Производная функции в точке

Содержание

  1. 1. Графический смысл производной
    1. 1.1. Задача 1
    2. 1.2. Задача 2
  2. 2. Тест на тему “Производная функции в точке”

Для исследования функции важно уметь определять угловой коэффициент касательной к ее графику.

Этот угловой коэффициент касательной называют производной.

Понятие производной часто используют и при решении многих других задач. Поэтому рассмотрим его подробнее.

Графический смысл производной

Пусть дан график функции y=f(x)y = f(x) и на нем точка АА, в которой существует касательная к графику:

производная.png

Если абсцисса точки АА равна x0x_0, то ее ордината f(x0)f(x_0). Предоставим значению аргумента x0x_0 прирост ΔxΔx. Увеличенное значение аргумента х0+Δxх_0 + Δx на графике функции соответствует точка ТТ с абсциссой x0+Δxx_0 + Δx и ординатой f(x0+Δx)f(x_0 + Δx).

Через точки АА и ТТ проведем прямые АКАК и ТКТК, параллельные осям абсцисс и ординат; они пересекутся в некоторой точке КК. Тогда АКΔхАК - Δх – приращение аргумента, а ТК=ΔуТК = Δу – прирост функции на [x0;x0+Δx][x_0; x_0 + Δx].

Угловой коэффициент секущей ATAT равен тангенсу угла ββ, то есть отношению ΔуΔу к ΔxΔx:

tgβ=ΔyΔx=f(x0+Δx)f(x0)Δxtg\beta =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}

Если ΔxΔx бесконечно мало и стремится к нулю, то секущая АТАТ, поворачиваясь вокруг точки АА, приближается к касательной, проведенной в точке АА с графиком данной функции. То есть если kk – угловой коэффициент этой касательной и ΔxΔx стремится к нулю, то

f(x0+Δx)f(x0)Δxk\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}\to k

Это число kk – производная функции f(x)f(x) в точке x0x_0.

Производной функции f(x)f(x) в точке x0x_0 называется число kk, которому соответствует дробь f(x0+Δx)f(x0)Δx\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x} при Δх→0.

Производную функции f(x)f(x) в точке x0x_0 обозначают f(x0)f'(x_0). Ее определение записывают также в виде равенства:

f(x0)=limΔx0 f(x0+Δx)f(x0)Δx{f}'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}

или

f(x0)=limΔx0 ΔyΔx{f}'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}

Задача 1

Найдите производную функции f(x)=x2f(x) = x^2 в точке x=3x = 3.

Решение

Предоставим аргументу x=3x = 3 прирост ΔxΔx. Соответствующий прирост функции Δу=(3+Δx)233=6Δx+Δx2Δу = (3 + Δx)^2 - 33 = 6Δx+Δx^2.

Поэтому

ΔyΔx=6Δ+Δ2Δ\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6\Delta +\Delta {{}^{2}}}{\Delta }

Если Δx0Δx→0, то Δy/Δx6Δy/Δx → 6.

Ответ: f(3)=6f '(3) = 6.

Так решают задачу, пользуясь определением производной функции в точке.

Задача 2

Используя формулу (1/x)=1/x2(1/x)' = - 1/x^2, запишите уравнение к графику функции у=1/xу = 1/x в точке с абсциссой x0=1/2x_0 = 1/2.

Уравнение касательной к графику функции у=f(x)у = f (x) в точке с абсциссой x0x^0 в общем виде записывается так:

y=f(x0)+f(x0)(xx0)y=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})

Чтобы записать это уравнение для заданной функции, нужно найти значение f(x0)f(x_0), производную f(x)f'(x) и значение f(x0)f'(x_0). Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через f(x)f(x) и использовать табличное значение производной: (1/x)=1/x2.(1/x)' = - 1/x^2.

Таким образом, если f(x)=1/xf(x) = 1/x, то f(x0)=f(1/2)=2f(x_0) = f(1/2) = 2.

Тогда f(x0)=f(1/2)=4.f'(x_0) = f'(1/2) = -4.

Подставляя эти значения в уравнение касательной y=f(x0)+f(x0)(xx0)y=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}}) получаем

y=24(x12).y=2-4\left( x-\frac{1}{2} \right).

То есть у=4x+4у = -4x + 4 – искомое уравнение касательной.

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест на тему “Производная функции в точке”

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир