Для исследования функции важно уметь определять угловой коэффициент касательной к ее графику.
Этот угловой коэффициент касательной называют производной.
Понятие производной часто используют и при решении многих других задач. Поэтому рассмотрим его подробнее.
Графический смысл производной
Пусть дан график функции и на нем точка , в которой существует касательная к графику:
Если абсцисса точки равна , то ее ордината . Предоставим значению аргумента прирост . Увеличенное значение аргумента на графике функции соответствует точка с абсциссой и ординатой .
Через точки и проведем прямые и , параллельные осям абсцисс и ординат; они пересекутся в некоторой точке . Тогда – приращение аргумента, а – прирост функции на .
Угловой коэффициент секущей равен тангенсу угла , то есть отношению к :
Если бесконечно мало и стремится к нулю, то секущая , поворачиваясь вокруг точки , приближается к касательной, проведенной в точке с графиком данной функции. То есть если – угловой коэффициент этой касательной и стремится к нулю, то
Это число – производная функции в точке .
Производной функции в точке называется число , которому соответствует дробь при Δх→0.
Производную функции в точке обозначают . Ее определение записывают также в виде равенства:
или
Задача 1
Найдите производную функции в точке .
Решение
Предоставим аргументу прирост . Соответствующий прирост функции .
Поэтому
Если , то .
Ответ: .
Так решают задачу, пользуясь определением производной функции в точке.
Задача 2
Используя формулу , запишите уравнение к графику функции в точке с абсциссой .
Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде записывается так:
Чтобы записать это уравнение для заданной функции, нужно найти значение , производную и значение . Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через и использовать табличное значение производной:
Таким образом, если , то .
Тогда
Подставляя эти значения в уравнение касательной получаем
То есть – искомое уравнение касательной.
Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!
Комментарии