Для исследования функции важно уметь определять угловой коэффициент касательной к ее графику.
Этот угловой коэффициент касательной называют производной.
Понятие производной часто используют и при решении многих других задач. Поэтому рассмотрим его подробнее.
Графический смысл производной
Пусть дан график функции y=f(x)y=f(x) и на нем точка А, в которой существует касательная к графику:
Если абсцисса точки А равна x0, то ее ордината f(x0). Предоставим значению аргумента x0 прирост Δx. Увеличенное значение аргумента х0+Δx на графике функции соответствует точка Т с абсциссой x0+Δx и ординатой f(x0+Δx).
Через точки А и Т проведем прямые АК и ТК, параллельные осям абсцисс и ординат; они пересекутся в некоторой точке К. Тогда АК−Δх – приращение аргумента, а ТК=Δу – прирост функции на [x0;x0+Δx].
Угловой коэффициент секущей AT равен тангенсу угла β, то есть отношению Δу к Δx:
tgβ=ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx
Если Δx бесконечно мало и стремится к нулю, то секущая АТ, поворачиваясь вокруг точки А, приближается к касательной, проведенной в точке А с графиком данной функции. То есть если k – угловой коэффициент этой касательной и Δx стремится к нулю, то
f(x0+Δx)−f(x0)Δx→k
Это число k – производная функции f(x) в точке x0.
Производной функции f(x) в точке x0 называется число k, которому соответствует дробь f(x0+Δx)−f(x0)Δx при Δх→0.
Производную функции f(x) в точке x0 обозначают f′(x0). Ее определение записывают также в виде равенства:
f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
или
f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx
Задача 1
Найдите производную функции f(x)=x2 в точке x=3.
Решение
Предоставим аргументу x=3 прирост Δx. Соответствующий прирост функции Δу=(3+Δx)2−33=6Δx+Δx2.
Поэтому
ΔyΔx=6Δ+Δ2Δ
Если Δx→0, то Δy/Δx→6.
Ответ: f′(3)=6.
Так решают задачу, пользуясь определением производной функции в точке.
Задача 2
Используя формулу (1/x)′=−1/x2, запишите уравнение к графику функции у=1/x в точке с абсциссой x0=1/2.
Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой x0 в общем виде записывается так:
y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)
Чтобы записать это уравнение для заданной функции, нужно найти значение f(x0), производную f′(x) и значение f′(x0). Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через f(x) и использовать табличное значение производной: (1/x)′=−1/x2.
Таким образом, если f(x)=1/x, то f(x0)=f(1/2)=2.
Тогда f′(x0)=f′(1/2)=−4.
Подставляя эти значения в уравнение касательной y=f(x0)+f′(x0)(x−x0) получаем
y=2−4(x−12).
То есть у=−4x+4 – искомое уравнение касательной.
Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!
Комментарии