Производная функции в точке

Содержание

  1. 1. Графический смысл производной
    1. 1.1. Задача 1
    2. 1.2. Задача 2
  2. 2. Тест на тему “Производная функции в точке”

Для исследования функции важно уметь определять угловой коэффициент касательной к ее графику.

Этот угловой коэффициент касательной называют производной.

Понятие производной часто используют и при решении многих других задач. Поэтому рассмотрим его подробнее.

Графический смысл производной

Пусть дан график функции y=f(x)y=f(x) и на нем точка А, в которой существует касательная к графику:

производная.png

Если абсцисса точки А равна x0, то ее ордината f(x0). Предоставим значению аргумента x0 прирост Δx. Увеличенное значение аргумента х0+Δx на графике функции соответствует точка Т с абсциссой x0+Δx и ординатой f(x0+Δx).

Через точки А и Т проведем прямые АК и ТК, параллельные осям абсцисс и ординат; они пересекутся в некоторой точке К. Тогда АКΔх – приращение аргумента, а ТК=Δу – прирост функции на [x0;x0+Δx].

Угловой коэффициент секущей AT равен тангенсу угла β, то есть отношению Δу к Δx:

tgβ=ΔyΔx=f(x0+Δx)f(x0)Δx

Если Δx бесконечно мало и стремится к нулю, то секущая АТ, поворачиваясь вокруг точки А, приближается к касательной, проведенной в точке А с графиком данной функции. То есть если k – угловой коэффициент этой касательной и Δx стремится к нулю, то

f(x0+Δx)f(x0)Δxk

Это число k – производная функции f(x) в точке x0.

Производной функции f(x) в точке x0 называется число k, которому соответствует дробь f(x0+Δx)f(x0)Δx при Δх→0.

Производную функции f(x) в точке x0 обозначают f(x0). Ее определение записывают также в виде равенства:

f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx

или

f(x0)=limΔx0ΔyΔx

Задача 1

Найдите производную функции f(x)=x2 в точке x=3.

Решение

Предоставим аргументу x=3 прирост Δx. Соответствующий прирост функции Δу=(3+Δx)233=6Δx+Δx2.

Поэтому

ΔyΔx=6Δ+Δ2Δ

Если Δx0, то Δy/Δx6.

Ответ: f(3)=6.

Так решают задачу, пользуясь определением производной функции в точке.

Задача 2

Используя формулу (1/x)=1/x2, запишите уравнение к графику функции у=1/x в точке с абсциссой x0=1/2.

Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой x0 в общем виде записывается так:

y=f(x0)+f(x0)(xx0)

Чтобы записать это уравнение для заданной функции, нужно найти значение f(x0), производную f(x) и значение f(x0). Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через f(x) и использовать табличное значение производной: (1/x)=1/x2.

Таким образом, если f(x)=1/x, то f(x0)=f(1/2)=2.

Тогда f(x0)=f(1/2)=4.

Подставляя эти значения в уравнение касательной y=f(x0)+f(x0)(xx0) получаем

y=24(x12).

То есть у=4x+4 – искомое уравнение касательной.

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест на тему “Производная функции в точке”

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при загрузке теста
×