Пусть дан подграфик функции f(x) на участке [a;b]:
Разобьем отрезок [а;b] точками x1, x2, x3, xn−1 на n равных отрезков: [а;x1], [x1;x2], [x2;x3],...[xn−1;b].
Построим на первом из этих отрезков прямоугольник с высотой f(x1), на втором - прямоугольник высоты f(x2)… на n-ном - прямоугольник с высотой f(b). В результате получим восходящий многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно Δx тогда площадь всего ступенчатого многоугольника составит:
Sn=Δx⋅f(x1)+Δx⋅f(x2)+...+Δx⋅f(b)
Суммы такого вида называют интегральными суммами. Полученную интегральную сумму можно считать приближенным значением площади S подграфика функции f(x) на [a;b]. При этом если n→∞, то Sn→S.
Не только задача о нахождении площади подграфика, но и многие другие важные прикладные задачи приводят к вычислению границ подобных интегральных сумм. Поэтому для этого понятия введено специальное название и обозначение.
Границу интегральной суммы Δx⋅f(x1)+Δx⋅f(x2)+...+Δx⋅f(xn), если n→∞, называют определенным интегралом функции f(x) от a до b.
Его обозначают символом ∫abf(x)dx (читают: (определенный) интеграл от a до b эф от икс дэ икс). Здесь числа от a до b – пределы (границы) интегрирования, ∫ – знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.
Из всего сказанного следует, что площадь подграфика функции f(x) на [a;b] равна ∫abf(x)dx.
Главная теорема интегрального исчисления
Если у функции f(x) на отрезке [a,b] существует первоначальная F(x), то
I=∫abf(x)dx=F(b)−F(a)Это формула Ньютона-Лейбница, основная формула интегрального исчисления в математическом анализе.
Она дает возможность решать многие важные задачи не вычислением границ интегральных сумм, что достаточно трудно, а с помощью первоначальной.
Свойства определенных интегралов
Рационализировать вычисления интеграла часто помогает знание об их свойствах.
При формулировке определения определенного интеграла мы считали, что a<b. Удобно расширить понятие определенного интеграла, и для случая a>b принять по определению, что
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
Для случая a=b также по определению будем считать, что
∫aaf(x)dx=0]
Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в данных формулах дает такой же результат. Действительно, если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то
∫aaf(x)dx=F(x)∣aa=F(a)−F(a)
Также
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=−(F(a)−F(b))=−∫baf(x)dx
С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов:
- Если F(x) является первообразной для функции f(x), то для функции kf(x) первоначальной будет функция kF(х). Тогда
∫abkf(x)dx=kF(x)∣ab=kF(b)−kF(a)=k(F(b)−F(a))=k∫abf(x)dx
Таким образом,
∫abk⋅f(x)dx=k⋅∫abf(x)dx
- Если F(x) является первообразной для функции f(x), a G(х) - первоначальной для функции g(x), то для функции f(x)+g(x) первоначальной будет функция F(x)+G(х).
Tогда
∫ab(f(x)+g(x))dx=(F(x)+G(x))∣ab=(F(b)+G(b))−(F(a)+G(a))=(F(b)−F(a))+(G(b)−G(a))=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx
Таким образом ∫ab(f(x)+g(x))d=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx
- Если F(x) является первообразной для функции f(х) и с на отрезке [a;b], то
∫ac(f(x))dx+∫cb(f(x))dx=F(x)∣ac+F(x)∣cb=F(c)−F(a)+F(b)−F(c)=F(b)−F(a)=∫ab(f(x))dx
Итак, если функция f(x) интегрирована на отрезке [a;b] и с∈[a;b], то
∫ab(f(x))dx=∫ac(f(x))dx+∫cb(f(x))dx
Пример 1
Вычислить ∫0π41cos2xdx.
Поскольку для функции f(x)=1cos2x мы знаем первообразную – это F(х)=tgх, то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница I=∫abf(x)dx=F(b)−F(a).
Решение
∫0π4dxcos2x=tgx∣0π4=tgπ4−tg0=1−0=1
Ответ: 1.
Пример 2
Вычислите ∫13(4x−x)dx
Решение
Возможны два пути вычисления заданного интеграла.
-
Сначала найти первообразную для функции, используя правила исчисления первообразных и таблицу первобытных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
-
Использовать правило (∫ab(f(x)+g(x))d=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в примере 1.
1 способ
Для функции f(x)=(4/x−x) одной из первообразных является F(х)=4ln∣х∣−x2/2. Тогда
∫13(4x−x)dx=(4ln∣x∣−x22)∣13=(4ln∣3∣−322)−(4ln∣1∣−122)=4ln3−4
2 способ
∫13(4x−x)dx=∫134xdx−∫13xdx=4ln∣x∣∣13−x22∣13=4(ln∣3∣−ln∣1∣)−(322−122)=4ln3−4
Ответ: 4ln(3)−4.
Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!
Комментарии