  z .

5. Величина свободного напора в конечной точке сети при изменении расхода

определяется по формуле, м

Hсв Hб  z hw ,

где hw – потери напора в сети при расходе Q 1,2Q, определяемые по выше,

м.

4. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ МАЛЫЕ ОТВЕРСТИЯ И

НАСАДКИ

4.1. Истечение жидкости через малые отверстия в тонкой стенке

Малым отверстием считается такое отверстие в верхней и нижней точках, ко-

торого давления не отличаются более чем на 5 % от

давления в центре отверстия. Это условие выполняется,

когда вертикальный размер отверстия не превышает 0,1

величины глубины погружения центра отверстия под

уровень жидкости.

Тонкой называется такая стенка, толщина которой

не оказывает влияния на характер истечения из отвер-

стия.

При истечении жидкости через отверстие линии то-

ка перед отверстием и в плоскости отверстия не парал-

рис. 4.1

d

dcж

d/2

H

Рис. 3.5.

Нб

hw Нсв

z

А

В

23

лельны (рис. 4.1). Наибольшую кривизну имеют линии тока на краях отверстия.

Из-за действия сил инерции, возникающих при изменении направления движения

частиц жидкости, происходит сжатие струи. Кривизна линий тока за отверстием

уменьшается. На расстоянии примерно половине диаметра от отверстия линии

тока становятся практически параллельны. Сечение струи расположенное в дан-

ном месте называется сжатым. Степень сжатия струи характеризуется коэффици-

ентом сжатия струи





  сж , (4.1)

где сж – площадь живого сечения струи в сжатом сечении, м2;  – площадь от-

верстия, м2.

Скорость истечения жидкости через малое отверстие в тонкой стенке опреде-

ляется по формуле, м/с

v   2gH , (4.2)

где  – коэффициент скорости; H – напор перед отверстием, м.

Коэффициент скорости учитывает сопротивление при истечении жидкости

через отверстие

  

 

1

, (4.3)

Коэффициент скорости зависит от режима движения, вязкости жидкости и

размеров и формы отверстия.

Расход жидкости равен, м3/с

Q  сжv   2gH   2gH , (4.4)

где  – коэффициент расхода, зависящий от вида сжатия, размеров формы отвер-

стия и напора.

4.2. Истечение жидкости через насадки

Насадком называется короткий трубопровод, работающий на выходе полным

сечением, присоединяемый к отверстию в тонкой стенке, для изменения характе-

ристик истечения по сравнению с истечением через отверстие. Работа полным се-

чением на выходе обеспечивается при длине трубы более 3,5–4 диаметров.

При входе в насадок происходит искривление линий тока, образуется сжатое

сечения, затем поток расширяется и заполняет все поперечное сечение насадка.

На участке сжатия струи поток можно разделить на транзитную струю и водово-

ротную область. В сжатом сечении скорость больше чем на выходе из насадка. В

24

выходном сечении давление равно атмосферному, поэтому в сжатом сечении соз-

дается вакуум.

При равных площадях и напорах пропускная способность насадка оказывается

выше, чем отверстия.

При увеличении длины насадка возрастают потери энергии, уменьшается ве-

личина вакуума, поэтому пропускная способность насадка уменьшается. При

длине насадка больше 45–55 диаметров давление в сжатом сечении становится

равным или несколько больше атмосферного, следовательно, пропускная способ-

ность трубопровода равна или меньше пропускной способности отверстия.

Насадки по форме разделяются на: цилиндрические (внешние рис. 4.2 a и

внутренние рис. 4.2 б), конические (расходящиеся рис. 4.2 в и сходящиеся

рис. 4.2 г) и коноидальные рис. 4.2 д.

с

с

в

в

а)

с

с

в

в

б)

с

с

в

в

в)

в

в

с

с

г) д)

Рис. 4.2

Формулы для определения скорости истечения и расхода имеют такой же вид,

как при истечении из отверстия отличаются только величины коэффициентов

скорости и расхода. Значения коэффициентов сжатия струи, скорости и расхода

для разных видов насадков приведены в ПРИЛОЖЕНИЕ 6.

