Производная функции в точке

Для исследования функции важно уметь определять угловой коэффициент касательной к ее графику.

Этот угловой коэффициент касательной называют производной.

Понятие производной часто используют и при решении многих других задач. Поэтому рассмотрим его подробнее.

Графический смысл производной

Пусть дан график функции $y = f(x)$ и на нем точка $А$, в которой существует касательная к графику:

Если абсцисса точки $А$ равна $x_0$, то ее ордината $f(x_0)$. Предоставим значению аргумента $x_0$ прирост $Δx$. Увеличенное значение аргумента $х_0 + Δx$ на графике функции соответствует точка $Т$ с абсциссой $x_0 + Δx$ и ординатой $f(x_0 + Δx)$.

Через точки $А$ и $Т$ проведем прямые $АК$ и $ТК$, параллельные осям абсцисс и ординат; они пересекутся в некоторой точке $К$. Тогда $АК - Δх$ – приращение аргумента, а $ТК = Δу$ – прирост функции на $[x_0; x_0 + Δx]$.

Угловой коэффициент секущей $AT$ равен тангенсу угла $β$, то есть отношению $Δу$ к $Δx$:

$tg\beta =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$

Если $Δx$ бесконечно мало и стремится к нулю, то секущая $АТ$, поворачиваясь вокруг точки $А$, приближается к касательной, проведенной в точке $А$ с графиком данной функции. То есть если $k$ – угловой коэффициент этой касательной и $Δx$ стремится к нулю, то

$\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}\to k$

Это число $k$ – производная функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется число $k$, которому соответствует дробь $\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$ при Δх→0.

Производную функции $f(x)$ в точке $x_0$ обозначают $f'(x_0)$. Ее определение записывают также в виде равенства:

${f}'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$

или

${f}'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Задача 1

Найдите производную функции $f(x) = x^2$ в точке $x = 3$.

Решение

Предоставим аргументу $x = 3$ прирост $Δx$. Соответствующий прирост функции $Δу = (3 + Δx)^2 - 33 = 6Δx+Δx^2$.

Поэтому

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6\Delta +\Delta {{}^{2}}}{\Delta }$

Если $Δx→0$, то $Δy/Δx → 6$.

Ответ: $f '(3) = 6$.

Так решают задачу, пользуясь определением производной функции в точке.

Задача 2

Используя формулу $(1/x)' = - 1/x^2$, запишите уравнение к графику функции $у = 1/x$ в точке с абсциссой $x_0 = 1/2$.

Уравнение касательной к графику функции $у = f (x)$ в точке с абсциссой $x^0$ в общем виде записывается так:

$y=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$

Чтобы записать это уравнение для заданной функции, нужно найти значение $f(x_0)$, производную $f'(x)$ и значение $f'(x_0)$. Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через $f(x)$ и использовать табличное значение производной: $(1/x)' = - 1/x^2.$

Таким образом, если $f(x) = 1/x$, то $f(x_0) = f(1/2) = 2$.

Тогда $f'(x_0) = f'(1/2) = -4.$

Подставляя эти значения в уравнение касательной $y=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$ получаем

$y=2-4\left( x-\frac{1}{2} \right).$

То есть $у = -4x + 4$ – искомое уравнение касательной.

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест на тему “Производная функции в точке”