Вычисление интеграла

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратная ей операция — нахождение первообразной — называется интегрированием.

Множество всех первообразных функции $f(x)$ часто называют интегралом этой функции (неопределенным) и обозначают символом $∫f(x)dx$ (читают: интеграл эф от икс дэ икс).

Онлайн-калькулятор

Интегрирование

Выражение «проинтегрировать функцию f(x)» или «вычислить интеграл» обозначает то же, что и «найти первообразную для функции f(x)».

То есть если $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$, а $С$ — произвольное число, то $∫f(x)dx = F(x) + С$.

Для вычисления неопределенных интегралов используется несколько правил, подобных правилам дифференцирования, которые облегчают нахождение первообразных (вычисление интеграла). Все эти правила, а также приемы интегрирования рассмотрены в соответствующей статье.

Для вычисления интегралов, кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций, которая также приведена в статье «Вычисление неопределенного интеграла».

Примеры вычисления интеграла

Рассмотрим некоторые примеры вычисления неопределенного интеграла.

Пример 1

Проинтегрируйте функцию $f(x)=\sqrt[4]{x}$

Решение

$\int{\sqrt[4]{x}}dx=\int{{{x}^{\frac{1}{4}}}}dx=\frac{{{x}^{\frac{1}{4}+1}}}{\frac{1}{4}+1}+C=\frac{4x\sqrt[4]{x}}{5}+C$

Пример 2

Вычислите интеграл $\int{\left( \sqrt{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}dx$

Решение

$\int{\left( \sqrt{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}dx=\int{\sqrt{x}}dx+\int{\frac{2}{{{x}^{2}}}}dx=\int{{{x}^{\frac{1}{2}}}}dx+2\int{{{x}^{-2}}}dx=\frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}+2\cdot \frac{{{x}^{-1+1}}}{-2+1}+C=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}-\frac{x}{2}+C$

Примеры вычисления определенного интеграла

Помимо собственно интеграла существует понятие об определенном интеграле - интеграле функции в указанной области интегрирования. Особенности вычисления определенных интегралов и их свойства приведены в соответствующей статье «Вычисление определенного интеграла». Здесь же будут рассмотрены некоторые примеры их вычислений.

Пример 3

Вычислить $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{({{x}^{3}}-cosx)}dx$

Решение

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{({{x}^{3}}-cosx)}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{x}^{3}}}dx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{cosx}dx=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4} \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}-\left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{{{\pi }^{4}}}{1024}-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,698$

Пример 4

Вычислить ${{\int \limits_{1}^{2} {(x+2)}}^{2}} dx$

Решение

$\int\limits_{1}^{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx=}\int\limits_{1}^{2}{({{x}^{2}}+2x+4)dx=}\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}dx+}\int\limits_{1}^{2}{2xdx+}\int\limits_{1}^{2}{4dx=}\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{1}^{2}+4\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{1}^{2}+4\left. x \right|_{1}^{2}=\left( \frac{8}{3}-\frac{1}{3} \right)+2(4-1)+4(2-1)=12\frac{1}{3}$

Пример 5

Вычислить $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin (3x-\frac{\pi }{4})}dx$

Решение

$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin (3x-\frac{\pi }{4})}dx=\frac{1}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{4}}{\operatorname{sint}}dt=\left. -\frac{1}{3}\cos t \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{4}}=-\frac{1}{3}\left( \cos \frac{5\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{2} \right)=-\frac{1}{3}\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}-0 \right)=\frac{\sqrt{2}}{6}\approx 0,235$

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме «Вычисление интеграла»