Площадь выходного сечения у конических расходящихся насадков больше

чем у цилиндрических, поэтому величина вакуума в сжатом сечении у кониче-

ских расходящихся насадков больше. Следовательно, пропускная способность

конических расходящихся насадков выше, чем пропускная способность внешних

цилиндрических. Величина вакуума увеличивается с увеличением угла конусно-

сти. Однако существует предельное значение угла конусности превышение, кото-

рого приводит к срыву вакуума. Оптимальное значение угла конусности состав-

ляет 5–70. Струя на выходе из насадка не имеет сжатия, поэтому  1 и, следова-

тельно,   .

У конических сходящихся насадков после сжатого сечения струя расширяется,

достигает стенок насадка и при выходе из насадка несколько сжимается. Коэффи-

циенты скорости и расхода достигают максимального значения при угле конусно-

сти 13014’ при этом площадь выходного сечения равна площади сжатого сечения.

Вакуум в конических сходящихся насадках не возникает. Область применения

данных насадков – большая кинетическая энергия струи на выходе из насадка.

25

Коноидальные насадки имеют очертание струй истекающих из отверстий.

ЗАДАЧА 8

Определить скорость и расход из круглого отверстия диаметром d и устано-

вить, как они изменятся, если к отверстию присоединить цилиндрический насадок

длиной 4d , конический расходящийся насадок с углом конусности 6о и кониче-

ский сходящийся насадок с углом конусности 13о14’. Напор в центре тяжести от-

верстия Н . Давление на свободной поверхности жидкости равно атмосферному.

Указания к решению задачи 8

1. Скорость истечения и расход для круглого отверстия определяется соответ-

ственно по выше и выше. Значения коэффициентов скорости и расхода принима-

ются по ПРИЛОЖЕНИЕ 6.

2. Определяется диаметр выходного отверстия для конического расходящего-

ся насадка

0 D d  2l tg3 . Находится площадь выходного отверстия для кони-

ческого расходящегося насадка.

3. По вышеи выше вычисляются соответственно скорости и расходы для

внешнего цилиндрического, конического расходящегося и конического сходяще-

гося насадков. Значения коэффициентов скорости и расхода насадков определя-

ются по ПРИЛОЖЕНИЕ 6.

4. Проводится сравнение результатов расчетов.

5. РАВНОМЕРНОЕ БЕЗНАПОРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ

ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛАХ

Равномерным называется та-

кое движение, когда площадь

живого сечения , средняя ско-

рость v , а также эпюра распре-

деления скорости по живому се-

чению не меняются вдоль пото-

ка.

При этом движении глубина

потока по его длине не меняется

и называется нормальной глуби-

ной h0 .

При равномерном движении

напорная линия Н–Н, линия свободной поверхности она же пьезометрическая ли-

ния Р–Р и линия дна канала параллельны (рис. 5.1). Следовательно, гидравличе-

ский уклон равен пьезометрическому уклону и равен уклону дна канала i .

26

Так как величина уклона обычно невелика, считают, что поперечные сечения

вертикальны.

Расход воды при расчете равномерного безнапорного движения воды в кана-

лах определяется по формуле

Q v . (5.1)

Средняя скорость движения воды вычисляется по формуле Шези

v C Ri , (5.2)

где C – коэффициент Шези, м0,5/с; R – гидравлический радиус, м.

Поперечное сечение каналов может иметь различные формы (рис. 5.2), однако

наибольшее распространение получили каналы трапецеидального сечения. Здесь:

b – ширина канала по дну, м; h – глубина воды, м; m – коэффициент откоса,

равный ctg ; B – ширина потока по верху, м;  – площадь живого сечения, м2;

 – смоченный периметр, м.

B

h

b



b

h

B



h

d

Рис. 5.2.

Формулы для определения  и  .

Трапецеидальное сечение:

  b mhh ; (5.3)

2 1 2   b  h m  ; (5.4)

B b  2mh . (5.5)

Прямоугольное сечение, m  0:

 bh ; (5.6)

 b  2h . (5.7)

Круглое сечение:

1 2 ;

d

h

a   (5.8)

  arccosa; (5.9)

27

    sin 

4

2

a

d

; (5.10)

  d. (5.11)

Гидравлический радиус вычисляется по выше.

Коэффициент Шези вычисляется по формуле Маннинга, м0,5/с

6

1

1

R

n

С  . (5.12)

где n – коэффициент шероховатости стенок русла, принимаемый по

ПРИЛОЖЕНИЕ 7.

ЗАДАЧА 9.

Определить нормальную глубину и среднюю скорость движения воды в кана-

ле заданного поперечного сечения (рис. 5.2) для заданных расхода воды Q, гео-

метрических размеров русла канала, уклона дна канала i и материала стенок кана-

ла.

