Processing math: 100%

Вычисление определенного интеграла

Содержание

  1. 1. Главная теорема интегрального исчисления
  2. 2. Свойства определенных интегралов
    1. 2.1. Пример 1
    2. 2.2. Пример 2
  3. 3. Тест по теме “Вычисление определенного интеграла”

Пусть дан подграфик функции f(x) на участке [a;b]:

определенный интеграл.png

Разобьем отрезок [а;b] точками x1, x2, x3, xn1 на n равных отрезков: [а;x1], [x1;x2], [x2;x3],...[xn1;b].

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник с высотой f(x1), на втором - прямоугольник высоты f(x2)… на n-ном - прямоугольник с высотой f(b). В результате получим восходящий многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно Δx тогда площадь всего ступенчатого многоугольника составит:

Sn=Δxf(x1)+Δxf(x2)+...+Δxf(b)

Суммы такого вида называют интегральными суммами. Полученную интегральную сумму можно считать приближенным значением площади S подграфика функции f(x) на [a;b]. При этом если n, то SnS.

Не только задача о нахождении площади подграфика, но и многие другие важные прикладные задачи приводят к вычислению границ подобных интегральных сумм. Поэтому для этого понятия введено специальное название и обозначение.

Границу интегральной суммы Δxf(x1)+Δxf(x2)+...+Δxf(xn), если n, называют определенным интегралом функции f(x) от a до b.

Его обозначают символом abf(x)dx (читают: (определенный) интеграл от a до b эф от икс дэ икс). Здесь числа от a до b – пределы (границы) интегрирования, – знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.
Из всего сказанного следует, что площадь подграфика функции f(x) на [a;b] равна abf(x)dx.

Главная теорема интегрального исчисления

Если у функции f(x) на отрезке [a,b] существует первоначальная F(x), то
I=abf(x)dx=F(b)F(a)

Это формула Ньютона-Лейбница, основная формула интегрального исчисления в математическом анализе.

Она дает возможность решать многие важные задачи не вычислением границ интегральных сумм, что достаточно трудно, а с помощью первоначальной.

Свойства определенных интегралов

Рационализировать вычисления интеграла часто помогает знание об их свойствах.
При формулировке определения определенного интеграла мы считали, что a<b. Удобно расширить понятие определенного интеграла, и для случая a>b принять по определению, что

abf(x)dx=baf(x)dx

Для случая a=b также по определению будем считать, что

aaf(x)dx=0]

Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в данных формулах дает такой же результат. Действительно, если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то

aaf(x)dx=F(x)aa=F(a)F(a)

Также

abf(x)dx=F(b)F(a)=(F(a)F(b))=baf(x)dx

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов:

  • Если F(x) является первообразной для функции f(x), то для функции kf(x) первоначальной будет функция kF(х). Тогда

abkf(x)dx=kF(x)ab=kF(b)kF(a)=k(F(b)F(a))=kabf(x)dx

Таким образом,

abkf(x)dx=kabf(x)dx

  • Если F(x) является первообразной для функции f(x), a G(х) - первоначальной для функции g(x), то для функции f(x)+g(x) первоначальной будет функция F(x)+G(х).

Tогда

ab(f(x)+g(x))dx=(F(x)+G(x))ab=(F(b)+G(b))(F(a)+G(a))=(F(b)F(a))+(G(b)G(a))=abf(x)dx+abg(x)dx

Таким образом ab(f(x)+g(x))d=abf(x)dx+abg(x)dx

  • Если F(x) является первообразной для функции f(х) и с на отрезке [a;b], то

ac(f(x))dx+cb(f(x))dx=F(x)ac+F(x)cb=F(c)F(a)+F(b)F(c)=F(b)F(a)=ab(f(x))dx

Итак, если функция f(x) интегрирована на отрезке [a;b] и с[a;b], то

ab(f(x))dx=ac(f(x))dx+cb(f(x))dx

Пример 1

Вычислить 0π41cos2xdx.

Поскольку для функции f(x)=1cos2x мы знаем первообразную – это F(х)=tgх, то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница I=abf(x)dx=F(b)F(a).

Решение

0π4dxcos2x=tgx0π4=tgπ4tg0=10=1

Ответ: 1.

Пример 2

Вычислите 13(4xx)dx

Решение
Возможны два пути вычисления заданного интеграла.

  1. Сначала найти первообразную для функции, используя правила исчисления первообразных и таблицу первобытных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

  2. Использовать правило (ab(f(x)+g(x))d=abf(x)dx+abg(x)dx и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в примере 1.

1 способ
Для функции f(x)=(4/xx) одной из первообразных является F(х)=4lnхx2/2. Тогда

13(4xx)dx=(4lnxx22)13=(4ln3322)(4ln1122)=4ln34

2 способ

13(4xx)dx=134xdx13xdx=4lnx13x2213=4(ln3ln1)(322122)=4ln34

Ответ: 4ln(3)4.

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме “Вычисление определенного интеграла”

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при загрузке теста
×