Вычисление определенного интеграла

Содержание

  1. 1. Главная теорема интегрального исчисления
  2. 2. Свойства определенных интегралов
    1. 2.1. Пример 1
    2. 2.2. Пример 2
  3. 3. Тест по теме “Вычисление определенного интеграла”

Пусть дан подграфик функции f(x)f(x) на участке [a;b][a; b]:

определенный интеграл.png

Разобьем отрезок [а;b][а; b] точками x1x_1, x2x_2, x3x_3, xn1x_{n-1} на nn равных отрезков: [а;x1][а; x_1], [x1;x2][x_1; x_2], [x2;x3],...[xn1;b][x_2; x_3], ...[ x_{n-1}; b].

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник с высотой f(x1)f(x_1), на втором - прямоугольник высоты f(x2)f(x_2)… на n-ном - прямоугольник с высотой f(b)f(b). В результате получим восходящий многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно ΔxΔx тогда площадь всего ступенчатого многоугольника составит:

Sn=Δxf(x1)+Δxf(x2)+...+Δxf(b){{S}_{n}}=\Delta x\cdot f({{x}_{1}})+\Delta x\cdot f({{x}_{2}})+...+\Delta x\cdot f(b)

Суммы такого вида называют интегральными суммами. Полученную интегральную сумму можно считать приближенным значением площади SS подграфика функции f(x)f(x) на [a;b][a; b]. При этом если nn → ∞, то SnSS_n→S.

Не только задача о нахождении площади подграфика, но и многие другие важные прикладные задачи приводят к вычислению границ подобных интегральных сумм. Поэтому для этого понятия введено специальное название и обозначение.

Границу интегральной суммы Δxf(x1)+Δxf(x2)+...+Δxf(xn),\Delta x\cdot f({{x}_{1}})+\Delta x\cdot f({{x}_{2}})+...+\Delta x\cdot f({{x}_{n}}), если nn → ∞, называют определенным интегралом функции f(x)f(x) от aa до bb.

Его обозначают символом abf(x)dx\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx (читают: (определенный) интеграл от aa до bb эф от икс дэ икс). Здесь числа от aa до bb – пределы (границы) интегрирования, – знак интеграла, f(x)f(x) – подынтегральная функция, xx – переменная интегрирования.
Из всего сказанного следует, что площадь подграфика функции f(x)f(x) на [a;b][a; b] равна abf(x)dx\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx.

Главная теорема интегрального исчисления

Если у функции f(x)f(x) на отрезке [a,b][a, b] существует первоначальная F(x)F(x), то
I=abf(x)dx=F(b)F(a)I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=F(b)-F(a)

Это формула Ньютона-Лейбница, основная формула интегрального исчисления в математическом анализе.

Она дает возможность решать многие важные задачи не вычислением границ интегральных сумм, что достаточно трудно, а с помощью первоначальной.

Свойства определенных интегралов

Рационализировать вычисления интеграла часто помогает знание об их свойствах.
При формулировке определения определенного интеграла мы считали, что a<ba < b. Удобно расширить понятие определенного интеграла, и для случая a>ba > b принять по определению, что

abf(x)dx=baf(x)dx\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=-\int\limits_{b}^{a}{f(x)}dx

Для случая a=ba = b также по определению будем считать, что

aaf(x)dx=0\int\limits_{a}^{a}{f(x)}dx=0]

Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в данных формулах дает такой же результат. Действительно, если функция F(x)F(x) является первообразной для функции f(x)f(x), то

aaf(x)dx=F(x)aa=F(a)F(a)\int\limits_{a}^{a}{f(x)}dx=\left. F(x) \right|_{a}^{a}=F(a)-F(a)

Также

abf(x)dx=F(b)F(a)=(F(a)F(b))=baf(x)dx\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\int\limits_{b}^{a}{f(x)}dx

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов:

  • Если F(x)F(x) является первообразной для функции f(x)f(x), то для функции kf(x)kf(x) первоначальной будет функция kF(х)kF(х). Тогда

abkf(x)dx=kF(x)ab=kF(b)kF(a)=k(F(b)F(a))=kabf(x)dx\int\limits_{a}^{b}{kf(x)}dx=k\left. F(x) \right|_{a}^{b}=kF(b)-kF(a)=k(F(b)-F(a))=k\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx

Таким образом,

abkf(x)dx=kabf(x)dx\int\limits_{a}^{b}{k\cdot f(x)}dx=k\cdot \int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx

  • Если F(x)F(x) является первообразной для функции f(x)f(x), a G(х)G(х) - первоначальной для функции g(x)g(x), то для функции f(x)+g(x)f(x) + g(x) первоначальной будет функция F(x)+G(х)F(x) + G (х).