Указания к решению задачи 9

Основной зависимостью при расчете каналов при равномерном движении в

них воды является выше. Величины площади живого сечения , коэффициента

Шези C и гидравлического радиуса R выражаются достаточно сложными зави-

симостями от глубины воды в канале. Поэтому непосредственно из формулы Ше-

зи найти глубину воды невозможно. Данную задачу можно решить подбором,

численно или графически. В контрольной работе предлагается графическое реше-

ние.

1. Для построения кривой связи Q  f (h) необходимо задаться рядом произ-

вольных значений глубин (не менее 5) и в табличной форме определить соответ-

ствующие им расходы (табл. 5.1).

Таблица 5.1.

h, м h1 h2 … hn

 , м2

 , м





R  , м

28

6

1

1

R

n

С  , м0,5/с

v C Ri , м/с

Q  v , м3/с

2. По данным табл. 5.1 стоится график рис. 5.3. По заданному расходу Q по

графику определяется глубина h0.

h, м

Q, м3Q /с

h0

Рис. 5.3.

3. Подставив в табл. 5.1 найденную нормальную глубину вычисляется соот-

ветствующая ей средняя скорость потока.

29

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Значения кинематического коэффициента вязкости воды при различной

температуре.

t , C 0 10 20 30 40

 , cм2/c 0,0178 0,0131 0,0101 0,0090 0,0066

t , C 50 60 70 80 90

 , cм2/c 0,0058 0,0048 0,0040 0,0036 0,0030

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Удельные сопротивления с2/м6 и расходные характеристики, м3/с, для

бывших в эксплуатации водопроводных труб при скорости v 1,2

Диаметр условного

прохода

Трубы

Стальные Чугунные

A A

100 173 312

125 76,4 96,7

150 30,65 37,1

175 20,8 –

200 6,96 8,09

250 2,19 2,53

300 0,85 0,95

350 0,373 0,437

400 0,191 0,219

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Значение поправочного коэффициента K1 в зависимости от средней ско-

рости движения потока v

v , м/с 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60

K1 1,41 1,33 1,28 1,24 1,20 1,175 1,15 1,13 1,115

v , м/с 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 1,00 1,10 1,20

K1 1,10 1,085 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,015 1,00

30

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Предельные расходы Q , л/с и скорости v , м/с в водопроводных трубах

Диаметр

условного

прохода

Трубы

Стальные Чугунные

Q

v Q

v

100 11,7 1,15 9,4 1,15

125 16,6 1,19 15,0 1,18

150 21,8 1,12 25,3 1,40

175 29,2 1,30 – –

200 46,0 1,34 45,8 1,42

250 71,0 1,34 73,5 1,46

300 103 1,35 108 1,48

350 140 1,35 149 1,53

400 184 1,36 197 1,56

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Значение коэффициента вс при внезапном сужении трубопровода

1

2





n  0,01 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

вс 0,41 0,4 0,38 0,36 0,34 0,3 0,27 0,2 0,16 0,1

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Значения коэффициентов сжатия струи  , скорости  и расхода  для

малого круглого отверстия в тонкой стенке и различных видов насадков

Тип насадка   

Круглое отверстие 0,64 0,970 0,620

Внешний цилиндрический насадок 1,00 0,820 0,820

Внутренний цилиндрический насадок 1,00 0,707 0,707

Конический расходящийся насадок при

0   57 (для выходного сечения)

1,00 0,500 0,500

Конический сходящийся насадок при

13 24   0 

0,98 0,960 0,940

Коноидальный насадок 1,00 0,980 0,980

31

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

Коэффициент шероховатости русел

Материал стенок русла

Коэффициент шероховатости n

сталь

0,012

чугун

0,013

бетон

0,013

нескальный грунт

0,025

скальный грунт

0,040

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лапшев Н.Н. Основы гидравлики и теплотехники: Учебник для вузов / Н.Н. Лапшев, Леонтьева Ю.Н. – М.: Академия, 2012. – 400 с.

2. Чугаев Р.Р. Гидравлика: Учебник для вузов. 5-е изд., репринтное. – М.: ООО «БАСТЕТ», 2008. – 672 с.: ил.

3. Примеры расчетов по гидравлике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Н. М. Константинова. – М.: Стойиздат, 1976. – 255 с.