Вычисление неопределенного интеграла

Задача дифференциального исчисления – нахождение производной от заданной функции y = f (x). Задача интегрального исчисления противоположная: нужно определить функцию, производная от которой известна. Фундаментальными понятиями интегрального исчисления является понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Понятие неопределенного интеграла

Пусть функция $F$ – первоначальная для $f$ на $J$.

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от функции $f$ называется совокупность всех первообразных этой функции, то есть выражение

$\int{f(x)dx}=F(x)\text{ }+C,x\in J,$

где $C ∈ R$ – произвольная постоянная.

Функция $f$ называется подынтегральной функцией, $f (x) dx$ – подынтегральное выражение, $C$ – постоянной интегрирования, $x$ – переменной интегрирования.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл – это совокупность (семья) линий $F (x) + C$:

Неопределенным интегралом от функции $f (x) = 2x$ является совокупность ее первоначальных $x^2 + C$, где $C$ – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

Из определения первоначальной и неопределенного интеграла вытекают следующие свойства (при условии существования первообразныхи производных на интервале $J$):

1. $\frac{d}{dx}\int{f(x)}dx=f(x),x\in J$;
2. $\int{{f}'(x)}dx=f(x),x\in J$;
3. $\forall \alpha \in R,\alpha \ne 0:\int{\alpha f(x)}dx=\alpha \int{f(x)}dx,x\in J$;
4. $\int{({{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x))}dx=\int{{{f}_{1}}(x)}dx+\int{{{f}_{2}}(x)}dx,x\in J.$

Методы вычисления неопределенных интегралов

Для вычисления неопределенных интегралов используются
• Таблица основных формул интегрирования
• Метод подстановки (или формула замены переменной)
• Метод интегрирования по частям

Таблица основных интегралов

Метод подстановки (замены переменной)

Этот метод включает два приема.

a) Если для нахождения заданного интеграла $∫f(x)dx$ сделать подстановку $x = φ(t)$, тогда имеет место равенство: $∫f(x)dx = ∫f[φ(t)]φ˙(t)d t$

После нахождения последнего интеграла надо вернуться к исходной переменной интегрирования х. Для применения этого приема нужно, чтобы функция $х - φ (t)$ имела обратную $t = ψ (х)$.

б) Если сделать замену переменной, то есть $t = φ (x)$, тогда имеет место равенство: $∫ f[φ(x)]φ'(x)dx = ∫f(t)dt$

После нахождения последнего интеграла надо вернуться к переменной х, используя равенство $t = φ (х)$.

Пример 1

Найти интеграл
$I=\int{\frac{{{x}^{2}}dx}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}}$

Решение

Сделаем подстановку $x = 5 sin t$, тогда

Таким образом, получим

$I=\int{\frac{25{{\sin }^{2}}t\cdot 5\cos tdt}{5\cos t}}=25\int{{{\sin }^{2}}t}dt=25\frac{1}{2}\int{(1-cos2t)}dt=\frac{25}{2}(\int{dt-\int{\cos 2tdt}})=\frac{25}{2}t-\frac{25}{4}\sin 2t+C$

Из равенства $x = 5sint$ получим $t = arcsin(x/5)$;

$sin2t=2sint\cdot cost=\frac{2x}{5}\cdot \frac{1}{5}\sqrt{25-{{x}^{2}}}$

Итак,

$I=\frac{25}{2}\arcsin \frac{x}{5}-\frac{x}{2}\sqrt{25-{{x}^{2}}}+C$

Метод интегрирования по частям

Этот метод применяется тогда, когда под интегралом находится произведение функций, и хотя бы одна из них является трансцендентной (не степенной).
Пусть $u$ и $v$ – некоторые функции $x$, то есть $u = u (x)$, $v = v (x)$

Рассмотрим дифференциал произведения этих функций.

$d (u v) = u dv + v du$

Интегрируя обе части равенства, получим $∫ d(u ⋅ v) = ∫ u dv + ∫ v du$

Отсюда, учитывая свойство неопределенного интеграла, имеем

$u ⋅ v = ∫ u dv + ∫ v du$

Итак, получили формулу $∫ u d v = u v - ∫ v du$, которую называют формулой интегрирования по частям.

Эта формула позволяет свести поиск интеграла $∫$ u $dv$.

Пример 2

Найти $∫ lnx dx$
Решение. Пусть $u = lnx$,$ $v = x$, $dv = dx$, $du / dx = d (ln x) / dx = 1 / x$, $du = d (ln x) = dx / x$.
По формуле интегрирования по частям получим:

$\int{\ln xdx}=x\ln x-\int{dx=x\ln x-x+C}$.

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме «Вычисление неопределенного интеграла»