Tогда

ab(f(x)+g(x))dx=(F(x)+G(x))ab=(F(b)+G(b))(F(a)+G(a))=(F(b)F(a))+(G(b)G(a))=abf(x)dx+abg(x)dx\int\limits_{a}^{b}{(f(x)}+g(x))dx=(\left. F(x)+G(x)) \right|_{a}^{b}=(F(b)+G(b))-(F(a)+G(a))=(F(b)-F(a))+(G(b)-G(a))=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx+\int\limits_{a}^{b}{g(x)}dx

Таким образом ab(f(x)+g(x))d=abf(x)dx+abg(x)dx\int\limits_{a}^{b}{(f(x)}+g(x))d=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx+\int\limits_{a}^{b}{g(x)}dx

  • Если F(x)F(x) является первообразной для функции f(х)f(х) и сс на отрезке [a;b][a; b], то

ac(f(x))dx+cb(f(x))dx=F(x)ac+F(x)cb=F(c)F(a)+F(b)F(c)=F(b)F(a)=ab(f(x))dx\int\limits_{a}^{c}{(f(x)})dx+\int\limits_{c}^{b}{(f(x)})dx=\left. F(x) \right|_{a}^{c}+\left. F(x) \right|_{c}^{b}=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)=F(b)-F(a)=\int\limits_{a}^{b}{(f(x)})dx

Итак, если функция f(x)f (x) интегрирована на отрезке [a;b][a; b] и с[a;b]с ∈ [a; b], то

ab(f(x))dx=ac(f(x))dx+cb(f(x))dx\int\limits_{a}^{b}{(f(x)})dx=\int\limits_{a}^{c}{(f(x)})dx+\int\limits_{c}^{b}{(f(x)})dx

Пример 1

Вычислить 0π41cos2xdx\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}dx.

Поскольку для функции f(x)=1cos2xf(x)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} мы знаем первообразную – это F(х)=tgхF(х) = tgх, то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница I=abf(x)dx=F(b)F(a)I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=F(b)-F(a).

Решение

0π4dxcos2x=tgx0π4=tgπ4tg0=10=1\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}}=\left. tgx \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=tg\frac{\pi }{4}-tg0=1-0=1

Ответ: 1.

Пример 2

Вычислите 13(4xx)dx\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{4}{x}-x \right)}dx

Решение
Возможны два пути вычисления заданного интеграла.

  1. Сначала найти первообразную для функции, используя правила исчисления первообразных и таблицу первобытных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

  2. Использовать правило (ab(f(x)+g(x))d=abf(x)dx+abg(x)dx\int\limits_{a}^{b}{(f(x)}+g(x))d=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx+\int\limits_{a}^{b}{g(x)}dx и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в примере 1.

1 способ
Для функции f(x)=(4/xx)f(x) = (4/x - x) одной из первообразных является F(х)=4lnхx2/2F(х) = 4ln|х| - x2/2. Тогда

13(4xx)dx=(4lnxx22)13=(4ln3322)(4ln1122)=4ln34\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{4}{x}-x \right)}dx=\left. \left( 4\ln \left| x \right|-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{1}^{3}=(4\ln \left| 3 \right|-\frac{{{3}^{2}}}{2})-(4\ln \left| 1 \right|-\frac{{{1}^{2}}}{2})=4\ln 3-4

2 способ

13(4xx)dx=134xdx13xdx=4lnx13x2213=4(ln3ln1)(322122)=4ln34\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{4}{x}-x \right)}dx=\int\limits_{1}^{3}{\frac{4}{x}}dx-\int\limits_{1}^{3}{x}dx=\left. 4\ln \left| x \right| \right|_{1}^{3}-\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{1}^{3}=4(\ln \left| 3 \right|-\ln \left| 1 \right|)-(\frac{{{3}^{2}}}{2}-\frac{{{1}^{2}}}{2})=4\ln 3-4

Ответ: 4ln(3)4.4ln(3) - 4.

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме “Вычисление определенного интеграла”

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир