Вычисление интеграла

Содержание

  1. 1. Онлайн-калькулятор
  2. 2. Интегрирование
  3. 3. Примеры вычисления интеграла
    1. 3.1. Пример 1
    2. 3.2. Пример 2
  4. 4. Примеры вычисления определенного интеграла
    1. 4.1. Пример 3
    2. 4.2. Пример 4
    3. 4.3. Пример 5
  5. 5. Тест по теме «Вычисление интеграла»
Введите функцию:

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратная ей операция — нахождение первообразной — называется интегрированием.

Множество всех первообразных функции f(x)f(x) часто называют интегралом этой функции (неопределенным) и обозначают символом f(x)dx∫f(x)dx (читают: интеграл эф от икс дэ икс).

Онлайн-калькулятор

Интегрирование

Выражение «проинтегрировать функцию f(x)» или «вычислить интеграл» обозначает то же, что и «найти первообразную для функции f(x)».

То есть если F(x)F(x) — первообразная для функции f(x)f(x), а СС — произвольное число, то f(x)dx=F(x)+С∫f(x)dx = F(x) + С.

Для вычисления неопределенных интегралов используется несколько правил, подобных правилам дифференцирования, которые облегчают нахождение первообразных (вычисление интеграла). Все эти правила, а также приемы интегрирования рассмотрены в соответствующей статье.

Для вычисления интегралов, кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций, которая также приведена в статье «Вычисление неопределенного интеграла».

Примеры вычисления интеграла

Рассмотрим некоторые примеры вычисления неопределенного интеграла.

Пример 1

Проинтегрируйте функцию f(x)=x4f(x)=\sqrt[4]{x}

Решение

x4dx=x14dx=x14+114+1+C=4xx45+C\int{\sqrt[4]{x}}dx=\int{{{x}^{\frac{1}{4}}}}dx=\frac{{{x}^{\frac{1}{4}+1}}}{\frac{1}{4}+1}+C=\frac{4x\sqrt[4]{x}}{5}+C

Пример 2

Вычислите интеграл (x+2x2)dx\int{\left( \sqrt{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}dx

Решение

(x+2x2)dx=xdx+2x2dx=x12dx+2x2dx=x12+112+1+2x1+12+1+C=23x3x2+C\int{\left( \sqrt{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}dx=\int{\sqrt{x}}dx+\int{\frac{2}{{{x}^{2}}}}dx=\int{{{x}^{\frac{1}{2}}}}dx+2\int{{{x}^{-2}}}dx=\frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}+2\cdot \frac{{{x}^{-1+1}}}{-2+1}+C=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}-\frac{x}{2}+C

Примеры вычисления определенного интеграла

Помимо собственно интеграла существует понятие об определенном интеграле - интеграле функции в указанной области интегрирования. Особенности вычисления определенных интегралов и их свойства приведены в соответствующей статье «Вычисление определенного интеграла». Здесь же будут рассмотрены некоторые примеры их вычислений.

Пример 3

Вычислить 0π4(x3cosx)dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{({{x}^{3}}-cosx)}dx

Решение

0π4(x3cosx)dx=0π4x3dx0π4cosxdx=x440π4sinx0π4=π41024220,698\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{({{x}^{3}}-cosx)}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{x}^{3}}}dx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{cosx}dx=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4} \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}-\left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{{{\pi }^{4}}}{1024}-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,698

Пример 4

Вычислить 12(x+2)2dx{{\int \limits_{1}^{2} {(x+2)}}^{2}} dx

Решение

12(x+2)2dx=12(x2+2x+4)dx=12x2dx+122xdx+124dx=x3312+4x2212+4x12=(8313)+2(41)+4(21)=1213\int\limits_{1}^{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx=}\int\limits_{1}^{2}{({{x}^{2}}+2x+4)dx=}\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}dx+}\int\limits_{1}^{2}{2xdx+}\int\limits_{1}^{2}{4dx=}\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{1}^{2}+4\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{1}^{2}+4\left. x \right|_{1}^{2}=\left( \frac{8}{3}-\frac{1}{3} \right)+2(4-1)+4(2-1)=12\frac{1}{3}

Пример 5

Вычислить π4π2sin(3xπ4)dx\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin (3x-\frac{\pi }{4})}dx

Решение

π4π2sin(3xπ4)dx=13π25π4sintdt=13costπ25π4=13(cos5π4cosπ2)=13(220)=260,235\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin (3x-\frac{\pi }{4})}dx=\frac{1}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{4}}{\operatorname{sint}}dt=\left. -\frac{1}{3}\cos t \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{4}}=-\frac{1}{3}\left( \cos \frac{5\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{2} \right)=-\frac{1}{3}\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}-0 \right)=\frac{\sqrt{2}}{6}\approx 0,235

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме «Вычисление интеграла»

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир